9广义积分习题课.doc

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1、第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不

2、变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。 3、Abel判别法和Dirichlet判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注

3、意判别法使用的顺序。例1 判断广义积分的敛散性。分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记，对，先讨论简单情形。时，时收敛，时发散。，不妨设，则，故，时为常义积分，此时收敛。时，由于 因此，与积分同时敛散，即时收敛，时发散。因此，对，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。上述结论也可以总结为：minp,q1时收敛，maxp,q时发散。综上：时收敛，其余发散。或者为：minp,q10。分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。解：先分析绝对收敛性，由

4、于 ，故，m1时，广义积分绝对收敛。当时，利用配因子法验证积分片段的有界性， 由Dirichlet判别法，广义积分收敛。由于 ，而类似可以证明收敛，发散，因而，发散，故时，广义积分条件收敛。注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。注、不能将积分分成如下两部分 ，通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。例3 讨论的敛散性。分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln（1x）的当和时的性质，进行阶的比较。解、记，。对， 由于，故，当，即时，收敛；当时，发散。对， 利用已知的结论：，则，当时，取使得，则 故收敛。当时，取，则故发散。

5、因而，当时，收敛；时发散。例4 讨论的敛散性，其中。分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel判别法或Dirichlet判别法。 解：记 ， 对，当时， 故，收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。当时， 故，发散。对，由于 ，故当时，（绝对）收敛。当时，由于，对任意， 且 当时，单调递减趋于0，由Dirichlet判别法，收敛。又，此时 且收敛，因此，发散。因而，当时，条件收敛。综上，；例5 讨论的敛散性，其中p、q非负。分析 从被积函数的结构可以发现，

6、组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。解、先考虑最简情形：时的情形。记，此时，、分别是无界函数和无穷限广义积分，因此，时，收敛；时， 发散；而对， 时时收敛，时发散，故时，发散。当时，令，则 对，由于 ，故与同时敛散。因而，时，（绝对）收敛；时，发散。对，由于，故，时，绝对收敛；当时，由Dirichlet判别法，（条件）收敛。当时，利用周期函数的积分性质，则 因而，由Cauchy收敛准则，发散。综上：时，发散；时， 时，绝对收敛； 时，条件收敛； 时，发散。 注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主

7、要矛盾。注、也可以用配因子法处理。下述的例子用阶的分析法。例6 讨论的敛散性。分析 首先将积分分段处理，记 ，。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。对，分析奇点附近被积函数的阶。由于 ，因而，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。对 ，对被积函数作阶的分析，由于x充分大时，因此，利用函数展开理论得 , ，由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。解、记 ，。对，利用LHosptial法则， ，因而， ，故，收敛。对 由于，则其中 ，因而收敛，又由于条件收敛，故条件收敛。因此，条件收敛。注、对复杂的函数

8、结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个有效的方法。例7 （）。分析：这是无穷限广义积分，分析时被积函数的性质，此时 ，故 ，又 ，故所以 ，证明过程就是验证上述函数关系。解、由于 因而，与广义积分同时敛散。故时，收敛；时，发散。下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。例8 证明：设、上连续，单调且，则与同时敛散。证明：若收敛，由Abel判别法，收敛。若收敛，则仍有单调且，由Abel判别法，则收敛。注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。即在讨论广义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，略去次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的

9、广义积分讨论其敛散性。下面，通过一个例子，说明例8的作用。例9 讨论 的敛散性。解、由于,由于 非负单调且，因此，利用例8的结论，其与同时敛散。因而，时绝对收敛；时条件收敛；时发散。下面一个结论与例8具有类似的思想。例10 设函数f（x）、g（x）、h（x）定义在上且对任意有限的实数Aa，它们都在a, A上可积，证明：若且广义积分、都收敛，则也收敛。分析 题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。证明：由所给的关系式，则 ，由条件和广义积分性质，则收敛，由比较判别法，则收敛，由于，再次利用积分性质，则收敛。注、例10结论表明，

10、对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一思想。注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例8是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。下面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。例11 设f(x)0且单调递减，证明与同时敛散。证明：因为f(x)0且单调递减，故存在。若0，则由Dirichlet判别法，收敛。由于 2故，与同时敛散。若b0，此时发散。由极限定义，存在Aa，使得xA时， 故，取n充分大，使得 ，则 ，故，发散。因而，此时二者同时发散。 下面的例子用上述结论很容易处理。

11、例12 讨论的敛散性。解、由于 对，已知p0时收敛，时发散。为讨论的敛散性，注意到 故，与同时敛散，由例11，又与同时敛散，即时收敛，时发散。故，当时收敛，时发散。注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和作对比可以发现，分母上增加因子sinx，深刻改变了其敛散性，使得收敛范围变小。这也反映了广义积分敛散性的复杂性。注、例12也表明了因子sinx的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子处在分母上时，其变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义积分的敛散性。也可以通过与例9的结论对比发现这些差异，例9中，分

12、母为，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx起到了影响敛散性的作用。例13 若收敛，在单调，则， 即。分析 要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为（，即要控制当x充分大时的xf（x），而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积函数的无穷远处的行为有关的结论就是Cauchy收敛准则，因此，建立二者的桥梁为Cauchy收敛准则。因此，证明的关键就是如何从Cauchy片段中分离出xf（x），因此，必须通过选择与x有关的达到目的，特别注意f（x）可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来，而系数显然要通过积分限产生。证明：设单调递减，由收敛，则。由Cauchy收敛准则，存在充分大，使

13、得对任意，成立，对任意，取 ，则 ， 利用函数的单调性，则， ，故，。类例：若收敛，则。 注、此结论比讲义中的结论更强。注、作为最简单的广义积分积分，揭示了广义积分收敛的本质，即时，被积函数趋于0的速度高于一阶时，广义积分收敛。本题说明：在一定的条件下，上述条件还是必要的。注、更进一步还有:若收敛，单调递减，则。事实上，对充分大的，由Cauchy收敛准则，。结论说明，此时f（x）趋于0的速度比趋于0的速度还大。注、成立更一般的结论：设在单调，且收敛，则 。例14 设若在上有连续导数且单调递减趋于0（），证明收敛的充要条件是收敛。 分析 从要证明的结论看，建立两个广义积分的联系的桥梁是分部积分法

14、，即。从此关系式看，要证明结论关键是解决极限的存在性。证明：必要性。若收敛，则由例13，因而， ，故，收敛。充分性。由于，下面利用的收敛性研究极限的存在性，由于 由收敛，则。又，同样成立，因而 收敛。注、证明过程中，用到了结论：若收敛，则 。事实上，记I，则 。例15 证明：若在上有连续导数且、都收敛，则证明：由收敛性定义，对任意， 因而，存在，又收敛，则必有。注、也可以用Cauchy收敛准则证明。但本题采用定义证明更简单，因此既要掌握处理某一类型问题的一般原则，又要学会灵活应用。注、此例还说明，对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成立，必须增加一定的条件才能保证其成立。例16 证明

15、：若非负函数在单调减少，则与数项级数同时敛散。分析 本题要求在两种不同形式间进行比较，处理这类问题的思想方法是形式统一法，将积分转化为和式即，由此看出，命题的证明实际就是比较 的关系。证明：由于且在单调减少，故 因而 故 ，因而， 与数项级数同时敛散。例17设在任意有限区间上可积且，证明： A 。分析 从条件和结论很发现证明的思路。证明：由和，则对任意，存在，使得当 时， 对任意，存在，使得，故 故，A。下面给出几个广义积分的计算题目。关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L公式、分部积分、极限运算。技巧是选择合适的变量代换。例18 （Frullani积分）证明：若且对任意，广义积分收敛

16、，则 分析 解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用变量代换。事实上，已知的是积分形式，待计算的量是形式，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未知的量联系起来。证明：对任意的，则 ；同样，。因而， 利用积分中值定理， 。例19 证明：，其中 ，积分有意义。分析 从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择一个合适的变换，使得，从这一关系式中可以发现，变换不唯一。证明：令，则 且，故 ，又，由此可证明命题。 注、也可以取，此时。例20 计算。分析 这类题目是无法直接计算出来的，常用的技巧是分段，选择适当的变量代换，在两个积分段之间寻找连续。解、由于，而二者都收

17、敛，故，0。例21 证明 与无关。证明：由于因而 故其与无关。下面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。例22 设在（0，1单调，x=0为其奇点，广义积分收敛，证明： 。分析 与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。证明: 设在（0，1单调递增，则 ,因而，利用的收敛性，则 ，由此，命题得证。注、由此可得即：。例23 设对任意A0，f(x)且，证明： 。分析 题目中所给的定量条件只有，为了利用这个条件，仍然可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于 ，为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究 、的极限行为。证明：因为，故存在M0,使得xM时，；又f(x)，因而，

18、f(x)有界C。注意到 ，故只需证明。由于对任意，存在A0，使得xA时 ，故 由于 ，故，存在时，因而 故，。下面是一些判断题。22、判断下列命题是否成立。1）、设在任意区间上可积，若对任意的、，存在，使得对任意的，都成立，则收敛。解：错。正确理解Cauchy收敛准则。反例。如，则 对任意的都有 ，但发散。2）、设在任意区间上可积，若收敛，则收敛。解、正确。利用和Abel判别法即可。3）、若存在使得发散，则发散。解、正确。事实上，收敛充要条件为对任意的，收敛。证明：若收敛，则由于 故收敛。反之，若发散，则存在和，使得 取，则且，故发散。4）、设收敛，下列条件能否保证。 1、在连续、恒正。 2、存在。 3、单调。 4、在一致连续。 5、在连续可导。 6、在上有连续的导数。 7、在可导且收敛。解、1、不能。反例：如则 故 收敛，因而 收敛，但。2、可以。若，不妨设，则存在，使得时，因而对任意，与收敛矛盾。3、4、6、可以。可以转化为2。5、不可以。可以通过例1的光滑化。7、可以。因为，故存在。5）、若存在，则收敛。解、正确。此时，由于故 收敛。同样，收敛。6）、若为偶函数，存在，则收敛。解、正确。此时，。