古典概型与几何概型-练习题.doc

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1、古典概型与几何概型1(2019长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.B.C. D.解析：选B从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P.故选B.2(2019贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为()A. B.C. D.解析：选B基本事件总数n3481，这三个项目都有人

2、参加所包含的基本事件个数mCA36，故这三个项目都有人参加的概率为P.3(2019广东五校联考)从19这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为()A. B.C. D.解析：选C从19这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为，选C.4(2019成都外国语学校月考)九章算术中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概

3、率是()A. B.C1D1解析：选D直角三角形的斜边长为17，设内切圆的半径为r，则8r15r17，解得r3.内切圆的面积为r29，豆子落在内切圆外的概率P11.5(2019长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120，点P在弦AB上，且APAB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A. B. C. D.解析：选A设OA3，则AB3，AP，由余弦定理可求得OP，则AOP30，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3，从而所求概率为.6在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即

4、图中阴影部分)的概率是()A2B4C4 D4解析：选B设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S244r26r2，圆的面积Sr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为4，故选B.7已知函数f(x)x3ax2b2x1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B.C. D.解析：选Df(x)x22axb2，要使函数f(x)有两个极值点，则有(2a)24b20，即a2b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1

5、)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值满足a2b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为.8(2019安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是()AB1 C D解析：选B如图，正ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，为半径，在ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，因此所求概率为1，故选B.9(2019石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当yx，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合1

6、,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A. B.C. D.解析：选B从集合1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为，故选B.10(2018全国卷)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，

7、三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析：选A法一：SABCABAC，以AB为直径的半圆的面积为2AB2，以AC为直径的半圆的面积为2AC2，以BC为直径的半圆的面积为2BC2，SABAC，SBC2ABAC，SABAC.SS.由几何概型概率公式得p1，p2，p1p2.故选A.法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S2

8、122，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.11甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲乙的概率是_解析：设污损处的数字为m，由(84858790m99)(8687919294)，得m5，即当m5时，甲、乙两人的平均成绩相等m的取值有0,1,2,3，9，共10种可能，其中，当m6,7,8,9时，甲乙，故所求概率为.答案：12(2018湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的

9、时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为_解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P.答案：13(2019南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为_解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,46个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的

10、基本事件有1,4，2,3，2,4，3,4，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.答案：14已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“2ab3”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解：(1)依题意共有小球n2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为，得n2.(2)

11、从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2ab3的结果有8种，故P(A).由可知，(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为，由几何概型得概率为P1.15(2019昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照0,0.5)，0.5，1)，4,4.5分成9组，制成样本的频率分布直方图

12、如图所示(1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；(3)在1,1.5)，1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率解：(1)由频率分布直方图可知，周末阅读时间在0,0.5)的频率为0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4，45的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1(0.040.080.200.250.070.040.02)0.5a0.5a.解得a0.30.(2)设中位数为m h.因为前5组的频率之和为0.040.080.150.200.250.720.5，而前4组的频率之和为0.040.080.150.200.470.5，所以2m2.5.由0.50(m2)0.50.47，解得m2.06.故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.(3)由题意得周末阅读时间在1,1.5)，1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率为.