第二章一微波动方程的分离变量法.doc
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1、数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章 一维波动方程的分离变量法引 言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解,再利用初始条件确定通解中的任意常数,确定数理方程中的特解。求通解前作一维波动变换,代入泛定方程。然能用行波法求解的问题很少,适用于求解如无界弦的自由横振动问题。为此,对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。2.1 齐次方程混合问题的Fourier解2 .1 .1定解问题考虑长为,两端固定的弦的自由振动其中,为已知函
2、数。分析:方程是齐次方程,边界条件是齐次边界条件,初始条件是非齐次的。求解:通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。第一步:分离变量分离变量(变量分离)如波函数实现了变量分离。于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式,即首先:将代入齐次方程,得。所求特解应为非零解,于是,不解为零。两边同除以,有等式左端只是的函数(与 无关),等式右端只是的函数(和无关),于是左右两端要相等,就必须共同等于一个既与无关,又与无关的常数。设为,有 , 能分离变量的关键:方程是齐次方程。其次: 将代入边界条件: ,这时必须有 , 能分离变量的原因:边界条件是齐次边界条件。最后:就完成了用分离变量法求解
3、泛定方程(数理方程)的第一步。总结:分离变量目标:分离变量形式的非零解结果:函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程。 , ,条件:泛定方程和边界条件都是齐次的。第二步:求解本征值问题分析:关于的常微分方程的定解问题特点:微分方程中含有特定常数,定解条件是一对齐次边界条件。并非对于任何值,都有既满足齐次常微分方程,又满足齐次边界条件的非零解;只有当取某些特定值时,才有既满足齐次,又满足齐次边界条件的非零解。定义:的这些特定值称为本征值,相应的非零解称为本征函数。函数的常微分方程定解问题,称为本征值问题。. 若,特征方程为 ,则。通解为。利用边界条件: ,则 , 则若齐次方程 数列式,
4、则只有零解。 , 结论:不是本征值。. 若 ,则 , 通解为 利用边界条件: ,则 。 , 则 。 方程只有零解,所以不是本征值。. 若,则,特征方程为通解为利用边界条件: ,则 , 则,因为,所以。即本征值 , , ,无穷多个相应的本征函数就是。这样求得的本征值有无穷多个,于是将本征值,本征函数记为,。第三步:求特解,并叠加出一般解。求得本征值问题后,对每一个本征值的方程,可以求得相应的。 ,其中,为任意常数,也得到了满足泛定方程和边界条件的特解为,过程说明:1.这样的特解有无穷多个。2.每一个特解都满足齐次方程,齐次边界条件。3.一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定界问题中的初始条
5、件。即一般无法找到常数,满足 , 。4.偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的任意有限个特解叠加起来,仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解,是否满足初始条件?5.把全部无穷多个特解叠加起来只要函数有足够的收敛性(如可以逐项求二阶偏微商),则这样得到的仍然是齐次 在齐次边界条件的解。这种形式的解称为一般解。不 于 的通解,因为一般解不只是满足偏微分方程,而且满足齐次边界条件。如何选择一般解中的叠加系数和? , 第四步:利用本征函数的正交性定叠加系数。理论依据:本征函数的正交性,。在 两端同除以 ,逐项积分有 同理,由,两边同乘以并积分会则 这样,由初始条件中的和,就可得到叠加系数和,从而求得了整
6、个问题(定解问题)的解。本征函数正交性说明:定解问题边界条件为一,二,三类三种类型时,本征函数正交性,均成立。2.1.2小结:1利用分离变量求数理方程定解问题的步骤 分离变量条件:方程,边界条件均是齐次的。结果:一个或多个含有待定常数的齐次 ,齐次边界条件 求解本征值问题求出全部特解,并进一步叠加出一般解。 利用本征函数正交性定叠加系数。严格的说,上面得到的还只是形式解,对具体问题,还须验证,就非常重要。2分离变量法成功的条件(理论上):本征问题有解。定解问题的解一定可按本征函数展开(本征函数的全体是完备的),也叫Fourier解法。本征函数一定只有正交性。2.1.3分析解答解的物理意义特解
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