第五章：利率进阶.doc

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1、第三部分：债券投资分析：深入理论随着中国债券市场的发展和参与者的逐渐成熟，经典的固定收益证券理论已经广为人知。读者在本书的第二部分已经了解了现金流分析的意义、单利和复利的关系，对现金流风险和收益的基本度量方法，以及关于利率期限结构的简单概念。对于传统（我们称之为经典的）债券分析理论和方法来说，特别是以到期收益率、久期和凸度等概念作为衡量债券品种的风险收益基本指标的方法，可以说是对现金流固定的投资品种进行分析的基础。但是，到期收益率和敏感度分析的重要问题是它们的隐含假设：收益率曲线是水平的。这虽然简化了整个理论框架，但也带来很多问题。此外，虽然传统理论是非常简洁而且实用的，但我们却无法基于它来获

2、知一些更深入的问题。比如，如何去准确定价浮息国债？如何去定价一个带有发行人赎回条款的债券（例如2002年国开行发行的第15期金融债）？如何去度量当前的市场价格下这些债券品种的风险？怎样能够使债券投资组合保证稳定的收益并规避利率风险？如何针对市场的实际情况制定有效的债券投资策略？以上的问题，都是在本书的第三部分将要回答的。从本部分开始，本书将开始介绍债券分析的深入理论和一些相关的实务方法。我们也将力求将国外已经成熟的理论和中国债券市场的实际情况结合，来提供一些具体的应用实例和练习。首先，我们将介绍利率期限结构的进阶理论，包括利率期限结构参数模型和拟合方法、收益率曲线的结构分解与动力学、影响收益率

3、曲线的因素、和利率衍生品有关的定价理论和数学方法等内容，特别地，我们将着重介绍通过短期利率模型，使读者了解实用的内置期权债券的定价原理。此外，对于作为债券金融创新品种的利率互换/浮息债、债券期货、本息剥离券等问题，在第三部分的最后也将作为重点讨论。而后，我们将基于实际应用的原则，介绍债券投资策略，包括积极投资策略和指数化策略；债券组合管理技术，包括各种债券免疫技术，而本部分的最后，我们将介绍流行的VaR体系下的债券风险管理技术。我们希望读者在阅读此部分时，能够具备一定的高等数学基础，特别是从第六章开始，我们将大量使用到数理统计、矩阵论和微积分知识。但对于基础略微薄弱的读者来说，也可以直接阅读我

4、们的一些定性理论的介绍文字和实证研究结论，相信也会颇有收获。第五章 利率进阶读者在本书的上一部分已经了解了关于利率、即期利率曲线和利率期限结构的一些基本的概念。在现代债券分析理论中，关于收益率曲线和利率期限结构的理论已经在整个研究体系中处于最核心的地位。几乎所有的实务方法都会涉及到市场的收益率曲线数据。在本章中，我们将从远期利率和即期利率的关系开始，详细地介绍与整个利率期限结构相关的一些不同种类的收益率曲线，同时具体介绍它们的相互换算方法、特性和在实际应用中的意义。在本章的后两节，我们将会把以前章节提到的“复利”概念在本章加以扩展，阐述连续复利框架下的收益率曲线的一些有关内容。5-1远期利率关

5、于两种回购品种的一个例子我们观察一下2001年12月31日上海证券交易所国债回购的利率变动状况。在收盘时，28天回购的价格（换算成年计复利率）是2.60%，而同日14天回购的收盘价格是2.50%，这中间隐含了什么样的信息呢？如果我们账面上有一笔1000万元的现金并且准备拆出28天，我们可以有如下两种选择：A. 进行28天逆回购拆出资金，到期收回。B. 分两次14天拆出，第一次到期收回。（注*：此处S的下标（t-T）表示由t日起息的到T日付息的即期利率水平，例如S0,14表示当日起息的14日后付息的即期利率水平）。我们注意第二种方法，当第一次14天回购到期时，还需要第二次进行14天逆回购，如果希

6、望第二种方法也获得和地一种方法相同的收益，则此时需要14天回购利率上升到。远期利率在这里的S14,28 = 2.7%，代表一个“收支相抵”的收益率，在这个收益率水平下，我们可以当前的即期利率水平连续拆出两笔较短期限（14天回购）的资金，而获得和一次性进行28天逆回购相同的收益。而实际上的14天回购当然往往不会上涨到这一水平，然而这个“收支相抵”的收益率S14,28却不仅仅停留在理论上，它是可以由我们已知的即期回购利率水平计算出来的。可以这样理解，它是一个隐含于当前即期利率中的、表示未来某一时点即期利率水平的利率，我们称之为隐含的远期利率（Implied Forward Rate）。出于简便，我

7、们也称之为远期利率（Forward Rate），并在以下章节沿用这一说法，但请读者务必把本书中的“远期利率”一词和“远期实际发生的（或预期会发生的）即期利率水平”相区别。我们所提到的远期利率，并不表示未来实际即期利率被预期会移动到这一水平（注*：隐含远期利率和未来的即期利率的预期水平之间的确存在关系，但并非完全直接的关系，我们会在后面讨论预期和收益率曲线以及远期利率的关系）。我们看另外一个例子：假设债券市场上有两只零息国债（分别记做A和B），剩余期限和分别是一年和两年。价格分别为95.29元和89.00元。我们显然可以算出，它们对应的到期收益率分别为5.00%和6.00%。如果债券市场在12年

8、的短期品种只有这两只债券，那么，这两只债券的收益率就分别对应市场一年和两年的即期利率水平，我们记做S0,1 = 5.00%和S0,2 = 6.00%。根据我们上述对远期利率的定义，那么由即期利率水平隐含的远期利率，即表示隐含的一年后“收支相抵”的即期利率水平的远期利率，我们记作F1,2，可以得出： （5-1）如图5-1，远期利率和即期利率在时间轴上存在换算关系。图5-10年 1年 2年如果我们期望：无论我们怎样构建自己的投资组合，即无论在市场上的所有投资品种怎样搭配，都能使得我们的资产在两年之后获得同样的收益，则需要一年后的一年期利率水平如何变化呢？换句话说，一年后剩余的这只零息债B（存续期在

9、那时恰好为一年）定价应当是多少呢？显然，这实际上要求一年后的即期利率R1,2和我们上面F1,2结果一致。也就是说，一年后，零息债B的价格应该是。这样，我们以初始89.00元，采取下列两种投资策略，结果都是一样的：表5-1初始资金初始策略一年后两年后策略一￥89.00买入零息券B（价格89元），持有1份零息券B价格93.37元零息券B到期，获得100元现金策略二￥89.00买入零息券A（价格95.21元），持有0.9337份零息券A到期，偿还资金93.37元恰好可买入1份零息券B零息券B到期，获得100元现金我们可以将表5-1的例子扩展到n种零息债市场。而关于远期利率的一个重要性质是：如果未来的

10、即期利率变化始终都是和相应时间段的远期利率一致的话，那么无论投资者持有市场上的任何一个债券品种或者其组合（注*：我们在前面的章节提到过，按期支付息票的债券可以视作一组零息债，所以这个性质对息票债券组合同样适用），最终都将获得同样的收益。这也是对“远期利率是收支相抵的未来即期利率”的一种一般化的理解。另外，数学意义上的远期利率和即期利率并无不同，因为远期利率就是“发生在远期的即期利率”而已。我们在本小节中，对远期利率的规定是它被当前的即期利率所隐含。而在本书后面的一些章节中，为了一些数学推导的清晰表示，我们有时将不去具体区分即期利率和远期利率，而仅仅考虑发生在某一计息期间内的即期利率。如果这个即

11、期利率的计息期间的发生时间在未来，那么也可以说它是一种远期利率，但这个远期利率和我们当前所观测到的即期利率并不一定存在关系。5-2即期利率、远期利率和平价息票收益率由即期利率曲线推导远期利率曲线如果将我们在上一节所提到的即期利率与远期利率的关系扩展到一般情况，我们可以从当前的即期利率曲线推出整条远期利率曲线。我们定义，由当前时点到未来时点t和未来时点T的即期利率分别为St和ST，而在未来时间段t到T内的隐含远期利率Ft,T与St和ST有如下关系：，（5-2）也就是 （5-3）这样我们推出的远期利率曲线，实际上由于其时间点t和T的选取不同，其结果也都不同。如果我们考虑的是隐含未来每一年即期利率的

12、远期利率，我们有 （5-4）对于这里的Fn-1,n所组成的远期利率曲线，我们称其为一年期远期利率（One-year Forward Rate）。在时间轴上每一年的一年期远期利率数值，实际上代表了被当前即期利率隐含的，未来每一年的一年期的即期利率。而式（5-4）也表明了这样一点：当前的即期利率曲线上，某一到期期限所对应的贴现率实际上是这一期限内所有一年期远期利率对应的贴现率的几何平均数。也许上述这个定义有点拗口，不过我们希望读者能够理解上述这种远期利率和另外一种远期利率的区别。因为另有一种常用的远期利率，即隐含一年后即期利率曲线的远期利率（Implied Spot Rate Curve One

13、year Forward，我们以下简称为“一年隐含远期利率”）。我们定义 或 （5-5）即期利率，一年期远期利率和隐含一年后即期利率曲线的远期利率在时间轴上的直观关系可以通过图5-2来表示得很清楚图5-20 1 2 3 4 5 到期期限时间轴表5-2给出了2002年12月31日的1-10年中国国债交易所市场的即期利率、一年期远期利率和一年隐含远期利率数值，后两者分别按照公式（5-4）和公式（5-5）从即期利率中推导出来，有兴趣的读者也可以自己尝试在Excel中体会一下三者之间的换算关系。表5-2中国国债交易所市场的即期利率和远期利率（2002-12-31）到期期限12345678910即期利率

14、1.599%2.204%2.537%2.697%2.755%2.757%2.735%2.711%2.696%2.697%一年期远期利率2.811%3.206%3.181%2.985%2.767%2.606%2.539%2.575%2.710%一年隐含远期利率2.811%3.009%3.066%3.046%2.990%2.926%2.871%2.834%2.820%即期利率曲线的隐含变化0.608%0.472%0.369%0.291%0.233%0.191%0.160%0.138%0.123%图5-3给出了给出了2002年12月31日的1-15年期限的中国国债交易所市场的即期利率、一年期远期利率

15、和一年隐含远期利率曲线的远期利率曲线图。我们可以从图中看出，一年期远期利率曲线比一年隐含远期利率曲线的波动要大得多，前者对即期利率的变动也更加敏感。图5-3中国国债交易所市场的即期利率和远期利率（2002-12-31）我们再次注意表5-2的最后一行：即期利率的隐含变化。我们在计算这一行的时候，取它的数值为一年隐含远期利率和即期利率的差值。回忆起我们在本章的第一节提到远期利率是使任意市场品种的组合“收支相抵的”未来即期利率水平。在这里我们给出的是一个一般的例子，即针对整条即期利率曲线的变化来说，如果要使任意市场品种的组合在未来一年的持有期中都获得同样的收益，则一年后的即期利率曲线应该移动到目前的

16、一年隐含远期利率的水平。而具体到当前即期利率曲线上每一点的变化，则就是我们在表5-2的最后一行所列的即期利率的隐含变化。从另一个角度去理解这个问题，我们看到，图5-3中的即期利率曲线有一个正的斜率，也就是说，长期限的零息国债比短期限的零息国债有更高的到期收益率，当然，对于按期付息的国债也是同样的。显然，与具有斜率为正的即期利率曲线对应，我们可以推出的是一条斜率同样为正的一年隐含远期利率曲线，并且其位置处在即期利率曲线的上方。反之，如果即期利率曲线是向下倾斜的，则一年隐含远期利率曲线也是向下倾斜的，并且其位置在即期利率曲线下方。请分别参见图5-4和图5-5。图5-4 向上倾斜的即期利率曲线和对应

17、的远期利率图5-5 “倒挂”的即期利率曲线和对应的远期利率对于传统债券分析理论中经常用到的水平收益率假设，我们显然可以由式（5-2）推出，如果即期利率曲线是完全水平的，那么无论我们选取怎样的远期利率，远期利率曲线将是和即期利率曲线完全重合的。此外，在前一章关于债券全回报的理论介绍中，我们介绍了债券的回报来自利息回报和价格回报（资本利得）两部分。长期券相对于短期券在息票上更高，如果即期利率曲线的变化要始终让市场上所有品种都获得相同的持有期回报，则长期券在持有期中的价格回报应该低于短期券，由此来冲抵其利息回报的多出部分。即期利率曲线和零息债的定价（续相对价值分析）我们已经知道，将一组不同期限的同质

18、零息债券贴现率换算成年利率的方式，就可以获得相应的即期利率曲线。在应用中，由于即期利率曲线的数据是来自市场上现有的债券品种（注*：关于从市场数据中“提取”即期利率曲线的方法，涉及到一些的具体的参数模型设定和数学方法，我们将在下一章会详细介绍。在本章，读者只需要理解即期利率曲线和市场数据的关系即可），因此，我们可以将即期利率曲线视为债券市场的市场组合曲线，它提供了类似资本资产定价模型（CAPM）的证券市场线（SML）的收益-风险对应关系。从理论上来说，我们可以认为到期期限是债券的一个重要风险因子，而某一期限零息债券的（均衡的）市场收益率可以直接在即期利率曲线上找到对应的数值。换句话说，我们可以把

19、即期利率曲线看作是债券市场的证券市场线。这个方法的意义在于：我们可以通过比较市场上某一零息债券品种与即期利率曲线的相对位置，来评价其投资价值是否高于（或低于）市场水平。如图5-6中的例子，我们看到，高于即期利率曲线的零息债品种具有较高的投资价值，因为相对来看，它们拥有比同期限市场组合更高的回报。反之，低于即期利率曲线的零息债品种被认为具有低于市场组合的投资价值。图5-6通过与收益率曲线的相对位置判断零息债券的投资价值上述的分析在方法论上显然和CAPM的方法：通过股票的值和期望收益与证券市场线的比较来判断其投资价值有类似之处。但对于现金流确定的零息债来说，其相对位置的确定要简单得多，也准确得多。

20、另外，影响债券的风险因素也比股票简单得多，因此我们进行相对价值判断的结论往往相当直接而且有效。对于期限越长的债券要求越高的回报，这个逻辑与理性人假设（Rational Person Hypothesis）在即期利率曲线始终单调上升的情况下显然是没有矛盾的，但收益率曲线往往有时出现“倒挂”的向下倾斜的情况，例如我们前面提到过的图5-5。虽然具有图5-5这种整体形态的收益率曲线并不常见，但很多时候即期利率曲线在局部却会出现下斜的情况。导致这类情况的原因在现实中往往很复杂，可能包括：预期利率变化、市场的投机行为以及凸度的影响等等。这并不影响我们通过即期利率曲线进行相对价值分析，因为我们即使收益率曲线

21、是倒挂的，高于即期利率曲线的零息债仍比同期限市场组合具有更大投资价值（注*：但这并不是说，即期利率曲线上方的零息债在整个市场所有可选择的品种中具有高于平均水平的投资价值，特别是在收益率曲线“倒挂”的区域）。平价息票收益率通过即期利率曲线进行相对价值分析是一个行之有效的办法。然而在中国债券市场上，特别是在主导市场的国债品种中，大多数品种都是按期支付息票，到期还本付息的固定息票债券。我们如何考察这些品种和即期利率曲线之间的关系呢？间接的方法是采用第三章中的方法，把固定息票债券内含的现金流全部按即期利率曲线贴现，然后考察其现值加总后的理论价格和市场价格的高低。此外，如果我们考虑将固定息票债券内含的多

22、个现金流加权平均到一个发生时点（即取得马考勒久期），之后将其到期收益率-久期与即期利率曲线进行对照是一种可行的方法。当然，我们也有另一种更为直观的方法，即由即期利率曲线推导出另一条收益率曲线，使其可以体现一组现金流的贴现率。特别地，当我们确定这条收益率曲线时，按照固定息票债券得现金流发生规则（按期支付息票利率，到期支付本金），使曲线上每一点的收益率水平代表了相应到期期限的固定息票债券的息票金额，而同时该息票债券的全部内含现金流按照我们已知的即期利率贴现之后，刚好使其现价等与其即期发行平价（即票面价格），则我们称这条收益率曲线为平价息票收益率曲线（Par Rate）。例如，我们已知当前的1年期和

23、2年期即期利率分别为S0,1 = 5.00%和S0,2 = 6.00%。那么，若我们考虑即刻发行一只按年付息，面值100元的固定息票国债，其票息（我们设为PR2）应该是多少，才能使得其按照当前的即期利率水平折算的内在价值恰好其面值呢？显然，PR2使下式（5-6）成立 （5-6）求解此方程，我们可以得出PR2 = 5.971%。这个结果实际上就是对应当前即期利率水平的两年期平价息票收益率数值。在这个息票率水平下发行的固息债券，刚好可以使其内在价值等于现值。我们将式（5-6）扩展到更一般的形式，以PRn 表示期限为n年的年付息平价息票收益率，Par表示债券面值，那么有 （5-7）显然，（5-7）中

24、的债券面值Par可以约去，也就是说，PRn 只与1 n年的即期利率水平R1 Rn有关。我们由式（5-7）推出 （5-8）根据式5-8，我们就可以从即期利率曲线推导出整条平价息票收益率曲线，图5-7是中国国债交易所市场2002年12月18日的平价息票收益率和即期利率曲线，表5-3给出了两条曲线1 10年的具体数值，读者可以根据式（5-8）自己用Excel进行换算。图5-7中国国债交易所市场的即期利率与平价息票收益率（2002-12-18）表5-3中国国债交易所市场的即期利率与平价息票收益率（2002-12-18）到期期限12345678910即期利率1.891%2.321%2.579%2.723

25、%2.793%2.819%2.822%2.818%2.815%2.821%平价息票收益率1.891%2.316%2.569%2.709%2.778%2.804%2.809%2.806%2.805%2.811%我们注意到，由于我们选取的计息期间和即期利率数据的时间跨度时一致的，在表5-3中都为一年，显然第一年的平价息票收益率就是第一年的即期利率。如果即期利率是单调递增的，之后的平价息票收益率曲线总是会处在即期利率曲线的下方。要解释这一点，我们可以这样理解：到期一次还本付息的n年期息票债券，其票息率以年利率计算，就是期限为n年的即期利率Sn。显然，单调递增的即期利率曲线表示较长期限的现金流要求比较

26、短期限现金流更高的回报率，作为期限同为n年的息票债券，到期一次还本付息的票息率Sn 显然要求比按年付息的票息率PRn更高一些。反之，若如果即期利率是单调递减的，则平价息票收益率曲线总是会处在即期利率曲线的上方。而如果即期利率曲线是水平的，即期利率、远期利率和平价息票收益率是完全重合的。发行债券时发行人会非常重视相应的平价息票收益率。在较为成熟和理性的市场上进行利率招标的固息债券，其票息一般都会稳定在平价息票收益率附近。而我们注意到，中国的固息国债发行时，往往票息率会与当时的平价息票收益率水平的略有差别，从而使得市场对各期国债认同度不一，而这往往也是出于政策上的考虑。例如2002年底发行的02国

27、债15，其采取固定利率招标的票息为2.93%，而当时的国债平价息票收益率在2.80%左右，这就造成了发行时承销团成员大多投满额度上限，最终达到23倍超额认购比例的火爆场面。那么，我们可不可以用类似度量零息债的相对投资价值的方式，将固息债券的到期收益率和平价息票收益率曲线进行比较，来确定固息债券在当前市场价格下的投资价值呢？答案是不确定的。如果固息债券的到期收益率在其息票附近，那么平价息票收益率曲线与其到期收益率的比较是有意义的，而如果固息债券的到期收益率和其息票相差甚远，那么这种比较就会失去意义。例如，中国国债交易所市场的96国债（6）品种，由于发行时利率水平较高，其票息率达11.83%，而其

28、到期收益率在2002年底在2.5%左右，根据我们在前面章节所介绍的到期收益率和回报的关系，我们可以了解到，其较高的息票回报已经体现在它的高溢价中（其净价在2002年底为130元左右）。也就是说，在它剩余的存续期限内，将有23%左右的负价格回报，来冲抵其较高的利息回报。对于这类债券，因为其价格已经远远偏离了“平价水平”。平价息票收益率曲线对其定价仅具有参考意义，同时必须考虑其现金流的现值（内在价值）与其现价的高低关系。5-3连续复利基本概念我们在第二章中已经了解了复利的概念，并且知道单利（名义利率）与复利（有效利率）之间的基本关系。在本小节中，我们将介绍一种重要的复利形式：连续复利（Contin

29、uous Compounding Rate）。了解连续复利对于读者掌握本书后面章节的内容是非常重要的，复习以前的概念，如果把名义的即期利率S每年复利m次，那么，计算有效年即期利率的计算公式应该是如果复利的次数趋近于无穷，即复利的期间无限小，我们有（5-9）我们知道，极限，e为自然对数底（e 2.71828）。代入式（5-9），我们可知连续复利后的有效年利率为 （5-10） 。表5-4给出了一个连续复利的例子，对应不同名义利率的年计连续复利，即复利无穷次的有效年利率。（注*：为了清楚地表示公式以便于阅读，我们在本书的后续章节有时也会使用exp()来表示自然对数底的幂）表5-4名义利率S5%6%7

30、%8%9%10%连续复利的有效年利率5.127%6.184%7.251%8.329%9.417%10.517%连续复利的性质如果资产以某一名义的利率水平S持续增长了t个时间期间，则我们可以用来表示现值为V0 的资产在时间t后的远期价值FVt。而对于以连续复利形式增值的资产，由式（5-10）我们可以推出，其远期价值FVt为 （5-11）对于，我们称之为连续复利因子。随着时间t的增长，复利因子是呈几何形式增长的。而相比之下，资产以单利形式增值的因子是线性增长的。图5-8比较了连续复利因子和单利因子的增长。图5-8 连续复利与单利的增长（名义即期利率S = 6%）连续复利的一个重要优点在于其复利因子

31、的形式很简单，针对不同期限的复利因子，我们只需要考虑连续复利因子中t的变化，可以很容易得出连续复利因子的数值。表面上看来，连续复利因子和离散复利因子(1+S)t在计算上的繁复程度并无太大区别。但如果我们考虑利率的动态变化，则两者在表达式上就有很大区别。例如我们在已知未来1 n年即期利率S1 Sn的情况下，资产以年计单利计算的远期价值为 （5-12）而以年计连续复利计算的远期价值为 （5-13）显然，后者在计算上更为简单。在有时候，证券分析师需要通过Excel软件进行类似的计算，此时采用年计连续复利更加精确，也更为简单。除此之外，在当代金融工程领域的理论和实际操作中，我们经常要考虑金融资产在未来

32、的远期价值FVt的概率分布。通常，我们可以假设金融资产在一定时间区间内的收益率R的分布，然而对于离散复利的资产远期价值，我们是很难通过R的分布来直接求得FVt的分布的。然而在连续复利的情况下，我们如果已知R服从某一分布，则很容易求得的分布，而且我们还可以避免远期资产的分布中出现负值的可能。特别是，如果R服从正态分布，则连续复利因子和资产的远期价值FVt都是符合对数正态分布的（注*：关于对数正态分布及其性质，我们会在本章的附录中具体介绍），这是一个非常重要的结论，因为包括Black-Scholes方程在内的一系列衍生证券的定价模型都是基于R服从正态分布（或资产的远期价值服从对数正态分布）的假设而

33、得出的。5-4连续复利框架下的即期利率和远期利率连续复利的即期利率由单利的即期利率过渡到连续复利的即期利率并无太多困难。我们考虑现价为V0，未来时间t后到期，支付现金流FVt的零息债券，我们已知它所对应的名义即期利率为 （5-14）而对应的年计连续复利的有效利率为 （5-15）实际上，对于未来某一时点到期零息票债券来说，它的现价所对应的到期收益率就是上述的这一年计连续复利的即期利率。而从即刻起到未来时点T的每一时点年计连续复利的即期利率构成的连续曲线，就是连续复利框架下的有效即期利率曲线。如果我们以即期利率曲线的形式来表示，年计连续复利的有效利率的收益率曲线高度总是会高于名义年利率的收益率曲线

34、的。显然，相同期限下连续复利是要大于名义利率的。在通常的应用时，特别是在下一章我们所谈到的对收益率曲线的拟合方法中，我们所提到的“即期利率”一般都是年计连续复利的即期利率。这样，我们也可以给出对内含多个现金流CF1 CFn息票债券在连续复利框架下进行定价。我们设现金流的发生时间为t1 tn，连续复利的贴现因子为复利因子的倒数，则第i期现金流的贴现因子为 （5-16）我们可以得出，息票债券（即远期的一组现金流）在已知的即期利率下的现值（或理论价格）为 （5-17）式（5-17）实际上就是将本书前面章节已经介绍过的方法的扩展：将债券内含的所有未来现金流束按相应期限得即期利率贴现后的净现值，就是债券

35、的内在价值，也就是债券的理论价格。不过，当我们引入了连续复利的概念之后，贴现因子Bt 则略有不同。在连续复利的框架下，我们用连续复利的贴现因子来代替每年复利一次的贴现因子(1+S)-t。虽然连续复利的贴现因子和每年复利一次的贴现因子在表现形式上略有不同，不过当我们在计算每年复利一次的贴现因子B的时候，如果对年利率的数值使用年计连续复利的实际利率，即，其中，S为名义的年利率，这时候，上述的两种贴现因子是等价的。瞬间远期利率在前述部分对连续复利的研究中，我们考虑的连续复利都是从“即刻”开始即息的情况，所以相应地，我们得到的就是连续复利下的即期利率。类似地，我们也可以对远期利率进行如式（5-10）的

36、转换，获得连续复利框架下的远期利率。如果我们已知了从时点t到时点T的名义远期利率水平f (t,T)，则我们可以得出，有效的远期利率水平，即年计连续复利的有效远期利率水平为 （5-18）我们将式（5-18）扩展到更为一般的形式，假设我们已知在时间t计算的，名义的即期利率水平S (t, T) 和S (t,)（注*：在最一般的表示方法下，我们对即期利率和远期利率不做区分。实际上，在时点t的S(t,T)就是时点t对应的名义即期利率）。那么，让我们研究一下如何计算在时点t计算的，由名义的年利率水平隐含的，由时点到t的连续复利的远期利率水平。首先，我们可以知道对应名义年利率的连续复利有效利率水平，我们分别

37、设为 和 。那么为了获得“收支相抵”的隐含远期利率，我们有 （5-19）我们对式（5-19）两边取自然对数形式，有 （5-20） 我们由式（5-18）可以将式（5-20）转化为全部以名义的年利率表示的形式，从而化简（5-20）为 （5-21）其中为由时点到t的名义的年远期利率水平。(注*：实际上，如果我们取，再取对数可以直接得出式（5-21），正文中的推导略为繁琐，其目的是为了更清楚地表达连续复利框架下有效利率和名义利率的内在关系)我们可以对（5-21）进一步推导，有 （5-22）注意一点，如果我们令无限趋近于T ，此时的连续复利的远期利率水平和名义的年远期利率水平是相等的。那么， 我们可以取

38、（5-22）的极限形式，并继续推导，有 （5-23）式（5-23）表示的极限形式的远期利率是一个非常重要的概念，我们称其为瞬间远期利率（Instantaneous Forward Rate），以finst (t, T) 来表示。瞬间远期利率在理论上表示的是在时间t计算的，在未来时间T发生的计息期间为无限短的（即瞬间）的利率水平。当然，因为按照计息期间计算的finst (t, T)是一个无穷小量，所以我们也同样要把它换算成年计利率的形式。在一些成熟市场上，瞬间远期利率的理论值往往会体现在隔夜回购或者类似的发生时间非常短的信用拆借活动中（注*：相对于一年的时间段来说，隔夜回购的计息期间可以被理解为

39、非常短的“瞬间”。但对于中国货币市场上的一些类似品种，如交易所的回购品种R001来说，其利率变化还受到很多其他因素影响，并不一定和瞬间远期利率的理论值总是很接近）。在本书后续的章节中，将会经常地使用瞬间远期利率这个重要的概念，它是描述利率动态变化（也就是数理金融学中常用的利率动态变化的时间序列模型）的理论基础。请读者注意，瞬间远期利率和本章开始部分所述的一般意义上的“远期利率”有所不同，它的数学意义实际上是即期利率曲线的微分。当然，瞬间远期利率也是远期利率的一种。既然瞬间远期利率是即期利率曲线的微分，我们可以将前面提到的时点t到时点T的即期利率S(t, T) 表示为瞬间远期利率的积分均值形式。

40、利用积分中值定理，我们有 （5-24）而相应期间的贴现因子为 （5-25）显然，对于给定的即期利率水平和按期付息的债券，我们可以计算它在时点t的现值（即理论价格）为 （5-26）其中，对每一笔单独地在时间Ti发生的现金流CFi ，我们有 （5-27）（5-27）式也是我们对确定性现金流定价的最一般的表述形式。即根据连续的即期利率曲线（其每一点上的微分体现为瞬间远期利率）来确定现金流在某一时点的现值。利用（5-26）和（5-27）的推导过程和结论，我们在计算远期现金流在未来某一时点t的现值时，可以简化一些区分“即期利率”和“远期利率”的思考方法，而仅需考虑当前的即期利率曲线数据即可。附录：连续复

41、利与对数正态分布在第五章的正文部分，我们提到过连续复利的一个良好性质，即可以简化对金融资产远期价值概率分布的计算。而很多现代数理金融学理论和金融工程应用中，都经常需要利用这一性质。在本部分附录内容中，我们将简要介绍对数正态分布和正态分布的关系、连续复利和对数正态分布的关系，以及以连续复利形式增长的金融资产的分布和性质。我们知道，对于正态分布（,2）来说，其概率密度为，如图5-9所示。图5-9在对于金融资产的未来收益率的估计中，我们可以假设，未来一段时间的某一投资组合收益率符合期望值为的，标准差为2的正态分布。在传统的有效市场假说（Effective Market Hypothesis）中，证券

42、价格服从所谓随机漫步（Random Walk）的过程时，其收益率的分布即为正态分布。如果我们以离散的复利来计算投资组合的远期价值，则我们可以得出，远期价值。其中，R为投资组合在经过某一时间段t后的的收益率，它服从某一正态分布（,2）。但这样的计算方法会使我们会遇到许多问题：首先，离散的复利计算方法并不精确，而且使这一收益率发生的时间区间内，某一特定时点的收益率期望值的计算过程很麻烦。例如，假设我们取R的收益率计算时间为t = 两天，那么在需要精确计算t/2 = 一天 的收益率期望值时，我们却不能直接取0.5R，而是必须考虑一个时间区间内复利两次的问题。其次，由于R是服从正态分布的，这也就意味着

43、，我们的投资组合远期价值有可能出现负值，虽然这一概率往往并不大，但是也是不可忽略的。第三，即使我们知道了R的分布情况，要得知的分布情况却需要很麻烦的计算。特别是，如果我们仅仅知道每一时间段内的收益率分布，那么经过了n个时间段之后的投资组合远期价值的分布情况更是无从得知。但是我们知道，如果一个随机变量X服从于某一正态分布（,2），则eX服从对数正态分布，其概率密度为，如图5-10此外，我们还可以知道，这个服从上述对数正态分布的随机变量eX有期望值和方差。图5-10因此，对于我们现值为PV，以连续复利形式增长的投资组合来说，若其收益率R服从正态分布（,2），则其远期价值FV服从对数正态分布，其期望

44、值为，方差为。其实，这也就是说，这份投资组合以连续复利计算的价格服从对数正态分布。对于对数正态分布的金融资产，还有一个良好的性质是其收益计算期间的可变性。我们在计算收益率的时候，通常都将其转换为年利率的形式。而如果按连续复利计算的价格（已经转换为年计连续复利）服从对数正态分布，则我们可以任意变更收益率考察的期间。对于期间为t（相对于连续复利计算的收益率的原始计算期间，例如一年）的连续复利收益率，其期望值为，方差为即标准差。例如，我们已知服从正态分布的投资组合价格的一年期预期名义收益率为10%，标准差为30%，则在未来的一个月内，投资组合的连续复利收益率期望值为。其标准差为因为对数正态分布具有上述的这些优点，因此它也成了现代金融学中最常见的一个对金融资产价格变化的假设。特别是著名的Black-Scholes微分方程中，基础资产的价格服从对数正态分布是非常重要的一个假设。在经典的描述金融资产价格动态变化的一些随机过程的数学形式（例如本书后面章节中将要涉及的Ito过程及其引理）中，对数正态分布假设也是很常见的，虽然并不一定是直接针对资产的价格进行这一假设。当然，这个简单而优美的假设并不一定总是和现实中的观察到的情况完全一致。