数值分析典型习题汇总.doc

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1、 题型一:有效数字1,确定的首位数字x1,要使的近似值x*的相对误差不超过0.510-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)2，要使的相对误差不超过0.510-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010)3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在0，2内的近似根x*

2、.(2010-2011)2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f(0)=3, f(1)=7;(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H3(x);(2) ,x-1,1, 确定用H3(x)代替f(x)的误差界（已知|f(4)(x)|M4，x-1,1).(2010-2011)3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010)4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f(1)=3, f(3)=9;(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2) 计算f(

3、1.6)的近似值；若M4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f(4)(x)|M4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)xi-1023f(xi)-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f(1)=1, f(2)=9,(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2) ,计算f(1.8)的近似值：若M4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f(

4、4)(x)|M4).(2007-2008)8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f(2)=5, f(3)=8,(1) ,建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2) ,计算f(2.5)的近似值：若M4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f(4)(x)|M4).(2006-2007）9,已知f(x)的如下函数值表xi0.10.20.30.4f(xi)1.122.652.811.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006)10,已知f(x)=sinx的如下函数值表xi1.01.52.0sinxi0.84150.99

5、750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L2(x);(2) ,若同时已知：f(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H3(x)；(3) ,当时，x不取节点，求的上界.(2011-2012)题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：x-2-1012y01210用二次多项式y=C0+C1X+C2X2按最小二

6、乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）2,求在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去权函数(x)=x).(2009-2010)3,通过实验获得以下数据：xi0123yi13610请用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式.(2008-2009)4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式,有下列公式：其中：(1) ,求0,1上首项系数为1的正交多项式（权函数(x)=1),g0(x),g1(x),g2(x)(2) ,以上述正交多项式为基，求sinx在区间0,1上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)

7、(2004-2005)5,以正交多项式为基，求函数在区间0,1上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数(x)=x,(2011-2012)6,通过实验获得以下数据：ui01916vi11/21/31/4请用最小二乘法求形如的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)题型四：代数精确度1,确定参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)2,确定参数A1，A2，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010)3,建立高斯型求积公式.(2009-2010)4,确定求积公式中的参数A,B,C，使其代数精度尽

8、量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B)5,确定求积公式的代数精确度.(2006-2007B)6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度.(2004-2005)8,已知h0，建立高斯型求积公式：.(2011-2012)题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)2,设定积分，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要

9、的最少节点数为多少？（2009-2010）3,给定积分，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（注：）(2008-2009B)4,给定积分，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008）5，给定积分，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（已知：）（2006-2007）6,用积分计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式

10、至少需要取多少个节点？（2005-2006）7，用积分计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005）8,对于定积分，当M2=1/8,M4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I的截断误差为Rsf,用n个节点的复化梯形求积公式求I的截断误差为RTf,要使RTfRsf，n至少是多少？（M2=max|f”(x)|,M4=max|f(4)(x)|,).(2011-2012)题型六：Doolittle分解及方程组求解1,求矩阵的Doolittle分解.(2010-2011)2,求矩阵的Doolittle分解.(2009-

11、2010)3,设线性方程组(1) ,对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2) ,用所得的Doolittle分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)4,设线性方程组(1),对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2),用所得的Doolittle分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组：(1) ,对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2) ,利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：.(2010-2011)7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:.(2009-2010)题型七

12、：条件数及范数1,求线性方程组的系数矩阵A的条件数cond1(A),并说明其含义.（2010-2011）2,设矩阵，求cond(A).（2009-2010）3,设三阶对称矩阵A的特征值分别为：-2,1,3，求|A|2及cond2(A).(2007-2008)4,若n元线性方程组Ax=b为病态的，可以得到关于系数矩阵A的什么性质.(2006-2007)5,若,求cond1(A).（2005-2006）求cond(A).(2004-2005)6,设,求.(2007-2008)7,若,求谱半径.(2005-2006)题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1，写出求解方程组的雅可比迭代公式，并说明其收敛

13、性.(2010-2011)2，设有方程组：，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)3,写出求解方程组：的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组：(1) ,证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛；(2) ,取，用雅可比迭代法进行求解，要求.(2007-2008)7,设线性方程组:(1) ,写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性；(2) ,取，用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b的系数矩阵，其中t0),f(x)的三阶导数连续，证明：.(2011-2012)