基于VaR的投资组合优化方法.doc

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1、基于VaR的证券投资组合优化方法内容提要本文深入研究了基于VaR的最优投资决策问题，给出了在VaR约束下的投资组合优化模型。该模型在Markowitz均值-方差模型的基础上，加入了VaR约束，保证了其风险度量手段与我国金融机构现有投资选择方法在技术上的一致性。针对约束条件过于复杂的情况，我们还给出了一种几何求解方法，巧妙地解决了传统Laganerge乘子法无法处理上述模型的问题。在本文的实证分析部分，我们以我国资本市场三种最基本的金融资产股票、基金、债券以及三只具有不同风险收益特征的蓝筹股为例，研究了在引入VaR的约束条件下的最优投资组合的确定问题。目 录1、理论综述2、VaR约束下的投资组合

2、优化模型 2.1 VaR的基本原理与分析 2.2 引入VaR约束的马柯维茨均值方差模型 2.3 模型的几何求解方法3、实证分析：最优资产及股票配置决策 3.1 股票、基金、债券资产组合的最优配置 3.2 股票投资组合的最优配置4、基本结论1理论综述在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，投资决策也是金融机构经营活动中最基本的决策之一。现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。从历史发展看，投资者很早就认

3、识到了分散地将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。但是第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马柯维茨(Markowitz)以及它所创立的马柯维茨的资产组合理论。1952年马柯维茨发表了证券组合选择，标志着证券组合理论的正式诞生。马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。马柯维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时十分精确，但是在处理含有许多证券的组合时，计算量很大。马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。在一系列的假设条件下，威廉夏普(William F. Sharp)等学者推导

4、出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合模型。由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并没有降低，所以得到了广泛应用。夏普的资产优化组合模型对马柯维茨模型进行了简化和扩展，但是仍然继承了马柯维茨对风险的定义。最近国外一些学者认为马柯维茨对风险的定义具有一定的缺陷，从而提出了一些新的投资组合优化模型，其中较有影响的是使用VaR来定义风险，并以此推导出建立在VaR基础上的投资组合优化模型，如Gaivoronski A, Pflug G. (2000)。国内学者对马柯维茨模型的研究较为充分，并给出了一些程序化的求解方法，如屠新署、王春峰等(2002)、宁云

5、才、王红卫(2003)等；对VaR方法的研究也逐渐深入，但大多将重点放在投资组合市场风险的度量上，如邵欣炜、张屹山(2003)。偶有少数研究报告对二者进行过综合分析，但其最终得出的投资组合有效前沿也值得商榷。鉴于此，本文第二部分在马柯维茨均值-方差模型的基础上，提出了一个基于VaR约束的投资组合优化模型，并给出了对于该模型的几何求解方法；第三部分以我国资本市场三种最基本的金融资产股票基金债券以及三只具有不同风险收益特征的蓝筹股为例进行了实证分析，研究了它们最优组合的确定问题；第四部分为本文的结论。2VaR约束下的投资组合优化模型2.1 VaR的基本原理与分析投资决策的数学本质是一个带有约束的最

6、优化问题，其中优化目标选择的不同导致投资决策方法的不同。在金融领域，通常的投资决策目标是对风险和收益的综合考虑。在经典的马柯维茨证券组合理论中，用均值描述期望收益，用方差描述风险，投资决策的目标函数是均值和方差，即选择最小的风险和最大的收益。事实上，马柯维茨的均值方差模型给出了投资决策的最基本也是最完整的框架，是当今投资理论和投资实践的主流方法。VaR，即风险价值(Value at Risk)，是指市场正常波动下，在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。由于VaR值可以用来简明地表示市场风险的大小，因此没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值对

7、金融风险进行评判。并且VaR方法可以事前计算风险，它不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小。另外，VaR方法还可以衡量全部投资组合的整体风险，这也是传统金融风险管理所不能做到的。VaR方法的这些特点使得它逐渐成了度量金融风险的主流方法，越来越多的金融机构采用VaR测量市场风险，使用VaR作为风险限额，特别是监管当局也在使用VaR确定风险资本金，这使得许多金融机构及其业务部门在投资选择时，往往需要满足VaR约束。为此，本文将研究一个在马柯维茨均值方差模型的基础上加入VaR约束的投资组合优化模型。根据VaR的定义，可以表示为：其中，为证券组合在持有期内的损失，VaR为置信水平下处于风险中的价

8、值。从上面的定义中我们可以看出，VaR有两个重要的参数：资产组合的持有期及置信水平。这两个参数对VaR的计算及应用都起着重要的作用。1资产组合的持有期从投资者的角度来说，资产组合的持有期应由资产组合自身的特点来决定。资产的流动性越强，相应的持有期越短；反之，流动性越差，持有期则越长。国外商业银行由于其资产的高流动性，一般选择持有期为一个交易日；而各种养老基金所选择的持有期则较长，一般为一个月。在应用正态假设时，持有期选择得越短越好，因为资产组合的收益率不一定服从正态分布，但在持有期非常短的情形下，收益率渐进服从正态分布，这时的持有期一般选为一天。另外，持有期越短，得到大量样本数据的可能性越大。

9、Basle委员会选择10个交易日作为资产组合的持有期，这反映了其对监控成本及实际监管效果的一种折衷。持有期太短则监控成本过高；持有期太长则不利于及早发现潜在的风险。本文主要对股票投资组合进行分析，持有期选为一个交易日。2置信水平置信水平的选取反映了投资主体对风险的厌恶程度，置信水平越高，厌恶风险的程度越大。由前面所述VaR的定义我们可以看出，置信水平的选取对VaR值有很大影响。同样的资产组合，由于选取的置信水平不同计算出的VaR值也不同。由于国外已将VaR值作为衡量风险的一个指标对外公布，因此各金融机构有选取不同的置信水平以影响VaR值的内在动力。例如，国外各银行选取的置信水平就不尽相同，美洲

10、银行和J.P.Morgan银行选择95%，花旗银行选择95.4%，大通曼哈顿银行(Chemical and Chase)选择97.5%，信孚银行(Bankers Trust)选择99%。由VaR的定义可知，置信水平越高，资产组合的损失小于其VaR值的概率越大，也就是说，VaR模型对于极端事件的发生进行预测时失败的可能性越小。因此，Basle委员会要求采用99%的置信水平。为了更好地理解VaR的概念，下面我们将推导其数学表达式。设资产组合的初始价值为，持有期末的期望收益为，的数学期望和标准差分别为和，在给定的置信水平下，期末资产组合的最低值为，其中为相应的最低收益率(一般为负值)，则： (1)V

11、aR也可由资产组合值的概率分布推导而得。由VaR的定义， 该式等价于： 即组合价值低于的概率为。设资产组合的价值服从正态分布，为标准正态分布相应的分位数，则： 其中为标准正态分布密度函数。又由 可知： (2)将(2)式代入(1)式可得： (3)这就是正态分布假设下VaR的一般表达式。以上为计算VaR的一般方法，在实际应用中，根据对市场因子波动性预测方法的不同，VaR的求解方法可分为方差协方差法、历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法。方差协方差法的基本思想是对组合内资产收益率的分布做出假设，并且令投资组合收益率是各资产收益率的线性组合，(3)式便是该方法在正态分布假设下得到的结果。应用历史模拟法计算Va

12、R不需要对资产组合收益的分布作出假设。这种方法是借助于过去一段时间内的资产组合收益的频度分布，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及既定置信区间下的最低收益水平来推断VaR的值。该方法的本质是用收益率的历史分布来代替收益率的真实分布，以此来求得资产组合的VaR值。Monte Carlo模拟法最早于1942年由研制原子弹的科学家研制并加以应用，其名称Monte Carlo来自法国南部著名的赌城。在金融市场上，Monte Carlo模拟法用来模拟确定时期不同情形下的资产组合值。Monte Carlo模拟法是计算VaR的各种方法中最为有效的方法。对于资产组合的不同分布状况以及各种非线性的情形，Mon

13、te Carlo模拟法都可以得到令人满意的结果。2.2 引入VaR约束的马柯维茨均值方差模型经典马柯维茨均值-方差模型为：模型（）其中，；是第种资产的预期回报率；是投资组合的权重向量；是种资产间的协方差矩阵；和分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。该模型的解在空间是图1中的抛物线，即投资组合的有效前沿。马柯维茨均值-方差模型利用方差度量了资产组合的市场风险，但该方法主要存在两个缺点：方差只描述了收益的偏离程度，却没有描述偏离的方向。而实际中最关心的是负偏离(损失)；方差并没反映证券组合的损失到底是多大。因此对于随机变量统计特征的完整描述需要引入概率分布，而不仅仅是方差。鉴于前述VaR方法在

14、风险度量与管理领域中的主流地位，现在我们考虑在模型中加入VaR约束。假定置信水平为，由VaR的定义，有： (4)在模型（）中考虑VaR约束后，经典均值-方差模型为：模型（） (5)在正态分布下，（4）式可化为： (6)其中，是标准正态分布的分布函数。VaR约束-VaRAB图1 基于VaR约束的投资组合的有效前沿O模型（）的解在空间中是图1中的弧线，称其为基于VaR约束下的投资组合的有效前沿。图1中VaR约束表现为一条斜率为、截距为-VaR的直线。在该直线或其以上的全部投资组合都具有的概率使其回报率超过最小值-VaR；而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度下不超过-VaR。这样，VaR约束使投

15、资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR约束直线间的阴影部分，即点和之间的弧线上。进一步地，根据有效集定理，最优投资组合选择应为抛物线顶点O与点A之间的弧线，即弧线段OA。 这一结论与吕先进(2002)等研究论文中得出的有效投资组合选择范围为整个弧线段AB的结论有所不同。可以看出，弧线OB段并非最优投资组合有效集，在相同风险下，其收益明显不如弧线OA段相应部位高，因此在我们认为在VaR约束下最优投资组合的选择范围仅为弧线段OA.2.3 模型的几何求解方法由图1可知，VaR约束的最优投资组合确定时，只需求出点A和O处的权重即可。但由于该模型的约束条件比较复杂，用传统的Laganerge乘子法无法

16、求解。因此在这里我们用几何方法来解决此问题。设种资产组合的权重是（其中），则投资组合的期望回报率与方差分别可表示为： (7) (8)因为协方差矩阵是正定矩阵，所以在权重空间中，(8)式代表等方差超椭球面。取不同值可得到一族同心超椭球面，中心记为，表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数；在权重空间中，(7)式代表等期望回报率超平面，取不同值可得到一族平行超平面。因而，种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点。将这些正切点连接起来，就得到一条直线，称其为种资产投资组合的临界线。不难看出，临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式。(7)式在点处的

17、法向量为：(8)式在点处的法向量为： 令 则(8)式在点处的法向量可简化为：由临界线定义，可得临界线方程为 (9)由(9)式可得到个方程构成的线性方程组： (10)其中：， 进一步将(6)式化为如下形式： (11)根据均值和方差的表达式：，将其代入上式： (12)因为线性方程组(10)的秩是，所以它的基础解系的个数是1，我们可以用分别表示。而由于，也可以用表示。将代入(12)式，就得到一个关于的一元二次方程，求出就可得到相应的值。因为有两个根，因此有两组解，它们分别是点A和点B处的权重。这样就求出了点A和点B处投资组合的预期回报率，和方差，。进一步地，根据方程，我们可求出抛物线顶点O处的投资权

18、重。该方程是常数项包含的关于一元二次方程，当其判别式为零时只有一个解，此时与重合为。利用判别式为零求出后，便可分别求出O点的投资权重及投资回报率。于是可以得到VaR约束下投资组合的选择范围：，。针对这一范围内投资组合的一个回报率，联立(10)式和(7)式，就可在临界线上求得投资组合最优权重，该权重下的投资组合的方差为最小，并通过(8)式可算出这个最小方差；同理，给定了上述范围内投资组合的一个方差，联立(10)式和(8)式，就可在临界线上求得投资组合的最优权重，使得该权重下的投资组合的预期回报率最高，并且由(7)式可算出这个最高的预期回报率。需要指出的是，VaR约束可能太严格以致关于的一元二次方

19、程无解，即任何组合都被排除在外，这种情况体现在图1中便是VaR约束线和弧线AB没有交点。同样，VaR约束太宽松也将使计算结果变得没有意义。3、实证分析：最优资产及股票配置决策VaR约束下的均值方差模型为我们进行大类别的资产、行业配置以及具体的个股权重配置等问题提供了很好的求解方法。下面我们通过几个具体的实证分析来考察该模型的实际意义。3.1 股票、基金、债券资产组合的最优配置由于我国证券市场尚不发达，没有期货、期权等金融衍生工具，可以投资的资产种类并不多，因此我们可以首先考虑将该方法运用到资产的最优配置上。下面选择我国证券市场三种最基本的金融资产股票、基金、债券进行投资组合优化分析。我们的分析

20、期为一年，即通过分析各类资产年期望收益与风险来确定其最优配置权重。股票资产期望收益率我们取现今市场委托理财最低年收益率8%，债券资产期望收益我们取现金国债市场一年期券种持有期收益率2.8%。对于基金市场，虽然近两年开放式基金净值增长率均超过了指数，但封闭式基金指数却大幅走低，折价率不断攀升。综合各方面因素，我们决定使用类似基金业绩比较基准的方法来确定基金资产的期望收益率：75%股票资产收益率25%债券资产收益率。对于股票、基金、债券的历史波动水平，我们分别取上证指数、上证基金指数以及上证国债指数收益率序列的方差来代替。下表1给出了三类资产的日平均回报率、回报率的标准差以及协方差矩阵。表1股票、

21、基金、债券的日均回报率、风险数据及协方差矩阵回报率均值(%)回报率标准差(%)协方差矩阵股票0.02191.462.14 1.42 0.0208基金0.01831.121.42 1.25 0.0037债券0.00770.280.0208 0.0037 0.078利用前面介绍的方法，我们可以得出：假设我们取VaR=2%，此时A点和O点股票(1)、基金(2)、债券(3)的投资权重分别为：， ， ， ， 相应地，点A和点O处投资组合的日回报率，年回报率，日标准差分别为：，(年)， 。，(年)， 。我们可以看出，A点为在2%的约束下风险最高，收益也是最高的投资组合。其中债券的权重为-0.067，在这里

22、我们可以把负号理解为卖空。而O点为风险、收益均最小的组合，组合中绝大部分资产均为低风险的债券。根据以上计算结果，可归纳出在VaR=2%约束下的投资组合的选择范围是：，(年)，。这意味着，对于上述范围内的任意投资组合，都具有95%的概率使其回报率超过：即风险损失超过VaR=2%的可能性最多只有5%。进一步地，我们可以求出与上述范围内不同期望回报率（或回报率的标准差）相对应的资产权重：表7.2 不同收益水平下的资产配置权重及风险组合收益0.0095%0.013%0.016%0.0205%股票权重0.01250.1780.3180.552基金权重0.14850.2610.3560.515债券权重0.

23、8390.5610.326-0.067组合标准差0.26%0.51%0.83%1.21%结合不同的收益要求及风险承受能力，投资者可以根据上面的计算结果确定自己的最优化大类别资产配置。3.2 股票投资组合的最优配置该方法还可以用来做更为实用的个股权重配置。下面我们对我国证券市场的三只蓝筹股上海机场(600009)、齐鲁石化(600002)以及华北制药(600812)进行投资组合优化分析。这三只股票的风险收益特征比较明显，也比较有行业代表性。下表给出了这三只股票的日均回报率、回报率的标准差及协方差矩阵。表3 三只股票的日回报率、风险数据及协方差矩阵回报率均值(%)回报率标准差(%)协方差矩阵华北制

24、药0.05402.305.27 2.80 1.74齐鲁石化0.02752.062.80 4.26 1.67上海机场0.02361.701.74 1.67 2.90从表3中我们可以看出，该三只股票均具有正的回报率，且较高的收益伴随着较高的风险，比较适合进行投资组合优化分析。我们可以得到：， 当VaR=3%时，A点和O点华北制药(1)、齐鲁石化(2)、上海机场(3)的投资权重分别为：， ， ， ， ，(年)， 。，(年)， ， 。根据以上计算结果，可归纳出在VaR=3%约束下的投资组合的选择范围是：，(年)，。这意味着，对于上述范围内的任意投资组合，都具有95%的概率使其回报率超过即风险损失超过V

25、aR=3%的可能性最多只有5%。进一步地，我们可以求出与上述范围内不同期望回报率（或回报率的标准差）相对应的最优个股权重：表4 不同收益水平下的资产配置权重及风险组合收益0.0285%0.03%0.035%0.04%0.0445%华北制药权重0.1170.1710.3460.5220.681齐鲁石化权重0.3340.3080.2240.1390.063上海机场权重0.5490.5210.4300.3390.256组合方差2.472.482.653.033.55组合标准差1.572%1.575%1.628%1.741%1.88%在每一预期收益或风险限额下，表4给出的个股权重均为最优的。另外，我们

26、还可以根据不同的风险承受能力来选择不同的VaR值。以上两个实证分析说明该模型在金融投资领域中有较强的实用性，但同时我们也应当注意其存在的一些问题：当组合中包含许多证券时，计算量很大；模型要求组合中各证券的风险收益特征必须有所区别，高收益的证券应当对应高风险，低风险的证券应当对应低收益，但证券组合，尤其是股票投资组合达到这一要求有一定困难；模型要求对资产未来的收益状况进行比较准确的预测，否则计算结果将失去意义。四、基本结论马柯维茨的证券组合理论是现代投资理论和投资实践的基础，他的均值-方差模型给出了投资决策的最基本也是最完整的框架。投资决策大都是在马柯维茨证券组合理论的框架或基本思想下展开的，不

27、同的只是收益和风险的描述不同。由于当前VaR在风险测量、风险限额设定和绩效评估中的广泛应用，因此在马柯维茨证券组合理论的框架下，基于VaR的投资决策具有重要的实用价值。本文在马柯维茨的均值方差模型的基础上，加入了VaR约束，给出了一个基于VaR的证券投资组合优化模型。该模型与金融机构及监管当局现有的投资选择方法在技术上保持了一致。由于约束条件的复杂性，传统的Laganerge乘子法无法求解该模型。为此，我们给出了一种几何求解方法。在本文的实证分析部分，我们以我国资本市场三种最基本的金融资产股票、基金、债券以及三只具有不同风险收益特征的蓝筹股为例，研究了在引入VaR的约束条件下的最优投资组合的确

28、定问题。希望本文能够对我国证券市场的投资者，尤其是机构投资者的证券投资活动有所裨益。参考文献：1 邵欣炜，张屹山，基于VaR的证券投资组合风险评估及管理体系，数量经济技术经济研究，2003.12。2 金道政，黄永兴，金融投资学，中国科学技术大学出版社，2002年。3 屠新曙，王春峰，巴曙松，投资组合效用问题研究，数量经济技术经济研究，2002.5。4 宁云才，王红卫，马克维茨组合投资模型的程序化求解方法，数量经济技术经济研究，2003.10。5 James L. Farrell, Jr. , Walter J. Reinhart, 投资组合管理理论及应用，机械工业出版社，2000年。6 Gai

29、voronski A, Pflug G. Finding Optimal Portfolio with Constraints on Value at Risk: working paper. Norwegian University of Science and Technology, 2000.7 Zenios, S.A. (Ed) (1996). Financial Optimization. Cambridge Univ. Pr.8 Duffie, D. and Pan, J. (1997). An Overview of Value-at-Risk. Journal of Derivatives. 4, 7-49.