北师大版八年级下册数学[《平行四边形及其性质》知识点整理及重点题型梳理](基础).doc

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1、北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行四边形及其性质（基础） 【学习目标】1理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” 【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有

2、四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线

3、上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为DAB、CBA的平分线求证：DFEC【答案与解析】证明： 在ABCD中，CDAB， DFAFAB 又 AF是DAB的平分线， DAFFAB， DAFDFA， ADDF 同理可得ECBC 在ABCD中，ADBC， DFEC【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等

4、提供了条件举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CEAF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明. 【答案】证明：猜想：BE DF且BEDF.四边形ABCD是平行四边形 CB=AD，CBAD BCEDAF 在BCE和DAF中 BCEDAF BEDF，BECDFA BEDF即 BE DF且BEDF.2.（2016永州）如图，在ABCD中，BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BFAE，BEA=60，AB=4，求平行四边形ABCD的面积【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出

5、BAE=BEA，即可证明；（2）证明ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明ADFECF，得出ADF与ECF的面积相等，平行四边形ABCD的面积=ABE的面积，即可得出结果【答案与解析】（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBC，ABCD，AB=CD，AEB=DAE，又AE是BAD的角平分线，BAE=DAE，AEB=BAE，AB=BE，BE=CD（2）解：AB=BE，BEA=60ABE为等边三角形，AE=AB=4，BFAE，AF=EF=2，BF=，ADBC，D=ECF，DAF=E，在ADF和ECF中， ,ADFECF（AAS）ADF的面积=ECF的面积，平行四边形ABCD的面积=

6、ABE的面积=【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质3.如图，在ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B，C处，线段EC与线段AF交于点G，连接DG，BG求证：（1）1=2；(2）DG=BG【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DCAB，推出2=FEC，由折叠得出1=FEC=2，即可得出答案；（2）求出EG=BG，推出DEG=EGF，由折叠求出BFG=EGF，求出DE=BF，证DEGBFG即可【答案与解析】证

7、明：（1）在平行四边形ABCD中，DCAB，2=FEC，由折叠得：1=FEC，1=2；（2）1=2，EG=GF，ABDC，DEG=EGF，由折叠得：ECBF，BFG=EGF，DE=BF=BF，DE=BF，DEGBFG（SAS），DG=BG【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力4.如图，已知ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E求证：AB=BE【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，ABCD，推出C=FBE，CDF=E，证CDFBEF，推出BE=DC即可【答案与解析】证明：F是BC边的中点

8、，BF=CF，四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，ABCD，C=FBE，CDF=E，在CDF和BEF中CDFBEF（AAS），BE=DC，AB=DC，AB=BE【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出CDFBEF举一反三：【变式】如图，已知在ABCD中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC于点E求证：E是BC的中点【答案】证明：在ABCD中，ABCD，且AB=CD，CDF=F，CBF=C，AB=FB，DC=FB，DECFEB，EC=EB，即E为BC的中点类型二、平行线的性质定理及其推论5.（1）如图1，已知ABC，过点A画一条平分三角

9、形面积的直线；（2）如图2，已知l1l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明EGO与FHO面积相等；（3）如图3，点M在ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；（3）结合（1）和（2）的结论进行求作【答案与解析】解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；（2）证明：l1l2，点E，F到l2之间的距离都相等，设为hSEGH=GHh，SFGH=GHh，SEGH=SFGH，SEGH-SGOH=SFGH-SGOH，EGO的面积等于FHO的面积

10、；（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作ANMD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等举一反三：【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等下面经历探索与应用的过程探索：已知：如图1，ADBC，ABCD求证：AB=CD应用此定理进行证明求解应用一、已知：如图2，ADBC，ADBC，AB=CD求证：B=C；应用二、已知：如图3，ADBC，ACBD，AC=4，BD=3求：AD与BC两条线段的和【答案】探索：证明：如图1，连接AC，ADBC，DAC=BCAABCDBAC=DCA 在ABC和CDA中，ABCCDA（ASA），AB=CD；应用一：证明：如图2，作DEAB交BC于点E，ADBC，AB=DEAB=CD，DE=CD，DEC=CDEAB，B=DEC，B=C；应用二、解：如图3，作DFAC交BC的延长线于点FADBC，AC=DF、AD=CF，DFAC，BDF=BEC，ACBD，BDF=BEC=90，在RtBDF中，由勾股定理得：BF=5，故BC+AD=BC+CF=BF=5