毕业设计(论文)基于Matlab的FIR低通滤波器设计.doc
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1、浙江万里学院本科毕业设计(论文)(2012届)论文题目 基于Matlab的FIR低通滤波器设计 (英文) Design of FIR Low-pass Digital Filter Based on Matlab 所在学院 电子信息学院 专业班级 学生姓名 指导教师 指导教师 职称 完成日期 年 月 日基于Matlab的FIR低通滤波器设计黄丽王(浙江万里学院电信学院电子082班)2012年4月摘 要FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分,由于FIR数字滤波器具有严格的线性相位,因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用。本文介绍了FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件,分析了窗函
2、数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器的思路和流程。在分析三种设计方法原理的基础上,借助Matlab仿真软件工具箱中的fir1、fir2和remez子函数分别实现窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器。仿真结果表明,在相频特性上,三种方法设计的FIR滤波器在通带内都具有线性相位;在幅频特性上,相比窗函数法和频率采样法,等波纹逼近法设计FIR滤波器的边界频率精确,通带和阻带衰减控制。关键词:FIR数字滤波器;窗函数法;频率采样法;等波纹逼近法;MatlabAbstractIn a digital signal, there will be some interference
3、signal which system does not needed often. So we need to use digital filtert to filter the signal to extract the useful signal. FIR digital filter is an important component of digital filter.As the FIR digital filters linear phase response is required, it have been widely used in information collect
4、ion and processing. This paper introduced the concept of FIR digital filters and the general idea of the design, Introducting and compareding the advantages and disadvantages of three kinds of the FIR filter design method, and respectively design filter using the window function method, the frequenc
5、y sampling method and wave approximation method. Especially in digital signal processing, Matlab is widly used which can design requirements It is Intuitive and simple so that greatly reduce the workload. This article is designed by Matlab function and simulated by Matlab software to make the tediou
6、s step in the calculation simplify.It also drawed the amplitude-frequency characteristic curve relatly. Finally, the original signal and filtered signal are contrasted and analied.Key Words:FIR digital filters,Window function,Frequency sampling,Equiripple approximation method,Matlab目 录1引言12FIR数字滤波器线
7、性相位条件22.1 FIR数字滤波器概述22.2 FIR数字滤波器线性相位定义32.3 FIR数字滤波器线性相位时域约束条件33FIR数字滤波器设计方法53.1 FIR数字滤波器的窗函数设计法53.1.1 窗函数设计法的设计思路53.1.2 吉布斯效应73.1.3 常见窗函数介绍73.2 FIR数字滤波器的频率采样设计法103.2.1 频率采样法的基本思路103.2.2 频率采样法的设计步骤113.3 FIR数字滤波器的等波纹逼近设计法133.4 不同设计方法的比较164 基于MATLAB的FIR数字滤波器设计174.1 Matlab简介174.2 窗函数法的Matlab实现184.2.1 f
8、ir1函数介绍184.2.2 基于fir1函数的窗函数法FIR滤波器设计184.3 频率采样法的Matlab实现214.4 等波纹逼近法的Matlab实现225 结论24致谢25参考文献261引言随着信息科学和计算机技术的不断发展,数字信号处理(DSP,Digital Signal Processing)的理论和技术也得到了飞速的发展,并逐渐成为一门重要的学科,它的重要性在日常通信、图像处理、遥感、声纳、生物医学、地震、消费电子、国防军事、医疗方面等显得尤为突出。在我们面临的信息革命中,数字信号处理几乎涉及了所有的工程技术领域1。数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术,它的
9、目的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波,最后得出其中的有用的信号。数字滤波器是数字信号处理的一种,一般根据单位脉冲响应h(n)分为无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)系统。IIR数字滤波器的设计方法简单,特别是采用双线性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象,但是IIR滤波器存在一个较为明显的缺憾,就是它的相位响应一般都是非线性的,而在传输频带内的相位响应如果不是线性的,就会造成有用信号的传输失真,而FIR数字滤波器不仅可以设计成任意的幅度响应,而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应。FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)有限长,所以FIR数字滤波器是稳定的,不存在
10、稳定性的问题,且可以通过快速傅里叶变换(FFT)的算法来实现信号滤波,大大的提高的运算效率。因此,FIR数字滤波器日益引起了人们的关注。FIR数字滤波器的设计方法有很多,比较常用的有窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法等。本课题通过运用窗函数设计法、频率采样设计法和等波纹逼近法来设计FIR数字低通滤波器,并实现对给定的信号进行滤波比较。其中窗函数设计法是最基本的数字滤波方法,是利用傅里叶反变换(IDTFT)计算给定的频响的理想单位脉冲响应,再加以窗函数进行截断和平滑。等波纹逼近法又称切比雪夫逼近法,是一种最小化最大误差的频域逼近方法2。Matlab软件的信号处理工具箱提供了FIR数字滤波
11、器设计的子函数,运用Matlab软件设计可以避免繁杂的数学运算,而且具有丰富的绘图功能,可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅度响应和相位响应是否满足设计要求。因此,本课题在理论分析各种FIR数字滤波器设计方法的基础上,运用Matlab软件进行仿真分析。2FIR数字滤波器线性相位条件2.1 FIR数字滤波器概述一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统,其数学模型可以用Z域系统函数来表示: (2-1)其中均为滤波器参数。在(2-1)中,当值不全为零值时,Z域系统函数的必定含有一个或一个以上的极值点,此时单位脉冲响应为无限长,对于一个稳定的数字滤波器来说,Z域系统函数必须在单位圆内,因而把含
12、有极值点的Z域系统函数的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器(Infinite Impulse Response),即IIR数字滤波器。而当值全为零时,Z域的系统函数只有一个零点,(2-1)表示的系统函数可以写成: (2-2)公式(2-2)表明,FIR滤波器的系统函数是的阶多项式,在有限平面上有个零点,而在平面原点处有阶极点。(2-2)式表示的系统,其单位脉冲响应可以表示为: (2-3)在(2-3)中,只有当,才有非零值,所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的,因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数字滤波器(Finite Impulese Response),即FIR数字滤波器。F
13、IR数字滤波器最突出的两个优点是:(1)只要对附加一定的条件,就很容易获得严格的线性相位。(2)由于的极点位于原点处,所以FIR数字滤波器不存在稳定性问题。2.2 FIR数字滤波器线性相位定义设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N,则其频率响应可以表示为: (2-4)上式通过欧拉恒等式展开可得到的相位特性,有两种线性相位特性,通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。第一类线性相位特性: 是一个与无关的常数第二类线性相位特性: 是起始相位严格地说第二种情况时的是不具有线性相位特性的,但上述两种情况都满足群延迟是一个常数,仍可以视为具有线性相位的,在第二类线性相位中是常用的一种情况。2.3 FIR数
14、字滤波器线性相位时域约束条件对于第一类线性相位,即,通过一系列的运算整理之后可得到一个三角函数求和公式: (2-5)式中正弦函数为奇对称,当时,对称中心为,需要满足关于偶对称,即要求:, (2-6)对于第二类线性相位,即时,通过运算得到公式: (2-7)函数为偶对称,当时,对称中心也为。若要使上式成立,则要使关于奇对称,即要求:, (2-8)从上述分析看来,线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对的约束条件,对于第一类线性相位,冲激响应h(n)满足(2-6)式;对于第二类线性相位,冲激响应h(n)满足(2-8)式3-5。3FIR数字滤波器设计方法FIR数字滤波器的设计方法主要
15、有窗函数设计法、频率采样设计法以及等波纹逼近设计法三种,其中窗函数设计法是最常用的,其次是频率采样法,但这两种方法在设计中还会存在一些不足之处,所以需要优化的设计方法,而等波纹逼近法很好的弥补了窗函数法和频率采样法的不足6-7。3.1 FIR数字滤波器的窗函数设计法3.1.1 窗函数设计法的设计思路窗函数设计法是FIR数字滤波器里最简单的一种设计法,又叫傅里叶级数法,为了设计简单方便,通常选择所希望逼近的滤波器的频率响应函数为具有片段常数特性的理想滤波器,寻找一组,确定其频率响应,然后用来逼近1。窗函数法设计FIR滤波器是在时域中进行的,那么可以通过傅里叶反变换得到得到频率响应,即: (3-1
16、)在实际中,一般是处于逐段恒定的,在边界频率处有不连续点,因而单位脉冲响应是无限长的非因果序列,不能直接作为FIR数字滤波器的单位脉冲响应,因此需要对进行阶段,转换为有限长的一段因果序列,也就是用一个有限长度的窗函数序列来截取,即,并将非因果序列转变为一个因果序列。截取的长度和加权窗函数的形状都直接影响到逼近精度。窗函数法设计FIR滤波器过程如图3-1所示: 图3-1 窗函数法设计FIR滤波器流程以截止频率为,相位为零的理想低通滤波器为例,其频率特性为: (3-2)通过傅里叶反变换得到对应的为: (3-3)此时的是一个无限长的非因果序列,我们需要对其进行截断,变成一个有限长的因果序列。可以先把
17、向右平移个点,得到为: (3-4)相应的传输函数为: (3-5)然后对截取从0到的N个点,N为窗函数的长度,所得的结果表示为: (3-6)表示窗函数,一般用下标来表示窗函数的类型,矩形窗记为。3.1.2 吉布斯效应用窗函数对进行直接截断,得到有限长序列,并以代替,肯定会引起误差,表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。对于一个在有限区间分布的信号,其连续频谱在频域上分布往往是无限的,而在实际信号处理时,我们通常只能在有限的区间内做傅里叶分析,也就是说,我们只能用有限区间来代替理论分析中的无限区间,多数情况下,我们总是选择信号的低频部分,而舍弃高频部分。而信号的高频部分往往是反应信号快
18、速变化特征,如果信号本身是连续的,这样做一般不会引起信号的显著变化,但实际中的信号往往是比较丰富的,特别是信号本身存在剧烈变化的,这样做必定会引起一些误差。该误差引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动8。为了减小吉布斯效应带来的影响,需要调整窗口的长度来控制过渡带的宽度,但要减小带内的波动以及增大阻带衰减,还需要从窗函数的形状上寻找解决方法。为了减少序列因截断而产生的Gibbs效应,窗函数在设计时需要注意:(1)频率特性的主瓣要尽可能的窄,并且尽量把能量都集在主瓣内。(2)窗函数频率特性的旁瓣趋于的过程中,其能量迅速减小为零。3.1.3 常见窗函数介绍常见的窗函数有矩形窗(Rectangle W
19、indow)、三角形窗(Bartlerr Window)、汉宁(Hanning)窗升余弦窗、哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗、布莱克曼(Blackman)窗、凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)。矩形窗的窗函数为: (3-7)其频谱的幅度函数为 (3-8)矩形窗的主瓣宽度为,用矩形窗设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度近似为。三角形窗的窗函数为: (3-9)其频谱的幅度函数为 (3-10)三角窗的主瓣宽度为。汉宁窗窗函数为 (3-11)汉宁窗的频谱的幅度函数为 (3-12)汉宁窗的主瓣宽度为,汉宁窗在其两个端点都为零,实际中这两个端点的数据是不可用的。哈明窗的窗函数为 (
20、3-13)其幅度函数为 (3-14)哈明窗是一种改进的余弦窗,能量更加集中在主瓣,是一种高效的窗函数,主瓣宽度与汉宁窗的相同。布莱克曼窗窗函数为 (3-15)其频谱的幅度函数为 (3-16)该窗函数位移不同,幅度函数也不同,会使旁瓣进一步抵消,主瓣宽度为。凯塞窗是一种最优窗函数,不同于前面五种窗函数,凯塞窗是一种参数可调的窗函数,其函数形式如下: (3-17)其中 (3-18)一般取15-25项可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般越大,主瓣越宽,而旁瓣幅度会随之减小,典型的数据在4到9之间。各种窗函数的性能比较如表3-1所示:表3-1 不同窗函数性能比较窗函数类型旁瓣峰值(dB)阻带最
21、小衰减(dB)过渡带宽度(P/N)矩形窗13214三角窗25258汉宁窗31448 续表3-1哈明窗41538布莱克曼窗577412凯塞窗51607.442虽然窗函数设计法设计思路简单,但是它的边界频率不容易控制,而且窗函数还有吉布斯效应,需要选择不同的窗函数来减小吉布斯效应对结果的影响,但无论哪种窗函数,都无法很好的解决这一问题,所以我们需要通过其他的设计方法来进行滤波,便于满足实际工程中的不同要求。3.2 FIR数字滤波器的频率采样设计法3.2.1 频率采样法的基本思路窗函数设计法是从时域出发来设计FIR数字滤波器的,而频率采样法是从频域出发设计FIR数字滤波器的。和窗函数设计法相同,频率
22、采样法也需要预先构造一个希望逼近的滤波器频率响应函数,对其加以等间隔采样后,作为FIR数字滤波器的频率响应。对在到之间等间隔采样点,得到频率采样值: (3-19)再对进行点IDFT,得到: (3-20)将作为所涉及的FIR数字滤波器的单位脉冲响应,其系统函数为为 (3-21)由于滤波器频率响应是理想的,即有间断点,那么其单位冲激响应是无限长的。这样,由于时域混叠,引起所设计的h(n)和有偏差。因此,采样点处与相等,逼近误差为0,而在采样点之间,由有限项的之和形成。其误差和特性的平滑程度有关,特性愈平滑误差愈小;特性曲线间断点处,误差越大。误差表现形式为间断点用倾斜线取代,且间断点附近形成振荡特
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