IIR数字滤波器设计及其MATLAB实现毕业论文.doc

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1、IIR数字滤波器设计及其MATLAB实现 目 录IIR数字滤波器及其MATLAB实现1摘要1关键字1引言1第一章 滤波器概论21.1 滤波原理21.2滤波器分类21.3 滤波器的技术要求31.3.1 滤波器的截止频率31.3.2 带通带阻的容限31.3.3采样频率41.3.4 滤波器设计步骤4第二章 模拟滤波器设计42.1 巴特沃斯低通滤波器的设计62.2 切比雪夫低通滤波器的设计91.切比雪夫型低通滤波器92.切比雪夫型低通滤波器102.3 椭圆低通滤波器的设计12第三章 模拟高通、带通与带阻滤波器设计143.1 模拟高通滤波器的设计143.2 模拟带通滤波器的设计153.3 模拟带阻滤波器

2、的设计17第四章 IIR数字滤波器设计方法184.1 基于冲激响应不变法的IIR滤波器设计184.2 基于双线性Z变换法的IIR滤波器的设计204.3数字高通、带通及带阻IIR滤波器设计221.基于原型滤波器转换法的IIR数字滤波器设计221.1直接有由模拟低通滤波器转换成数字高通、带通或带阻滤波器221.2 先由模拟低通滤波器转换成模拟高通、带通或带阻滤波器然后再转换成相应的数字滤波器231.3将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器，再通过变量代换变成数字高通、带通或带阻滤波器。242 基于直接数字域法的IIR数字滤波器设计25致 谢26参考文献27IIR Digital Filter Des

3、ign And Impementation By MATLAB27Abstract27Keyword27附 录28 IIR数字滤波器及其MATLAB实现 摘要：本文介绍了滤波器的滤波原理、IIR数字滤波器的设计及MATLAB工具箱进行IIR数字滤波器的设计。本文介绍了IIR数字滤波器的三种设计方法，即通过模拟滤波器设计IIR数字滤波器、脉冲响应不变法和双线性变换法。主要介绍的是通过模拟滤波器转换设计IIR数字滤波器，因为现在模拟滤波器的设计比较成熟。关键字：数字滤波器 IIR数字滤波器 MATLAB 传递函数引言: 所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频

4、率成分的相对比值，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。由数字乘法器、加法器和延时单元组成。因此，数字滤波器的概念和和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波器的方法不同。正因为数字滤波器通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。 数字滤波器一词出现在60年代中期。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。 数字滤波器是一

5、个离散时间系统（按预定的算法,将输入离散时间信号转换为所 要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1/2抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。第一章 滤波器概论1.1 滤波原理X(n)h(n)y(n)滤

6、波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波作用。对图1-1所示的LSI系统， 图1-1 其输入输出关系是： （1-1）若 ， 的傅里叶变换存在，则输入输出的频域关系式： （1-2） 当输入信号 通过滤波器系统后，其输出中不含有的频率成分，仅使的信号成分通过。因此，滤波器的形状不同，其滤波后的信号结果也不一样。若滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该滤波器的单位冲激响应也必然是离散的，这种滤波器称为数字滤波器（DF），当用硬件实现一个DF时，所需的元件是延时器、乘法器和加法器；而利用MATLAB软件时，仅需要线性卷积程序便可以实现。1.2滤波器分类 按照不同的分类方法，数字滤波器有很多分类，

7、在本文中，选择从数字滤波器实现的网络结构或者是从单位脉冲响应长度分类，分为无限长度单位脉冲响应（IIR）滤波器和有限长度响应（FIR）滤波器 。如果单位取样响应是时宽无限的，则称之为IIR系统。数字滤波器按照实现的方法和结构形式分为递归型和非递归型两类，递归型熟悉滤波器的当前输出是输入的当前值和以前各输入，以及前各输出值的函数。 一个N阶递归数字滤波器（IIR滤波器）的差分方程为： （1-3）由递归术语的含义，式（1-3）中的系数至少一项不为零。说明必须将延时的输出序列反馈回来。因此，从结构上看递归系统必须有反馈环路。 递归系统的传递函数定义为： （1-4）递归系统的传递函数在Z平面上不仅有零

8、点，而且有极点。非递归型数字滤波器挡墙的输出值仅为当前的和以前的输入序列的函数，而与以前的各个输出值无关，因此从结构上看非递系统没有反馈环路。一个N阶非递归型数字滤波器（FIR滤波器）的差分方程为： （1-5）差分方程（1-5）中的系数等于单位取样响应序列值。其系统函数可以表示为以下形式： （1-6）是的多项式，因此它的极点只能在Z平面的原点上。1.3 滤波器的技术要求滤波器的技术要求主要包括四个方面，即：1.3.1 滤波器的截止频率1. 低通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率和阻带下限截止频率；2. 高通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率和阻带上限截止频率；3. 带通滤波器的截止频率主要

9、包括通带下限截止频率，通带上限截止频率；4. 带祖滤波器的截止频率与带通滤波器一样，也主要包括通带下限截止频率，通带上限截止频率，下阻带截止频率，以及上阻带截止频率。1.3.2 带通带阻的容限滤波器中带通带阻的容限的具体技术指标，往往由允许的最大衰减 及阻带应达到的最小衰减给出。通带及阻带的衰减，分别定义为： （1-7a） （1-7b）式中均假定已被归一化为1。1.3.3采样频率 由于在数字滤波器设计中是用弧度表示的，而实际上给出的频率要求往往是实际频率,单位是，因此在数字滤波器的设计中还应给出采样频率。1.3.4 滤波器设计步骤 不论是IIR滤波器还是FIR滤波器的设计都包括三个步骤：1）

10、按照实际任务的要求，确定滤波器的性能指标.2） 用一个因果、稳定的离散线性时不变的系统函数去逼近着已性能指标。根据不同的要求可以用IIR系统函数。3） 利用有限精度算法实现系统函数。这里包括结构选择、字长选择。第二章 模拟滤波器设计 IIR数字滤波器设计的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此充分利用这些已有的资源将会给滤波器的设计带来很大的方便。 通过模拟滤波器设计 IIR数字滤波器的设计步骤是：1） 按一定规则将给出的数字滤波器的技术要求转换为模拟滤波器的技术指标。2） 根据转换后的技术

11、指标设计模拟低通滤波器。3） 在按一定规则将转换成。若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或是带阻滤波器，那么还需要进行步骤4）。4） 将高通、带通或是带阻滤波器的技术指标先转化为低通模拟滤波器的技术指标，然后按上述步骤2）设计低通转换为所需的。 滤波器设计最重要的是寻找一个稳定、因果的系统函数去逼近滤波器的技术指标。一个稳定、因果的传递函数应该满足如下条件：1） 滤波器的单位冲激响应函数应该是一个实函数，即是一个具有实系数的有理函数。2） 的极点必须分布在平面的左半平面。3） 的分子多项式的阶数必须小于或等于分母多项式的阶数。 假设给定模拟滤波器技术指

12、标。其中是通带允许最大衰减，是通带上限角频率，是阻带应达到的最小衰减，是阻带下限角频率，所设计的滤波器的传递函数为： （2-1）使其对数幅频响应在，处分别达到，的要求。根据上一章（1-7）可知，都是的函数，它们的大小取决于的形状。因此定义衰减函数为： （2-2）显然： （2-3a） （2-3b）这样式（2-2）就把低通模拟滤波器的四个技术指标和滤波器的幅平方特性联系了起来。由于所设计的滤波器的冲激响应函数一般都是实数，所以有： （2-4）根据因果、稳定模拟滤波器的传递函数满足条件2，的极点必须位于左半平面，而右半平面的极点必须属于。 由于每一个滤波器的频率范围将直接取决于设计者所应用的目的，因

13、此实际应用中滤波器是千差万别的。为了使设计规范化，需要将滤波器的频率参数作归一化处理。 设所给的滤波器频率为（或），归一化后的频率为，对低通滤波器，令： （2-5）令归一化复数变量为，且，那么有： （2-6） 2.1 巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器拥有最平滑的频率响应，在截断频率以外，频率响应单调下降。在通带中是理想的单位响应，在阻带中响应是0。在截断频率处有3dB的衰减。巴特沃斯滤波器除了具有平滑递减的频率响应的优点之外，其过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数。高阶巴特沃斯滤波器的频率响应近似于理想低通滤波器。巴特沃斯低通滤波器是将巴特沃斯函数作为滤波器的传递函数，它的平方幅频响应函

14、数可表示为： （2-7）巴特沃斯低通滤波器的设计可按以下三个步骤进行：步骤一：归一化实际频率实际频率归一化之后，可得到巴特沃斯滤波器的归一化平方幅频响应函数： （2-8）可以看出式（2-8）只包含参数C和N，其中N表示滤波器的阶数。步骤二：计算参数C和N 由式（2-2）得： （2-9）则： （2-10）即： （2-11a） （2-11b）因为=1，所以： （2-12） （2-13）这样就可以计算处参数C和N。步骤三：确定系统传递函数因为，有： （2-14）由： （2-15） 解得： （2-16）这样，的2N各极点等分在平面半径为1的圆上，相距为弧度。为了保证所设计的滤波器是稳定的，因此应把左边

15、平面的极点赋予， 即： （2-17）这样： （2-18）当N为偶数时，的极点将成对共轭出现，即： （2-19）这一对共轭极点构成一个二级系统，即： （2-20）滤波器系统转移函数应是个式（2-20）所示二阶系统的级联，即：， （2-21）当N为奇数时，滤波器系统转移函数将是有由一个一阶系统和（N-1）/2个二阶系统的级联，即： , （2-22） 这样就可以得到归一化的转移函数。因为： （2-23）所以在求的后，用代替变量，即可求得实际需要的滤波器传递函数。MATLAB信号处理工具箱为低通模拟滤巴特沃斯滤波器的产生提供了函数buttap，其调用格式为：z,p,k=buttap(N,Rp,Wn,f

16、type,s)其中N表示滤波器的阶次，Rp为通带纹波，Wn为截止频率，ftype为滤波器的类型，S表示模拟滤波器，Z表示零点，P表示极点，K表示增益。巴特沃斯模拟滤波器的阶次可以通过MATLAB中的buttord函数确定，该函数的调用格式为：N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)其中Wp表示通带截止频率，Ws表示阻带截止频率，Rp表示通带纹波系数，Rs表示阻带纹波系数，s表示模拟滤波器，N表示巴特沃斯滤波器的最小阶次，Wn为其截止频率。设计举例1 绘制巴特沃斯低通模拟滤波器的平方幅频响应曲线，其中滤波器的阶次分别为2,5,10,20。程序 :程序部分在附录文件中，后面所有设计的

17、程序也一起放在附录中。运行结果如图2-1所示2.2 切比雪夫低通滤波器的设计切比雪夫滤波器频率响应的特点是在带通内是等幅的的纹波，在阻带内单调衰减，过渡迅速。切比雪夫滤波器包括两种，即切比雪夫型滤波器和型滤波器，其中切比雪夫型滤波器又称为逆切比雪夫滤波器。1.切比雪夫型低通滤波器 切比雪夫型滤波器的平方幅频响应函数为： （2-24其中是一个小于1的正数，它与通带波纹有关，越大，波纹就越大；是的切比雪夫多项式，它的定义为： （2-25） 当大于或等于1时，切比雪夫多项式的递推公式为： （2-26） 切比雪夫滤波器的设计和巴特沃斯滤波器一样，也分为三步。步骤一: 归一化平方幅频响应函数将频率归一化

18、，得出归一化的平方幅频响应函数，即： （2-27）步骤二： 求和 由（2-2）得： （2-28） （2-29） （2-30）由于，所以： （2-31） （2-32） 步骤三：确定因为，所以归一化的转移函数和之积： （2-33）的极点应是分母等于零的根。分母又可以写成： （2-34）定义： （2-35）显然，应是复数，令 （2-36）经过复杂的计算得出的极点，即： （2-37）其中 .由式（2-37）求出切比雪夫滤波器的2N个极点，一半属于，另一半属于。当然把左半边平面极点赋予，得： （2-38）从而，可得到切比雪夫模拟滤波器的实际转移函数为： （2-39）切比雪夫型的模拟低通滤波器可通过Mat

19、lab函数cheblap实现，该函数的调用格式为：z,p,k=cheb1ap(N,Rp)b,a=cheby1(N,Rp,Wn,ftype,s)cheby1函数参数和butter函数参数是一样的。切比雪夫型的模拟低通滤波器的阶数可通过Matlab函数cheblord实现，该函数的调用格式为： N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Cheb1ord函数的用法和buttord函数用法也是一样的。2.切比雪夫型低通滤波器切比雪夫型低通滤波器的平方幅频响应函数为： （2-40）其中是一个小于1的正数，表示阻带内幅值波纹情况;函数的为： （2-41）切比雪夫型低通滤波器也可通过Matla

20、b函数cheb2ap实现，其调用格式为：z,p,k=cheb2ap(N,Rs)b,a=cheby2(N,Rs,Wn,ftype,s)切比雪夫型低通滤波器的阶数也可通过Matlab函数cheb2ord实现，其调用格式为：N,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)设计举例2绘制的平方幅频响应曲线，滤波器的阶数分别为2,4,6,8程序运行结果如下图所示 图2-2设计举例3 绘制切比雪夫型低通模拟滤波器的平方幅频响应曲线，滤波器的阶数分别为 1,3,5，7程序运行结果如下 2.3 椭圆低通滤波器的设计切比雪夫型滤波器在通带内呈现等纹波振荡，在阻带内仍是单调下降的。切比雪夫型模拟滤波器在阻

21、带内是等纹波的，在通带内却是单调下降的。因此过渡带特性虽有提高，但是并不理想。椭圆滤波器能更好地逼近理想的低通滤波器特性。它的平方幅频响应函数为： （2-42）式中是雅克比椭圆函数，是与通带衰减有关的参数，滤波器阶次N等于通带和阻带内最大点和最小点的和。若已知通带的截止频率，通带内最大衰减，阻带的截止频率即阻带内最小衰减等参数时，则可以确定滤波器的阶数N和系数函数。 将和的几何平均值作为频率的归一化的基准频率，即： （2-43）定义频率的选择性因数为两个截止频率之比： （2-44） 这时通带截止频率的归一化值和阻带截止频率的归一化值分别为： （2-45a） （2-45b）在以为归一化基准频率的

22、条件下，通带、阻带阶值归一化频率互为倒数。令： （2-46a） (2-46b) (2-46c) (2-46d)那么椭圆滤波器的阶次N可表示为： （2-47）令，则归一化的椭圆低通滤波器的系统函数可以表示为： （2-48）式（2-48）中的各个参数均可由已知条件推导。 实际的椭圆低通滤波器的系统函数为： （2-49）椭圆低通滤波器可通过matlab函数ellipap实现，该函数调用格式为：z,p,k= ellipap(N,Rp,Rs)b,a= ellip(N,Rp,Wn,ftype,s)其中Rs为阻带纹波，而ellip函数参数和巴特沃斯滤波器中butter函数参数一样。设计举例4 绘制椭圆低通模

23、拟滤波器的平方幅频响应曲线，滤波器的阶次分别为2,3,4,5. 程序运行结果如图;第三章 模拟高通、带通与带阻滤波器设计 目前模拟高通、带通及带阻滤波器的设计方法，都是将要设计的滤波器的技术指标，通过某种频率转换关系转换成模拟低通滤波器的技术指标，并依据这些设计指标设计出低通滤波器的转移函数，然后再依据频率转换关系变成要设计的滤波器的转移函数。 高通、带通及带阻滤波器 的传递函数为，幅频响应特性函数为，归一化频率为，且复值变量，因此其相应归一化的转移函数、幅频响应特性函数分别为。之间的关系称为频率变换关系。3.1 模拟高通滤波器的设计由于滤波器的幅频特性都是频率的偶函数，通过比较低通滤波器与高

24、通滤波器的幅频特性函数的曲线，可以得出高通滤波器的频率转移称低通滤波器的频率的数学表达式： 而通带与阻带衰减保持不变，这样就可以设计出模拟低通滤波器的转移函数。 由于： （3-1） 得： （3-2） 又因为： （3-3）所以，模拟高通滤波器的传递函数为： （3-4）在matlab中，使用lp2hp函数实现低通模拟原型滤波器至高通滤波器的频率转换。其调用格式：bt,at= lp2hp(b,a,Wo)；At,Bt,Ct,Dt= lp2hp(A,B,C,D)其中bt,at为高通滤波器传递函数的分子、分母向量；a,b为低通原型滤波器传递函数系数，At,Bt,Ct,Dt为高通滤波器状态方程的系数矩阵；A

25、,B,C,D为低通原型滤波器状态方程的系数矩阵；WO为高通滤波器期望截止频率。设计举例5 设计一个9阶切比雪夫I型高通滤波器，通带纹波为10dB下边界频率为，并绘制曲线图 程序运行结果如图所示3.2 模拟带通滤波器的设计模拟带通滤波器的4个频率参数，其中分别是通带的下限与上限频率，是下阻带的上限频率，是上阻带的下限频率首先要将它作归一化处理。 令通带带宽为： （3-5）并以通带带宽为参考频率对轴作归一化处理，有: (3-6a) (3-6b) (3-6c) （3-6d）在令： （3-7）为通带的中心频率，其归一化值为： （3-8）比较归一化的带通滤波器幅频特性与低通滤波器幅频特性曲线函数，可以得

26、出带通滤波器的频率与低通滤波器的频率的转换关系为： （3-8）由于，所以有： （3-9）从而实现了带通滤波器与低通滤波器之间的频率转换。根据低通滤波器的技术指标，可设计出低通滤波器的转换函数。 由： （3-10）所以： （3-11）在matlab中，使用lp2bp函数实现低通模拟原型滤波器至带通滤波器的频率转换，其调用格式为;bt,at=lp2bp(b,a,Wo,Bw);At,Bt,Ct,Dt=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);其中BW为带通滤波器带宽。设计举例6 设计一个5阶切比雪夫I型带通滤波器，通带纹波为10dB，下边界频率为，上边界频率为，并绘制其幅频响应曲线。 程序运行结果如

27、图3.3 模拟带阻滤波器的设计 模拟带阻滤波器也有4个频率参数，分别为，其中分别是通带的下限与上限频率，是阻带的下限频率，是阻带的上限频率。 比较归一化的阻带和低通滤波器幅频特性函数曲线，可以得出带阻滤波器的频率与低通滤波器的频率的转换关系为： （3-12）由于，所以有： （3-13） 根据（3-10）（3-11） ，可推导出低通滤波器传递函数与带阻滤波器的传递函数之间的对应关系为： （3-14）即可得到所要设计的带阻滤波器的转移函数： （3-15） 在matlab中，使用lp2bs函数实现低通滤波器至带阻滤波器的频率转移，带函数调用格式为：bt,at=lp2bs(b,a,Wo,Bw)At,B

28、t,Ct,Dt=lp2bs(A,B,C,D,Wo,Bw)其中Bw为带通滤波器带宽。设计举例7 设计一个9阶切比雪夫I型带阻滤波器，通带纹波为10dB,下边界频率为，上边界频率为，并绘制其幅频响应曲线。程序运行结果如图第四章 IIR数字滤波器设计方法 在本章，主要讨论两种IIR低通滤波器设计方法，基于冲激响应不变法的IIR设计和基于双线性Z变换法的IIR设计以及数字高通、带通及阻带IIR滤波器设计。 4.1 基于冲激响应不变法的IIR滤波器设计冲击响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列，模仿模拟滤波器的冲激响应。 将冲激响应进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位抽样响应刚好等于的采样

29、值，即： （4-1） 其中的为采样周期。设是数字滤波器的系统传递函数，从而可得到它是数字滤波器的单位抽样响应函数的Z变换。模拟信号的拉普拉斯变换与其采样序列Z变换的关系为： （4-2）式（4-2）的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数作周期的延拓，再经过映射变换得到数字滤波器的系统函数。频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为： （4-3）其中假设模拟滤波器的系统传递函数只有单阶极点，且MN，系统传递函数可以用部分分式形式表示： （4-4）其拉普拉斯变换脉冲响应为： （4-5） 对进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应函数为： （4-6）尽管通过冲激响应不变法求取数字滤波器的系统函数

30、比较方便，并具有良好的时域逼近特性，但是若不是带限的，或是抽样频率不高，那么在中将发生混叠失真，数字滤波器的频率响应不能重现模拟滤波器的频率响应。只有当模拟滤波器的频率响应在超过折叠频率都的衰减很大时，混叠失真才很小，这时不变法设计的数字滤波器才能满足要求，这是冲激响应不变法的一个严重缺点。设计举例8 设模拟低通巴特沃斯滤波器，通带纹波为，通带上限角频率，阻带下限角频率，阻带最小衰减，根据该低通模拟滤波器，利用冲激响应不变法设计相应的数字低通滤波器， 程序运行结果如下 图4-14.2 基于双线性Z变换法的IIR滤波器的设计 利用冲激响应不变法设即数字滤波器时，由于频率映射引起频域的混叠现象。为

31、了克服这一现象，选择另一种映射关系为： （4-7）次关系称为双线性Z变换。双线性Z变换的基本思路是：首先将整个s平面压缩到平面的一条带宽为的横带里，然后通过标准的变换关系将横带变换成整个Z平面上去，这样就得到S平面与Z平面件的一一对应的单值关系。根据（4-7），有： （4-8）及: (4-9)即： （4-10） （4-11）式（4-8）（4-9）给出了s和z之间的映射关系，（4-10）（4-11）给出了的映射关系，但这是一种非线性的映射关系。这种频率映射关系利用了正切函数的非线性的特点，把整个轴压缩到了单位圆的一周上。 当给定了数字滤波器的技术要求后，有： （4-12a） （4-12b） (4

32、-13c) (4-13d)于是可以设计出模拟原型滤波器的传递函数，然后转换为模拟滤波器的传递函数，再有转为数字滤波器的传递函数，其转换关系如下： （4-14） （4-15）注意到： （4-16）无论是在设计模拟滤波器还是由模拟滤波器转换成为数字滤波器的过程，系数均被约掉，因此（4-8）（4-9）（4-10）（4-11）中的可以省去，即有： （4-17） （4-18）在matlab中，双线性Z变换可以通过bilinear函数实现，其调用格式为：Bz,Az= bilinear(B,A,Fs)其中B,A为模拟滤波器传递函数的分子分母多项式的系数向量，而Bz,Az为的分子分母多项式的系数向量。设计举例9 使用双线性Z变换法设计一个低通数字滤波器，给定的数字滤波器的技术指标为，抽样频率为。 程序运行结果如图： 图4-2