IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究.doc

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1、目录一.数字滤波器设计的意义.1二.IIR数字滤波器.12.1 IIR数字滤波器的设计与方法.12.2IIR数字滤波器的两种设计方法.32.2.1脉冲响应不变法.32.2.2双线性变换法简介.42.2.3脉冲响应不变法与双线性变换法的优缺点比较.6三.线性相位FIR数字滤波器.63.1线性相位FIR数字滤波器的基本特性.73.2利用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器.73.3利用频率取样法设计线性相位FIR数字滤波器.93.4窗函数法与频率取样法的比较.10四.IIR和FIR数字滤波器的基本结构.104.1IIR数字滤波器基本结构.104.1.2IIR系统的直接实现形式.114.1.2IIR

2、系统的级联实现形式.114.1.3IIR系统的并联实现形式.124.2FIR数字滤波器基本结构.124.2.1FIR系统的直接实现形式.124.2.2FIR系统的级联实现形式.12五.IIR和FIR数字滤波器的比较.135.1IIR数字滤波器的主要优点.135.2IIR数字滤波器的主要缺点.135.3FIR数字滤波器的主要优点.135.4FIR数字滤波器的主要缺点.13六.数字滤波器比较概括性总结.14参考文献.14摘要数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件和程序。经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高

3、通、带通和带阻等滤波器。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可以分成无限脉冲响应数字滤波器(简称IIR)和有限脉冲响应数字滤波器(简称FIR)，IIR和FIR数字滤波器的设计方法及其结构各不相同。关键字：数字滤波器，IIR，FIR一数字滤波器设计的意义在数字信号处理中,FIR数字滤波器是最常用的单元之一。它用于将输入信号xn的频率特性进行特定的修改,转换成另外的输出序列yn，与IIR滤波器相比较，在设计和实现上FIR滤波器具有如下优越性:1、相位响应可为严格的线性，因此它不存在延迟失真，只有固定的时间延迟。2、由于不存在稳定性问题，所以设计相对简单。3、只包含实数算法，不涉及复数算法，不需要递推

4、运算。另外，也应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通和带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活的多，尤其是他易于适应某些特殊应用，如构成数字微分器或希尔伯特变换器等，因而有更大的适应性和广阔的应用领域。二IIR数字滤波器2.1 IIR数字滤波器的设计与方法数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系

5、的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性为: （2-1）其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型

6、来实现，其差分方程为：， （2-2）系统函数为：， （2-3）设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数，使其频率响应满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为， （2-4）假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。2

7、.2IIR数字滤波器的两种设计方法2.2.1脉冲响应不变法利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列模仿模拟滤波器的冲激响应，即将进行等间隔采样，使正好等于ha(t)的采样值，满足： 如果令是的拉普拉斯变换，为的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 (2-5)可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。脉冲响应不变法的映射关系如图1-1所示：图1-1脉冲响应不

8、变法的映射关系由（2-5）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为， (2-6)这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 ， (2-7) 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 , (2-8)但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快

9、时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。脉冲响应不变法中的频响混叠现象如图1-2所示：图1-2脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。2.2.2双线性变换法简介脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转

10、换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3所示。 图1-3双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的到段上，可以通过以下的正切变换实现， （2-9）当1由经过0变化到时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将式（2-9）写成，将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令，则得， （2-10）再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面从而得到S平面和Z

11、平面的单值映射关系为： （2-11） （2-12）式（2-11）与式（2-12）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（2-9）与式（2-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把，可得 （2-13）即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将代入式（2-13），得因此 （2-14）由此看出，当0时，|z|0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。2.2.3脉冲响应不

12、变法与双线性变换法的优缺点比较从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T；最大缺点是有频率响应的混叠效应。双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，由于这种频率之间的非线性变换关系，导致一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；而且这

13、种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数。三线性相位FIR数字滤波器3.1线性相位FIR数字滤波器的基本特性单位抽样响应h(n)是有限长的，因此FIR数字滤波器一定是稳定的。经延时，h(n)总可变成因果序列，所以FIR数字滤波器总可以由因果系统实现。h(n)为有限长，可以用FFT实现FIR数字滤波器。FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应用。3.2利用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器用窗函数设计滤波器首先要对滤波器提出性能指标。一般是给定一个理想的频率响应，使所设计的F

14、IR滤波器的频率响应去逼近所要求的理想的滤波器的相应。窗函数法设计的任务在于寻找一个可实现(有限长单位脉冲响应)的传递函数。 （3-1）去逼近。我们知道，一个理想的频率响应的傅理叶变换 （3-2）所得到的理想单位脉冲响应往往是一个无限长序列。对经过适当的加权、截断处理才得到一个所需要的有限长脉冲响应序列。对应不同的加权、截断，就有不同的窗函数。所要寻找的滤波器脉冲响应就等于理想脉冲响应和窗函数的乘积。即，由此可见，窗函数的性质就决定了滤波器的品质。以下是几种常用的窗函数：1.矩形窗：2.Hanning窗：3.Hamming窗：4.Blackman窗：5.Kaiser窗：窗函数法设计线性相位FI

15、R滤波器可以按如下步骤进行：1确定数字滤波器的性能要求。确定各临界频率和滤波器单位脉冲响应长度N。2.根据性能要求和N值，合理地选择单位脉冲响应h(n)有奇偶对称性，从而确定理想频率响应的幅频特性和相位特性。3.用傅里叶反变换公式，求得理想单位脉冲响应。4.选择适当的窗函数W(n)根据式求得所设计的FIR滤波器单位脉冲响应。5.用傅理叶变换求得其频率响应，分析它的幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述过程，直至得到结果如3-1,3-2,3-3所示：3-1滤波器的增益响应3-2滤波前后的频域图3-3信号滤波前后时域图3.3利用频率取样法设计线性相位FIR数字滤波器频率取样

16、法是从频域出发 ，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响应。在实际使用时，为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H(k)要满足一定的约束条件，具有线性相位FIR滤波器，其单位采样响应函数h(n)是实序列，且满足h(n)=(h-1-n)，由此得到幅频和相频特性就是对H(k)的约束。频率采样法就是根据频域采样理论，由滤波特性指标构造希望逼近的滤波器频响函数Hd(ej)，对其在0,2上采样得到: （3-3）然后，就可求出单位脉冲响应h(n)，或是系统函数H(z)。这样， h(n)或是H(z)就是滤波器的设计结果。（3-4）把给出的理想频率响应进行取样，通过I滤波器T从频谱样点直

17、接求得有限脉冲响应。其设计过程如下频率取样法的关键是正确确定数字频域系统函数H(k)在0，2 内的N 个样点，其约束条件为 H(k)=H(N-k) （m）=- (N-m) 0kN-1 3.4窗函数法与频率取样法的比较待添加的隐藏文字内容2窗函数法是从时域进行设计，而频率采样法是从频域进行设计。窗函数法由于简单、物理意义清晰，因而得到了较为广泛的应用，其设计的基本思想是：首先根据技术指标要求，选取合适的阶数 N 和窗函数的类型 w(n)，使其幅频特性逼近理想滤波器幅频特性。其次，因为理想滤波器的 hd(n)是无限长的，所以需要对 hd(n) 进行截断，数学上称这种方法为窗函数法。频率采样法的优点

18、是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计；缺点是采样频率只能等于 的整数倍，因而不能确保截止频率 的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数N，但是这又使计算量加大。四IIR和FIR数字滤波器的基本结构4.1IIR数字滤波器基本结构IIR滤波器的单位脉冲响应h(n)为无限长序列，系统函数H(z)在有限z平面上存在极点，其运算结构的特点是含有反馈环路，即在结构上是递归型的。在给定滤波特性的情况下，IIR滤波器所用的项更少，此外，IIR滤波器还能实现窄带频响。IIR滤波器的实现结构并不唯一，同一系统函数(或差分方程)可以有各种不同的结构形式。基本结构主要有三种，即直接型、级联型和并联

19、型。4.1.2IIR系统的直接实现形式对于IIR系统 ， (4-1)相应的z变换可写成 (4-2)信号流图如图4.1所示。图4.1 IIR系统的直接实现4.1.2IIR系统的级联实现形式将H(z)的分子分母多项式分成一阶或二阶多项式的连乘。若NM，N为偶数，则可将H(z)分成N/2个二阶多项式的连乘，若N为奇数，则子系统的数目应为(N+1)/2，其中包含一个一阶子系统。级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。二阶子系统信号流图如图4.2所示。图4.2 二阶子系统信号流图4.1.3IIR系统的并联实现形式将H(z)分解为各因式之和，则每个子系统有着

20、共同的输入x(n)，而其输出之和便是系统的总输出y(n)。并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点。由于并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其它子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此是所述三种结构中误差最不敏感的结构形式。4.2FIR数字滤波器基本结构有限脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)为有限长序列，系统函数H(z)在有限z平面上不存在极点，其运算结构中没有反馈支路。FIR滤波器的实现形式通常有以下几种：直接型，级联型，多相实现和线性相位FIR滤波器结构。4.2.1FIR系统的直接实现形式直接型结构的输入输出关系如下： (4-3)通常在这种结构中需

21、要N+1个乘法器和 N个两输入加法器来实现。其结构图如4-3所示：图4.3 直接型结构4.2.2FIR系统的级联实现形式级联型结构的输入输出关系如下： (4-4)高阶FIR传输函数可以由一阶或二阶传输函数级联实现，它是通过对式(4-5)进行因式分解得到的。 (4-5)其中，当N为偶数时，K=N/2；当N是奇数时，K=(N+1)/2且=0。由于级联形式是规范型结构，所以需要用N个两输入的加法器和N+1个乘法器来实现 N阶有限脉冲响应传递函数。其结构图如4-4所示：图4.4 级联型结构五、IIR和FIR数字滤波器的比较5.1IIR数字滤波器的主要优点是：(1)设计方法简单。通常只要将技术指标代入设

22、计方程组就可以设计出原型滤波器，然后再利用相应的变换公式求得所需要的滤波器系统函数的系数。(2)在满足一定技术要求和幅频响应的情况下，IIR数字滤波器设计成为具有递归运算的环节。所以它的阶次一般比FIR数字滤波器低，所用的存储单元少，滤波器体积也小。5.2IIR数字滤波器的主要缺点是：(1)只能设计出有限频段的低、高、带通和带阻等选频滤波器。除幅频特性可以满足技术要求外，它们的相频特性往往是非线性的，这就会使信号产生失真。(2)由于IIR数字滤波器采用了递归型结构，系统存在极点，因此设计系统函数时，必须把所有的极点放在单位圆内，否则系统不稳定。而且有限字长效应所带来的运算误差，可能会使得系统产

23、生寄生振荡。5.3FIR数字滤波器的主要优点是：(1)可以设计出具有线性相位的FIR数字滤波器，从而保证信号在传输过程中没有失真。(2)由于FIR数字滤波器没有递归运算，因此不论在理论还是实际应用中，都不会因为有限字长效应所带来的运算误差使得系统不稳定。(3)FIR数字滤波器可以采用快速傅里叶变换实现快速卷积运算，在相同阶数的条件下运算速度快。5.4FIR数字滤波器的主要缺点是：(1) 虽然可以采用加窗方法或频率采样等简单方法设计FIR数字滤波器，但往往在过渡带上和阻带衰减上难以满足要求，因此不得不多次迭代或者计算机辅助设计，从而使得设计过程变得复杂。(2)在相同频率特性情况下，FIR数字滤波

24、器阶次比较高，因而所需要的存储单元多，从而提高了硬件设计成本。六数字滤波器概括性总结本次课程设计首先给出了滤波的概念、分类及模拟滤波器设计，接着讨论了无限冲激响应和有限冲激响应数字滤波器的各种设计方法，重点是按照频域技术指标为依据的滤波器设计。对于无限冲激响应，介绍了冲激响应不变法、双线性映射法、IIR滤波器的频率变换设计法、IIR数字滤波器的直接设计法。对于有限冲激响应，介绍了FIR滤波器窗函数设计法、FIR滤波器频率采样设计法。另外通过课程设计我进一步见识到了Matlab功能的强大，内含各种丰富的函数可以让程序设计的简单，但是由于对Matlab不太熟悉，设计程序时还是走了些弯路，但后来还是通过查找资料找到了一个还算简单的设计，也算是得到了收获，我也会在以后的学习中注重对Matlab的学习与使用参考文献：1陈后金.数字信号处理.2版M.北京:高等教育出版社。2008.11. 5961.2孙强.运用MATLAB实现数字滤波器的设计J.电脑学习,2005(2)：32-333蔡建平,黄晓红,等.基于频率采样法的线性相位滤波器设计2006,26(7):5961.4李勇MATLAB辅助现代工程数字信号处理M. 2002.04.79-86.5张亚妮,基于MATLAB的数字滤波器设计J,2005.24(5):71-78.