第七章规则波导和空腔谐振器.doc

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1、第七章 规则波导和空腔谐振器工程上常遇到将电磁波由一个地点定向导引到另外一个地点的问题。这种被定向传输的电磁波称为被导波，用来引导电磁波进行定向传输的装置或系统称为导波系统。工程上，被导波常简称为导波，导波系统常简称为波导。上述波导的定义是广义的。广义波导包括平行双线传输线、同轴传输线、矩形波导、圆波导、椭圆波导、介质波导、带状线和微带线等。其中矩形波导、圆波导、微带和介质波导是广义波导中一些较常用的导波系统。本章研究电磁波在规则波导中的传播规律。对规则波导所作的假设是：波导在电磁波传播方向上为均匀、连续和无限长，波导横截面形状及尺寸沿传播方向保持不变。本章还要研究由一段两端封闭的波导构成的空

2、腔谐振器。7.1 规则波导中电磁波的一般特性对规则波导一般电磁特性的分析，是以后几节研究具体波导（如矩形波导和圆波导）的基础。研究的理论依据是麦克斯韦方程组和波动方程。无耗介质中无源情况下的波动方程 (7.1a) (7.1b) 式中和均随时间按正弦规律变化，为波数。因为电磁波在波导中只能沿波导轴线方向传播，我们把波导的轴线方向记为z，把波导的横向记为t，电磁波沿z向传播的传播常数为。算子可以分解为与横向坐标有关的和与纵向有关的两部分，波导中的电磁场也可以分解为横向与纵向两部分，即 (7.2a) (7.2b) (7.2c)考虑到波沿z向的变化规律为，则将式（7.2a）代入式（7.1）可得 (7.

3、3a) (7.3b)式（7.3）是关于电场和磁场的波动方程。如果直接求解方程(7.3a)和(7.3b)，需求解电场和磁场的每一个分量。共需求解六个标量方程，但因为电场和磁场之间存在内在联系，下面我们就利用这种内在联系，化简波导问题的求解。将写成为上式的横向和纵向分量可以分解为横向 (7.4a)纵向 (7.4b)同理对方程有横向 (7.5a)纵向 (7.5b)式(7.4a)两边乘以，(7.5a)作运算有上两式消去有 (7.6a)上式推导中使用了矢量恒等式。同理可得 (7.6b)令 (7.7)则(7.6a)，(7.6b)可以写为 (7.8a) (7.8b)由式(7.8a)、(7.8b)可见，只要确

4、定了电磁场的纵向分量和，波导中的其它场分量也就随之确定。这样就把规则波导中场的求解问题归纳为纵向分量和的求解问题。、满足波动方程(7.3a)、(7.3b)，则 (7.9a) (7.9b)7.1.1 横电磁(TEM)波当时，由式(7.8a)和(7.8b)可见，要使场存在，就必须有，即这时电磁场无纵向场分量和，这种电磁波称为横电磁波(TEM波)。因为，故 (7.10a)或 (7.10b)式(7.10)表明，导波系统中TEM波的传播常数与均匀平面波在无限大均匀和各向同性介质中的传播常数相同。由此可见，TEM波不但可以在无限大介质中存在，也可以在某些有界导波系统中存在。TEM波的相速为 (7.11)式

5、中c为真空中的光速。由于相速和频率无关，所以TEM波在传播过程中不产生色散现象。波在波导中传播的波长称为波导波长。波的波导波长为 (7.12)7.1.2 横磁()波和横电()波在波导中，如果在电磁波的传播方向上只存在电场的纵向分量，而不存在磁场的纵向分量，则这种电磁波称为横磁波，用TM表示，反之，若只存在而不存在的波称为横电波，用TE表示。TE和TM波的一个共同点是，此时波动方程成为 (7.13)该方程为一特征方程，只有在取某些特定的离散值时才有解，这些使解存在的值称为特征值或本征值，将式(7.7)改写为 (7.14)在式(7.14)中，根据的不同，可为实数也可为虚数。由于是波在波导内的传播常

6、数，只有当为虚数时，波才能传播，反之，当为实数时，波在波导内呈现衰减状。显然，波在波导内呈现传播还是衰减特性的界限是，即 (7.15)由式(7.15)求出的相应频率称为截止频率或临界频率，记作 (7.16)对传播型波，由式(7.14)求得即 (7.17) 由式(7.17)不难看出截止频率的意义，当时，为实数，电磁波可以传播；当时，为虚数，电磁波为衰减形式，无法传播。同一时刻，电磁场在波导中沿传播方向相位差为的两点之间的距离为一个波导波长，相应的波导波长为 (7.18)式中为与对应的临界波长或截止波长。显然只有在的条件下，波才能在波导内传播，故能够在波导中传播的电磁波的波长的取值范围为由此知 波

7、导内相速 (7.19)式中是TEM波在媒质中的波速，真空中。式（7.19）指出，波导内TE波或TM波的相速大于光速，由于和是频率的函数，因此TE波和TM 波在传播过程中将产生色散现象，这种波被称为色散型波。注意这里的色散不是由于媒质特性引起的，而是由于波导中的波型引起的。7.2 矩形波导在7.1节中，我们虽然通过对波动方程的讨论，得出了TE波和TM波的一般特性，但正如7.1节中指出的那样，波动方程的具体求解，即电磁波在波导内的传播规律，还需要与具体结构相对应的边界条件，因此本节在研究矩形波导内电磁波的传播时，除了引用7.1已得出的有关结论外，还将通过利用边界条件来求出相应的传输参数。矩形波导与

8、一般的平行双导线和同轴线相比，具有损耗小和功率容量大等优点，目前仍是微波频段最主要的导波系统之一。矩形波导由截面形状为矩形的导体管道构成，如图7.1所示。一般假定波导管无限长，管壁为理想导体，管内填充均匀无损耗介质。在矩形波导中不能传播TEM型波，因为如果假设有沿方向传播的TEM波存在，由于和的存在，在平面上必有闭合磁力线存在，与闭合磁力线不可分割的是在方向上必有电流存在，但由于矩形波导内无导体，所以不可能有传导电流，同时由于TEM波无分量，故也无方向上的位移电流。这意味着平面上不可能有闭合磁力线，从而否定了TEM波存在的可能性。7.2.1 TE波横电波（TE波）也称纵磁波（H波）。由于横电波

9、的，因此只需求解关于的波动方程。对矩形波导，利用直角坐标系。其中，式(7.9b)变为 （7.20）该方程的经典求解方法是分离变量法，这种方法在第四章已进行过讨论。假设能够写成为 （7.21）式中X(x)是单变量x的函数，Y(y)是单变量y的函数。将式（7.21）代入式（7.20）中，有 （7.22）式（7.22）的第一项只是x的函数，第二项只是的函数，而等式的右边为常数，要使该等式对中的任意值均成立，惟一的可能是第一项和第二项均各自为某一常数，因此令 （7.23）式中和为分离常数。将式（7.23）代入式（7.22）有 （7.24）方程组（7.23）的通解为 （7.25）将式（7.25）代入式（

10、7.21），得Hz的通解为 （7.26）其中系数A1、A2、B1和B2及参数、可利用边界条件确定。这里不便直接应用的边界条件来确定上述参数，但对金属壁的矩形波导，我们可利用四个壁上电场强度切向分量为零的边界条件，导出所满足的边界条件，进而确定上述待求参数。将代入式（7.8a）中，有 (7.27)即 将（7.26）式代入上式有 (7.28)由于，所以 由于，所以 （）同理，由式（7.27）可得 将（7.26）式代入上式有 （7.29）由于，所以 由于，所以 ， （）将所求得的参数代入式（7.26）后得 （7.30）其中为Hz的振幅，只与激励源有关，其大小对研究电磁波在波导中传播的一般特性没有关系

11、，这里暂不考虑。由以上推导可见，在理想导体表面磁场切向分量的法向导数为零。这个结论对理想导体是普遍适用的。将式（7.30）代入式（7.8），求得TE波的全部场分量表达式 （7.31）由式（7.24）可导出将代入上式，求得截止频率和截止波长分别为 （7.32a） （7.32b）在式（7.32）中，和可取一系列正整数，故可有无限多个值。和取特定值时对应的横电波，用或表示，其中为电磁场沿波导宽边的半驻波的数目，为电磁场沿窄边的半驻波的数目。把和取固定值时电磁场的解称为波导中的一个波型，或称为一个模式。由于和可以取无穷多个值，因而在波导中可存在无穷多个模式。显然，式（7.31）中的和不能同时取零，否则

12、所有场量均为零。不同的，值代表不同的电磁场分布，矩形波导中TE10、TE11和TE21的场分布如图7.2所示。7.2.2 TM波横磁波(TM波)也称纵电波(E波)，对TM波在波导中场分布的研究，类似于对波的研究，我们可先求解，再根据式（7.8）得到其余场分量。此时可直接利用在波导壁上的边界条件，经推导得到TM波场分量的表达式 （7.33）需要注意的是，由于是关于和的正弦函数，因此和均不能为零。如有一个为零，则出现为零，整个场消失，所以，波（或波）的最低模式为TM11（或E11）。矩形波导中TM11、TM21和TM22的场分布和波导壁上表面电流分布如图7.3所示。图中实线为电力线，虚线为磁力线，

13、带箭头的半实线为电流线。TM波的截止波长公式和式（7.32b）相同。7.2.3 矩形波导的传输特性1. 波导波长将式（7.32b）代入波导波长的一般表示式（7.18）中，可以得到矩形波导的波导波长为 (7.34)其中由式（7.34）可见，矩形波导内的波导波长不仅和频率有关，也与和有关，这一点和TEM波在空间的传播特性不同。图7.2矩形波导三种TE模式的场分布及波导表面电流分布图7.3 矩形波导中三种TM模式的场分布2. 相速在7.1节中，我们已推导出了波导内TE波和TM波的相速的一般表示式为 (7.35)从该式可以看出矩形波导内TE波和TM波的相速具有下列性质：（1），即矩形波导内TE波和TM

14、波的相速大于TEM波的波速；（2）是频率的函数，说明矩形波导是一种色散传输系统；（3）是和的函数，即与波传播的模式有关。根据相对论，任何物质的运动速度均不能大于光速c，式（7.35）的结果似乎违反了此关系。对此应怎样理解呢？图7.4提供了解释此现象的物理过程和几何关系。图7.4 矩形波导中的相速可以将波或波视为TEM波在矩形波导内向上下或左右金属管壁斜入射及经管壁反射后形成的。在图7.4中，TEM波以入射角向矩形波导的上管壁斜入射，根据反射定律，由上管壁反射的波，成为以角向下管壁投射的入射波，这样波在上下管壁间连续入射与反射，入射波与反射波的叠加构成了存在于矩形波导内的TE波或TM波。我们在第

15、六章中已建立了这样的物理模型。这种利用波在波导壁上的入射、反射解释、波的方法称为部分波方法。根据定义，相速是指单一频率的电磁波的等相位面在波传播方向上传播的速度。在图7.4中，用虚线画出了传播中等相位面的位置，由图上所标与的几何关系，可直观地得出，而和，故。仅表示等相位面的传播速度，并不代表波能量传播的速度。3. 群速从以上讨论可知，色散波的相速并不能反映信号传播的速度。众所周知，未被调制的单频电磁波是不能传输信号的，调制波是由多个不同频率的波组成的波群，并构成包络，如图7.5所示。故信号传播的速度应是调制波中能反映信号特性的包络的传播速度， 图7.5 调幅信号波形图该速度称为群速，用表示。矩

16、形波导内斜入射的TEM波在管壁间来回反射，以折线方式向前传播，图7.6给出了矩形波导内的群速，相速和TEM波的波速之间的关系，有式中为TEM波对波导壁的入射角。又由图7.4可见则表示为 （7.36）由式（7.35）和式（7.36）得 （7.37）式（7.37）是反映三种速度、和之间关系的基本表示式。TEM波的波速是相速和群速的几何中项，矩形波导中的群速小于TEM波的波速。图7.6 矩形波导内的群速4. 波阻抗矩形波导中场的分布与均匀平面波在自由空间的场分布不同，矩形波导中的电磁场分布亦因模式不同而不同，例如TE10模的电场只有一个分量，但磁场却有和两个分量；又如TM11模，电场有三个分量、和，

17、而磁场有和两个分量。为此我们定义，矩形波导中的波阻抗在数值上等于相对于传播方向成右手螺旋关系的横向电场和横向磁场正交分量的比值。即对于横电波（TE波） （7.38）式中负号的出现是由于、和波的传播方向三者须符合右手螺旋关系。式（7.39）中、或、由式（7.31）给出，于是 （7.39a）对于符合传播条件的模式，则，于是 （7.40a）或 （7.40b）式中为TEM波的波阻抗，即媒质的本质阻抗，。同理，对于横磁波（TM波）的波阻抗 （7.41）式中、或、由式（7.33）给出，于是 （7.42a）或 （7.42b）波阻抗、横向电场和横向磁场之间也可用矢量关系表示对TE波 （7.43a）对TM波 （

18、7.43b）式（7.43a）和式(7.43b)中单位矢量代表波的传播方向。5. 截止波长当工作频率高于截止频率时，电磁波可以在矩形波导内传播。矩形波导内可能出现的模式的多少随着工作频率的改变而变化，当工作频率不断提高时，可能出现的模式也越来越多。这种在矩形波导内同时存在多个模式的情况，除了某些特殊应用外，通常对电磁能量的传输及应用是不利的，因为一方面不同模式的传播特性不同，另一方面波导中电磁波的激励(或响应)结构一般只对一定的模式起作用，波导中存在着多个模式意味着能量的损失。同时，多个模式的电场在波导中叠加，有可能是波导中某些地方出现电场最大值，造成波导传输功率容量的下降。一般工程上希望矩形波

19、导内只有一个传播模式。因此如何防止出现高次模是个重要问题。下面研究在矩形波导的尺寸a和b一定时出现多个模式的规律。在前面分析中已得出了矩形波导内TE波和TM波截止波长的计算公式 式中对TE波除和不能同时为零外，和可取任意正整数；对TM波和。为了形象地说明规律性，以cm和cm的矩形波导为例，将按式（7.32b）求出的各种模式的截止波长依大小排列，如图7.7所示。图7.7 矩形波导的截止波长分布图 由图7.7可见，当工作波长大于14cm时就进入截止区内，波不能传播；当工作波长在TE20模与TE10模的截止波长之间时，波导内只存在TE10模沿波导进行传播。如果改变工作波长，使其比TE20模的截止波长

20、短，但比TE01模的截止波长长时，波导内可同时出现TE10模和TE20模沿波导传播的情形；当进一步缩短工作波长，使其短于TM11模的截止波长，但大于TE30模的截止波长时，矩形波导内就可能有TE10,TE20,TE01,TE11和TM11五种模式同时出现。依此 类推，对给定的波导，工作频率越高，可能出现的传播模式也越多。 由于式（7.32b）可同时用于求TE波和TM波的截止波长，对于大于或等于1的和值，有等式 式中是TEmn模的截止波长，是同一，值的TMmn模的截止波长。这时，这两种模式的传播常数和传播速度亦相同。我们把在波导中存在的具有不同场结构，而有相同的截止波长和传播速度两种模称为简并模

21、。一般来说，波导的激励(或响应)只对某一种场结构起作用，简并意味着能量的消耗，工程上一般应避免出现简并现象。这种现象在谐振腔中也会出现。由以上的分析可见，在矩形波导中TE10模的截止波长最长，或者说截止频率最低，我们把TE10模称为矩形波导中的主模，其它模式都称为高次模，最靠近主模的高次模称为次低模。矩形波导中的次低模为TE20模或TE01模。每一个模式的截止波长都是由矩形波导的横截面尺寸决定，只要在选择波导的截面尺寸时，使TE20模和TE01模成为截止模，就可以使波导中只存在TE10模，即达到在波导内只传输主模的目的。TE10模的截止波长为 TE20模的截止波长为 TE01模的截止波长为 为

22、保证单一模式传播，工作波长应满足即 （7.44）当时，工作波长应满足即 （7.45）式（7.44）和式（7.45）中为工作波长，上述两个不等式提供了波导尺寸选择的主要准则，具体尺寸的确定，还需考虑传输功率的大小、传输损耗和效率等因素。工程上一般取 及 以确保波导中只传输主模。7.3 TE10模7.3.1 TE10模的场分量模是矩形波导中传输的最主要的模式。在式（7.31）中，当，时，得到模的场分量表达式为 (7.46)显然上式中，值与无关，因此值沿轴不变，电场沿轴按正弦分布，如图7.8所示。图7.8 TE10模的电场分布磁场有和两个分量，由和构成的闭合磁力线位于平面内。随的变化与随的变化相同，

23、呈正弦规律，而随的变化呈余弦规律，在与之间存在着的相位差，因此在同一点上，和的最大值不同时出现，在和处，而为最大; 在处，为最大，而为零。和也不随着改变。磁场在矩形波导内的分布如图7.9所示。由式（7.46）还可知，在和之间存在着相位差。图7.9 TE10模的磁场分布7.3.2 TE10模的特点模是矩形波导中最重要的模式，它具有以下特点：1模的电场只有分量，因此这种模式具有极化方向固定且稳定的特点。且场只与坐标有关，与坐标无关，即与窄边尺寸无关，因而可以通过缩小来节省材料，降低重量，但太小会造成衰减增大，承受功率下降。波导中的衰减情况将在7.3.4节进行详细讨论。2模的截止波长为截止频率为其中

24、为光速。TE10模为矩形波导中的最低模，也称为主模，具有最低的截止频率，可以通过波导尺寸的设计实现单模传输。在同一截止频率下，传输模所要求的矩形波导宽边尺寸最小。3TE10模到次低模TE20模之间的频率间隔比其它相邻模式之间的间隔大，可以使TE10模在频段内传播，选择合适的窄边尺寸，可以使其传输频带最宽，衰减最小。4TE10模的波阻抗为其中为TEM波的波阻抗。5波导内壁上电流分布由边界条件给出，由（7.46）得 （7.47a） （7.47b） （7.47c） （7.47d） 图7.10 矩形波导壁TE10模的电流 图7.10给出了某时刻波导内壁上电流分布情况。由图可见，在波导宽边中心线上只有纵

25、向电流，如果在此处有一纵向小缝，由于该缝切断的电流非常小，对波导内电磁波的传播影响很小，在此缝隙中引入一个探针制成波导测量线，移动该探针即可研究波导内电磁场沿纵向的分布情况。波导壁上开缝在波导缝隙天线中，有着广泛应用，可以根据波导壁上电流分布确定开缝的位置及形状。7.3.3 矩形波导中的功率传输按照一般定义，无限长均匀矩形波导的传输功率等于沿传输方向上的波印廷矢量在波导横截面上的积分，即 (7.48)式中Re表示取实部。在工程应用，只需研究矩形波导中TE10模的传输功率，将TE10模场分量的表达式代入式（7.48）即可以得出TE10模的传输功率 令 则 将式（7.40b）代入上式得又因 故传输

26、功率又可表示为 (7.49)由式（7.49）看出矩形波导的传输功率和工作波长、矩形波导横截面尺寸，及电场振幅有关。由于为波导宽边中心处的电场幅度，当等于矩形波导内介质的击穿强度时，矩形波导的功率就达到了极限传输功率 (7.50)上述推导均是在假设波导无限长和均匀的条件下进行的。由于工程制造误差等原因，实际波导总存在某些不均匀性。这些不均匀性会导致波导内局部区域电场过强而击穿。此外，若波导内填充的空气受潮也会降低击穿场强。因此为了保证安全传输，工程上一般容许传输功率为7.3.4 波导损耗实际上，构成矩形波导的管壁不是理想导体，当电磁波在矩形波导内传输时，将在导体管壁上产生欧姆损耗。另外，矩形波导

27、中填充的也不是理想介质，也将引起波的衰减。这两种损耗构成了无限长矩形波导在传输电磁能量中的全部损耗。通常介质损耗远小于金属波导壁上的欧姆损耗。要想导出一个用于严格计算波导壁上功率损耗的公式几乎是不可能的。这是因为，当考虑导体损耗时，矩形波导内的波动方程必须在非理想导体的边界条件下求解，而这样的严格解，目前还难以实现。为了摆脱难以严格求解的困境，在计算矩形波导壁上的欧姆损耗时，我们首先认为矩形波导是由理想导体构成的，这样就允许使用前面已导出的矩形波导内的场分布。同时用这一场分布，按照理想导体的边界条件求出金属管壁上的电流大小及分布。然后再考虑实际导体的表面电阻，即可求得波导壁的欧姆损耗的近似值。

28、矩形波导内TE10波的壁上电流分布如图7.10所示。又由第六章式（6.76）和式（6.78）知，导体的表面电阻为矩形波导上下宽边上电流分布相同，只是电流的流向相反，因此宽边为a的顶面和底面上单位长度的损耗功率为将式（7.47c）代入上式后得 (7.51)同理，可得高度为b的两窄边上单位长度的损耗功率为 (7.52)则整个矩形波导壁单位长度上的功率损耗为 (7.53)在损耗功率基础上，可导出波导的衰减系数。当考虑波在传播过程中的衰减时，场的表达式可写成式中为衰减系数。功率的表示式为 (7.54)式中为处的初始功率。在z等于单位长度处，传输功率为 (7.55)单位长度矩形波导的损耗功率为 或 当a

29、1，即衰减很小时 于是得 (7.56)式（7.56）中，损耗功率由式（7.53）给出，传输功率由式（7.49）给出，由此导出矩形波导中TE10波的衰减系数为 (7.57)式中。矩形波导中其它高次模损耗的计算方法和TE10模是类似的，但表达式要更复杂一些，图7.11为TE10模和TM11模的衰减特性曲线。图7.11 波导衰减曲线从图上可以看出衰减系数与频率的关系，当频率接近于截止频率值时，值很大，在某个适当频率下，有最小值，当频率越过最佳点再提高时，则缓慢地增加。从该曲线还可看出，矩形波导的截面尺寸比值b/a对值的影响也比较突出，当b/a=1时，TE10波的值极小，但此时有简并现象，故一般不宜应

30、用，在b/a=0.5时，值比b/a=1时稍大，但无简并现象，并且又可照顾到工作频带不减小，所以工程上近似取b/a=1/2。例如常用的三厘米波段矩形波导有两种，一种为b/a=10.16/22.86=1/2.25，另一种为b/a=9.525/19.05=1/2，前者截止频率6556.78 MHz，后者为7868 MHz。【例7-1】 设矩形波导的内尺寸a=1.5 cm，b=0.6 cm，材料为黄铜，其电导率=1.57107 S/m，波导内部填充的介质材料，其损耗正切忽略不计，工作频率为10 GHz，求该波导的下列参数：(1) 波导波长；(2) 相位常数；(3) 相速；(4) 波阻抗；(5) 波导壁

31、引起的欧姆损耗。解 已知f=10 GHz，则介质中的TEM波波长为已知a=1.5 cm，b=0.6 cm，则可见该波导内只存在TE10模，因此需求解的只是TE10模的参数。(1) 波导波长(2) 相位常数(3) 相速(4) 波阻抗 (5) 波导壁上引起的欧姆损耗由式（7.57）计算式中表面电阻介质的本质阻抗于是 7.4 圆柱形波导 作为电磁能量的传输系统，圆柱形波导（简称圆波导）的使用没有矩形波导普遍，但依然有很多微波器件和装置是由圆波导构成的。例如雷达中使用的旋转关节，空腔谐振器，圆锥喇叭天线及若干微波铁氧体器件等。圆波导结构对称，制造方便，传输的最低次模式是TE11模，有工程应用价值，圆波

32、导内具有圆对称的模式TE01和TM01，虽然是高次模，但是也有工程应用价值。 圆波导研究方法和矩形波导的研究方法相同，即从解圆波导的波动方程着手，结合圆波导的具体边界条件，解出圆波导内的场分量表达式。用分离变量法进行变量分离时，要采用圆柱坐标系统，如图7.12所示。圆波导中纵向分量和满足的波动方程为 (7.58a) 和 (7.58b)式中 (7.59)由式(7.8)和式(7.9)可以得到用纵向场分量表示横向场分量的表达式 (7.60)式中，含义与矩形波导的相同。显然，圆波导内也不能传播TEM波，只能传播TE波和TM波。7.4.1 波这种波型的，因此只需求解满足的波动方程(7.58a)方程。为了清晰起见，将方程(7.58a)在圆柱坐标系下写成为 (7.61)设 (7.62)将式(7.62)代入式(7.61)中得 经进一步化简后得方程式的左边为的函数，而右边则为的函数，因此等式成立的