专升本高等数学讲义.ppt
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1、专升本高等数学讲义,函数、极限与连续,一,1、函数,函数的概念(1)定义:(2)三要素:定义域、对应法则、值域(3)表示方法:图像法、表格法、公式法函数的性质(1)奇偶性:偶;奇(2)有界性:(3)周期性:(4)单调性:判断 的符号反函数:复合函数初等函数:常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数,2、极限,极限的概念(1)(2)极限的四则运算两个重要极限(1)(2),2、极限,无穷小与无穷大(1)定义:倒数关系(2)无穷小的性质:有限个无穷小的和、差、积是无穷小 无穷小乘以有界函数是无穷小(3)无穷小的比较:同阶、等价、高阶(4)等价无穷小的替换:当 时,3、连续性,连续的定义:间断点及其分类
2、(1)第一类间断点:左右极限都存在的间断点,包括可去间断点(左右极限相等)、跳跃间断点(左右极限不相等)(2)第二类间断点:左右极限至少有一个不存在,包括无穷间断点、振荡间断点等。闭区间上连续函数的性质(1)最值定理(2)介值定理(3)零点定理(方程根的存在性定理):若 在 上连续,且 则至少存在一个,使得。(是方程 的一个根),4、典型例题,例1:求 的定义域。例2:设,求 的定义域。例3:设,求。例4:设,求。例5:求 的奇偶性。例6:设 是以3为周期的奇函数,且,求。例7:若,求。,4、典型例题,例8:求下列极限(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例9:若,求。,4、典型例题
3、,例10:设,求 使 在 连续。例11:求下列函数的间断点并判断间断点的类型。(1)(2)例12:证明方程 在区间 上有唯一实根。例13:设 在 上连续,证明:至少存在一点,使得。,一元函数的微分学,二,1、导数,导数的概念(1)定义:(对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解)(2)左、右导数:(3)几何意义:曲线 过点 的切线方程:法线方程:,1、导数,导数的计算(1)基本求导公式(熟记)(2)四则运算法则:(3)复合函数链式求导法则(4)隐函数求导法(5)参数方程求导法:(6)对数求导法:幂指函数,连乘、除高阶导数:,2、微分,微分的概念(1)定义:若 在点 处的增量可表示成,则
4、称 在点 处可微,微分记作:(2)可微与可导的关系:可微 可导 连续 有极限 微分的计算(1)(2),3、应用,中值定理(1)罗尔定理:若 满足:在 连续;可导;则至少存在一点,使得。(2)拉格朗日中值定理:洛必达法则(1)型(2)型(3)型,型,型,型,型(化成 型或 型),3、应用,导数的应用(1)单调性:根据 符号(2)极值和最值(3)凹凸性:根据 符号(4)拐点(5)渐近线:水平渐近线 铅直渐近线(6)经济应用:边际和弹性问题微分的应用(1)近似值公式:(2)泰勒公式:,4、典型例题,例1:设(1)求a,b,使 在 处连续(2)求a,b,使 在 处可导例2:求曲线 在点 处的切线和法线
5、方程。例3:过点 作曲线 的切线,求切线方程。例4:若 是可导的偶函数,证明:是奇函数。例5:设,求。例6:设,求。,4、典型例题,例7:设,求。例8:求 的微分。例9:求 的导数。例10:设函数 在 上连续,在 可导,且,证明至少存 在一点,使得。例11:求下列极限(1)(2),4、典型例题,(3)(4)(5)例12:求 的单调性与极值。例13:证明:当 时,。例14:求 的凹凸区间与拐点。例15:求 的渐近线。例16:求 的近似值。,一元函数的积分学,三,1、不定积分,原函数:若 是 的一个原函数。不定积分的概念:的全体原函数,不定积分记作:不定积分的性质(导数和积分互逆)(1)(2)基本
6、积分公式(熟记)不定积分的积分方法(1)直接积分法(加项减项、拆项、三角恒等变形等)如:,1、不定积分,(2)第一换元积分法(凑微分法)(3)第二换元积分法(根式代换,三角换元)如:令 令,其中 是 的最小公倍数 令 令 令(4)分部积分法(按照对、反、幂、三、指选择u),2、定积分,定积分的概念(1)定义:,为常数。其中:(2)几何意义:曲边梯形的面积定积分的性质(1)(2)若,则,2、定积分,变限积分(1)变上限积分的概念:是关于上限 的函数。(2)变限积分求导定理:,2、定积分,牛顿-莱布尼茨定理设 在区间 上连续,是它的任一个原函数,则定积分的积分方法(1)直接积分法(2)换元积分法(
7、换元必换限)(3)分部积分法:反常(广义)积分定积分的应用(1)求平面图形的面积(2)求旋转体的体积,3、典型例题,例题1:已知 的一个原函数为,求。例题2:求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),3、典型例题,(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18),3、典型例题,(19)例3:求下列定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),3、典型例题,例4:设 是连续的奇函数,且证明:是偶函数。例5:设 连续,且,令,证明:(1)(2)在 内有唯一的根。例6:设 是连续函数,且,求。若改成:呢?例7:求极限。,3、典型例题,例8
8、:求 的极值。例9:设,求。例10:求由抛物线 与直线 围成的图形面积。例11:求由抛物线、直线 及 轴围成的平面图形分别绕 轴、轴旋转所得立体的体积。,常微分方程,四,1、微分方程的基本概念,微分方程的定义含有未知函数的导数(或微分)的方程。形如:微分方程的分类(按照阶、线性性)微分方程的解若把函数 代入微分方程后,能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解。解的分类(1)通解若微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为微分方程的通解。(2)特解与初始条件初始条件:用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件,称为初始条件。如
9、:等。特解:满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。,2、一阶微分方程,可分离变量的微分方程(1)定义:形如 的微分方程。(2)解法:分离变量,得,两边积分。一阶线性微分方程(1)定义:形如 的微分方程。(2)解法:常数变易法 公式法:,3、二阶常系数线性微分方程,二阶线性微分方程解的结构(1)齐次线性微分方程解的叠加原理若 和 是齐次方程 的两个解,则 也是该方程的解;且当 和 线性无关时,就是方程的通解。(2)非齐次线性微分方程解的叠加原理 若 是非齐次方程 的一个特解,是该方程所对应的齐次方程 的通解,则 就是该非齐次方程的通解。(3)非齐次线性微分方程解的分离定理若 是 的解,
10、是 的解,则 是非齐次方程 的解。,3、二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性齐次微分方程(1)定义:形如 的微分方程。(2)解法,3、二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程(1)定义:形如 的方程。(2)解法:对应齐次方程的通解 加上非齐次方程的一个特解,就是非齐次方程的通解,即:(3)特解的形式,4、高阶微分方程,型降阶法方程左右两端连续积分n次,可得到一个含有n个任意常数的通解。型降阶法(方程中不显含)设 化成,为一阶微分方程,可解出;再积分一次,可得到原方程的通解。,5、典型例题,例1:求下列微分方程的通解(1)(2)(3)(用常数变易法和公式法)(4)(5)(6)(7)
11、,5、典型例题,(8)(9)(10)(11)(12)(13)例2:下列非齐次方程应如何设特解(1)(2)(3)(4),5、典型例题,(5)(6)例3:求 满足 的特解。例4:已知可导函数 满足,求。例5:求过点 且切线斜率处处为 的曲线方程。,向量代数与空间解析几何,五,1、空间直角坐标系,坐标轴在空间,使三条数轴互相垂直相交于一点,这三条数轴分别称为(横)、(纵)轴、(竖)轴,三条坐标轴成右手系。坐标平面每两轴所确定的平面称为坐标平面,如 面,面,面。坐标空间中的一点 与一组有序数 一一对应,有序数组 称为点 的坐标,分别为横坐标,纵坐标,竖坐标。卦限坐标面将空间分成八个部分,每一部分称为一
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