华师版八年级上学期第11章《数的开方》知识点整理及针对性训练.doc

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1、华师版八年级上学期第11章数的开方知识点整理及针对训练知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根；即：当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。3、当a0时，即a为负数时，它不存在平方根。例1：（1） 的平方是64，所以64的平方根是 。（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是2，则x= ；的平方根是 。（4）当x 时，有意义。（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是 ，这个正数是 。知识点二、【算术平方根】： 1、如果

2、一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例2：（1）下列说法正确的是( ) A、1的立方根是； B、；C、的平方根是；D、0没有平方根. （2）下列各式正确的是( ) A、 B、 C、 D、（3）的算术平方根是 。 （4）若有意义，则_。（5）已知AB

3、C的三边分别是a、b、c，且a、b满足，则c的取值范围为 。（6）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则x-y的值为 。（7）求下列各数的平方根和算术平方根.64，0.0004，(-25)2，11，1.44，0，8，441，196，104.（8）()2= ； ()2= ； ()2= .（9）对于正数a，()2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1) =_，=_； (2)=_，=_；(3)=_，=_； (4)_，=_.知识点四、【立方根】： 1、如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，

4、或者三次方根。记做：，读作：3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3：（1）64的立方根是（2）若，则b等于( ) A、1000000 B、1000 C、10 D、10000（3）下列说法中：都是27的立方根；的立方根是2；。其中正确的有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点五、【无理数】： 1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的

5、表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：.2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4：（1）下列各数：3.141、0.33333、0.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加2

6、）、其中是有理数的有 ；是无理数的有 。（填序号）（2）有五个数：0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有( )个A、2 B、3 C、4 D、5 知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是(a0)；实数a的绝对值|a|=，|a|的几何意义是：在数轴上表示实数a的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，

7、两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5:（1）下列说法正确的是( )A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。（2）a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )a 0 bbA、 B、 C、 D、（3）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 和-1，则点C所对应的

8、实数是( )A、1+ B、2+ C、2-1 D、2+1a 0 bb（4）实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为( )A、 B、 C、 D、（5）比较大小(填“”或“”).3 ， ， ， .（6）将用“”连接起来：_。（7）若，且，则= 。（8）计算： （9）已知，求代数式的值。（10）若等腰三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b满足，求第三边c的长。基础练习一一、选择题：1、下列数中是无理数的是( ) A、 B、 C、0 D、2、下列说法中正确的是( )A、不循环小数是无理数 B、分数不是有理数 C、有理数都是有限小数 D、3.1415926是有理数3、下列语句正确的是( )A

9、、3.78788788878888是无理数 B、无理数分正无理数、零、负无理数C、无限小数不能化成分数 D、无限不循环小数是无理数4、在直角ABC中，C=90，AC=，BC=2，则AB为( )A、整数 B、分数 C、无理数 D、不能确定5、面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为( ) A、小数 B、分数 C、无理数 D、不能确定6、的化简结果是( ) A、2B、-2 C、2或-2 D、47、9的算术平方根是( ) A、3 B、3 C、 D、8、(11)2的平方根是( ) A、121 B、11 C、11 D、没有平方根9、下列式子中，正确的是( )A、B、-=-0.6 C、=13D、=610、7

10、2的算术平方根是( ) A、 B、7 C、 D、1411、16的平方根是( ) A、4 B、24 C、 D、212、一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是( )A、a+2 B、-2 C、+2 D、a2+213、下列说法正确的是( )A、-2是-4的平方根 B、2是(-2)2的算术平方根 C、(-2)2的平方根是2 D、8的平方根是414、的平方根是( ) A、4 B、-4 C、4 D、215、的值是( ) A、7 B、-1 C、1 D、-716、下列各数中没有平方根的数是( ) A、-(-2)3 B、33 C、a0 D、-(a2+1)17、等于( ) A、a B、-a C、a D、以上答案

11、都不对18、如果a(a0)的平方根是m，那么( ) A、a2=m B、a=m2 C、=m D、.=m19、若正方形的边长是a，面积为S，那么( ) A、S的平方根是a B、a是S的算术平方根 C、a= D、S= 二、填空题：1、在下列数：0.351， ，4.969696， 6.751755175551， 0，-5.2333， 5.411010010001中，无理数有 个。2、 小数或 小数是有理数， 小数是无理数.3、若x2=8，则x_分数，_整数， 有理数.(填“是”或“不是”)4、面积为3的正方形的边长_有理数；面积为4的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”)5、的平方根是_； 6、

12、(-)2的算术平方根是_；7、一个正数的平方根是2a-1与-a+2，则a=_，这个正数是_；8、的算术平方根是_； 9、92的算术平方根是_；10、的值等于_，的平方根为_； 11、(-4)2的平方根是 ，算术平方根是_.三、判断题：1、0.01是0.1的平方根. ( )2、52的平方根为5. ( )3、0和负数没有平方根. ( )4、因为的平方根是,所以=. ( )5、正数的平方根有两个，它们是互为相反数. ( )四、解答题：1、已知下列实数（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数. 2、要切一块面积为36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 3、已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-

13、15,求这个数. 选学内容：分母有理化1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式(xa) 3分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化 【对应练习】1找出下列各式

14、的有理化因式 2把下列各式分母有理化 3计算 4比较大小与 5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；6.计算： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 1. 计算(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：等，开方开不尽的数，如等；特定结构的数，例0.010 010 001等；某些三角函数，如sin60，cos45 等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是

15、无理数。例1下面几个数：，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4例2.（2010年浙江省东阳县）是（ ） A无理数 B有理数 C整数 D负数 举一反三：1.在实数中，0，3.14，中无理数有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a0，则a的平方根是，a的算术平方根；若a0，则ab=1. （）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，21.3，1.234，0， ，()0，32，1.2121121112 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 3已知1x2，则|x3|+等于（）（A）2x （B）2 （C）2x

16、 （D）24下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互为相反数： ；互为倒数： 互为负倒数： 5已知x、y是实数，且(x)2和y2互为相反数，求x，y的值.6若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则= 。7已知，则a+b= 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数2和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数4.如果a是实数，下列四种说法：（1）a2和a都是正数； （2）aa

17、，那么a一定是负数；（3）a的倒数是； （4）a和a的两个分别在原点的两侧.正确的有（）个（A）0（B）1（C）2（D）35比较下列各组数的大小：（1） ；(2)；(3)ab0时, 6若a、b满足，则的值是 7实数a、b、c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|b a 0 c （1）判定a+b，a+c，c-b的符号.（2）化简.8数轴上点A表示数1，若AB3，则点B所表示的数为 9已知x0，y0，且y|x|，用连结x，x，|y|，y.10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11对于实数、，给出以下三个判断： 若，则 若，则 若，则 其中正确的判断的个

18、数是（ ）A3 B2 C1 D012若的值在两个整数a与a+1之间，则a= 13数轴上作出表示，的点.四独立训练：10的相反数是，的相反数是，的相反数是；的绝对值是，0的绝对值是，的倒数是2数轴上表示3.2的点它离开原点的距离是。A表示的数是，且AB，则点B表示的数是。3在实数中，无理数有 ，整数有 ，负数有 。4若a的相反数是27，则a| ；若|a|，则a= 5若实数x，y满足等式（x3）24y0，则xy的值是 6实数可分为（）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数7若2a与1a互为相反数，则a等于（）（A）1 （B）1 （C） （D）8当a为实数时，=a在数轴上对应的点在（）(A)原点右侧 （B）原点左侧 （C）原点或原点的右侧 （D）原点或原点左侧9代数式的所有可能的值有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个10已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图 b -1 0 a 1（1）比较ab与a+b的大小（2）化简|ba|+|a+b|11实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，其中ac a 0 b c 试化简：12已知等腰三角形一边长为a，一边长b，且（2ab）29a20，求它的周长.13若3、m、5为三角形三边，化简：.