随机过程(汪荣鑫版)第一、二、四章习题答案pdf.doc

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1、第一章随机过程的基本概念1设随机过程 X (t) = X cosw0 t,- t 0 时此时若 c o ws0 t同理有x1x-x 22F (x, t) =PX=cosw0t edxcosw0t2p 0F (x, t )1-x21f (x, t) =e2 c o 2sw0txc o sw0 t2p 0 时xxF (x, t) =PX = 1 - Px cosw0t cosw0t 1xe-x 2= 1 -cosw0t2 dx2p01-x21f (x, t) = -e2 c o 2swt0c ows0 t2p综上当： cosw0 t 0即t 1(k +1)p 时w0211-x2f (x, t) =

2、e2 cos2w0t| cosw0 t |2p2利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为1cospt, 出现正面X (t) = 2t, 出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1 2 。试确定 X (t) 的一维分布函数 F (x, 2)和 F (x,1) ，以及二维分布函数 F (x1 , x2 ; 12 ,1)解：（1）先求 F (x,1)2p出现正面 01 cos2,出现正面显然 X = = 1出现反面2 2 -,出现反面 121 随机变量 X 的可能取值只有 0，1 两种可能，于是2 1 11 1PX = 0=PX = 1=2 22 2所以0x 01 1F x,=0 x 12

3、 21x 1再求 F（x,1）cosp出现正面-1出现正面显然 X (1) = = 2出现反面 2出现反面pX (1) = -1= pX (1) = 2=12所以0x -11F (x,1) =-1 x 221x 21(2)计算 F (x1 , x2 ; 2 ,1)10出现正面-1出现正面X () = 出现反面, X (1) = 出现反面212于是211 Fx x1, x2;,1=pX x1 ; X (1) x2 22 0x1 0- x2 +或 x1 0,x2 -110 x1 1,-1 x2 1,x2 23设随机过程 X (t ),- t 0)其中 X 是具有分布密度 f(x)的随机变量。试求

4、X(t)的一维分布密度。 解：对于任意 t0 因为FX (x, t) = P(x(t) x) 当 x0 时- Xtln x FX (x, t) = Pe x= P- Xt ln x= PX -t ln x - ln x= 1 - pX 0tTtRX (t1 , t2 ) = EX (t1 ) X (t2 )= Ee- Xt1 e- Xt2 = Ee- X (t1 +t2 ) = 0T e -x(t1 +t2 ) f X(x)dx =1(1 - e -T (t1 +t2 ) )T (t1 + t2 )6设随机过程 X (t),- t +在每一时刻 t 的状态只能取 0 或 1 的数值，而在不同时

5、刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的 t 有PX (t) = 1= pPX (t) = 0= 1 - p其中 0p1。试求 X(t)的一维和二维分布，并求 x(t)的数学期望和自相关函数解：一维分布Px(t) = 1= pPx(t) = 0= 1 - p二维分布：PX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1= p 2pX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 0= p(1 - p) pX (t1 ) = 0, X (t2 ) = 1= (1 - p) p pX (t1 ) = 0, X (t2 ) = 0= (1 - p)2X(t)的数字期望4mX (t) = EX (t) = 1

6、 pX (t) = 1+ 0 pX (t) = 0= p随机过程 X (t)的自相关函数为RX (t1 , t2 ) = EX (t1 ) X (t2 )= 1 pX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1+0 PX (t1 ) = 1且 X (t2 ) = 0 ； X (t1 ) = 0 且 X (t2 ) = 1 ； X (t1 ) = 0 且 X (t2 ) = 0= PX (t1 ) = 1 PX (t2 ) = 1= p 27设 X n , n 1是独立同分布的随机序列，其中 X j 的分布列为Xj1-1J=1，2，1-1P22n定义Yn = X j 。试对随机序列Yn , n

7、 1求j =1（1）Y1 的概率分布列；（2）Y2 的概率分布列；（3）Yn 的数字期望；（4）Yn 的相关函数 RY（n, m）。解：（1） Y1=X1故概率分布则为 PY = 1=1PY = -1=11212（2） Y2 = X 1 + X 2Y2 可能的取值为 0 或 2，-2PY2 = 0= PX1 + X 2 = 0= PX1 = 1, X 2 = -1+ PX1 = -1, X 2 = 1= PX1 = 1PX 2 = -1+ PX1 = -1PX 2 = 1=1+1=1442PY = 2= PX+ X= 2= PX= 1, X= 1=1212214PY = -2= PX+ X= -2= PX= -1, X= -1=1212214n（3）Yn = X j的数字期望为j =1EYn（4）自样关函数n= E X j =1RY (m, n)n= EX jj j =1= EY (m)Y (n11= 1+(-1)= 022j =1n)=mmE X j X k j =1k =1当 mn 时nR (m, n) = EXYjj =1m+ Xj =n+1nn2mnj Xk = EX+XXj j kk =1j =n+1k =1 j =15