高三数列知识点与题型总结归纳(文科).doc
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1、 数列考点总结第一部分 求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法(见辅导书)二、求数列的通项公式四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。 求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。一、累加法 1适用于: -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。若,则 两边分别相加得 例1 已知数列满足,求数列的通项公式。例2 已知数列满足,求数列的通项公式。练习1.已知数列的首项为1,且写出数列的通项
2、公式. 答案:练习2.已知数列满足,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.练习3 已知数列满足,求数列的通项公式。二、累乘法 1、适用于: 累乘法是最基本的二个方法之二。若,则两边分别相乘得,例4 已知数列满足,求数列的通项公式。例5.设是首项为1的正项数列
3、,且(=1,2, 3,),则它的通项公式是=_.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型(1)若c=1时,数列为等差数列;(2)若d=0时,数列为等比数列;(3)若时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以 即:.规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式
4、. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6、已知数列中,求数列的通项公式。2形如: (其中q是常数,且n0,1) 若p=1时,即:,累加即可.若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即: ,令,则可化为.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例7、已知数列满足,求数列的通项公式。练习3.(200
5、9陕西卷文)已知数列满足, .令,证明:是等比数列;()求的通项公式。答案:(1)是以1为首项,为公比的等比数列。(2)。总结:四种基本数列1形如型 等差数列的广义形式,见累加法。2.形如型 等比数列的广义形式,见累乘法。3.形如型(1)若(d为常数),则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,分奇偶项来分求通项.4.形如型(1)若(p为常数),则数列为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(
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