集合知识点精讲精炼.doc
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1、第一章:集合与函数的概念第一课时:集合1.1集合的含义与表示1.1.1集合的含义:我们一般把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合,用小写字母a、b、c等表示元素,元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A,记做aA,反之,元素a不属于集合A,记做aA。1.1.2集合中的元素的特征:确定性:如世界上最高的山;互异性:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y;无序性:如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图;用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集(即自然数集)正整数集整
2、数集有理数集实数集NN+或N*ZQR1.1.4集合的分类:根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲:一. 如何判断一些对象是否组成一个集合:判断一组对象能否组成集合,主要是要看这组对象是否是确定的,即对任何一个对象,要么在这组之中,要么不在,二者必居其一,如果这组对象是确定的,那么,这组对象就能够组成一个集合。例:看下面几个例子,判断每个例子中的对象能否组成一个集合。(1)大于等于1,且小于等于100的所有整数;(2)方程x2=4的实数根;(3)平面内所有的直角三角形;(4)正方形的全体;(5)的近似值的全体;(6)平面集合中所有
3、的难证明的题;(7)著名的数学家;(8)平面直角坐标系中x轴上方的所有点。解:练习:考察下列各组对象能否组成一个集合,若能组成集合,请指出集合中的元素,若不能,请说明理由:(1) 平面直角坐标系内x轴上方的一些点;(2) 平面直角坐标系内以原点为圆心,以1为半径的园内的所有的点;(3) 一元二次方程x2+bx-1=0的根;(4) 平面内两边之和小于第三边的三角形(5) x2,x2+1,x2+2;(6) y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a0);(7) 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0;(8) 新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题:确定元素与集合之间的关
4、系,即元素是否在集合中,还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例:集合A=y|y=x2+1,集合B=(x,y)| y=x2+1,(A、B中xR,yR)选项中元素与集合之间的关系都正确的是( )A、2A,且2B B、(1,2)A,且(1,2)BC、2A,且(3,10)B D、(3,10)A,且2B解:C练习:3.1415 Q; Q; 0 R+; 1 (x,y)|y=2x-3; -8 Z;三有关集合中元素的性质的问题:集合中的元素有三个性质:分别是确定性互异性无序性例:集合A是由元素n2-n,n-1和1组成的,其中nZ,求n的取值范围。解:n是不等于1且不等于2的整数。练习:1. 已知集合M
5、=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a0,且M与N中的元素完全相同,求d和q的值。2. 已知集合A=x,,1,B=x2,x+y,0,若A=B,则x2009+y2010的值为 ,A=B= .3. (1)若-3a-3,2a-1,a2-4求实数a的值; (2)若 m,求实数m的值。4.已知集合M=2,a,b,N=2a,2,b2,且M=N,求a,b的值。5.已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR,(1)若A中只有一个元素,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围。四集合的表示法:三种表示方法练习;1. 用列举法表示下列集合。(1) 方程 x2+y2=2d的解集为 ; x-y
6、=0(2)集合A=y|y=x2-1,|x|2,xZ用列举法表示为 ;(3)集合B=Z|xN用列举法表示为 ;(4)集合C=x|=+,a,b是非零实数用列举法表示为 ;2.用描述法表示下列集合。(1)大于2的整数a的集合;(2)使函数y=有意义的实数x的集合;(3)1、22、32、42、3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系:(1)A=四边形,B=梯形,C=平行四边形,D=菱形,E=矩形,F=正方形;(2)某班共30人,其中15人喜欢篮球,10人喜欢兵乓球,8人对这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ,用Venn图表示为: 。五有关集合的分类:六集合概念的综合问题:练习1
7、. 若,则t的值为 _;2. 设集合A=y|y=x2+ax+1,xR,B=(x,y)|y= x2+ax+1, xR ,试求当参数a=2时的集合A和B;3. 已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,求(1)若集合A为空集,则a的取值范围;(2)若集合A中只有一个元素,求a的值,并写出集合A;(3)若集合A中至少有一个元素,则a的取值范围。1.1课后作业:1.判断下列各组对象能否组成集合:(1)不等式的整数解的全体;(2)我班中身高较高的同学;(3)直线上所有的点;(4)不大于10且不小于1的奇数。2.用符号或填空:(1)2_ (2)_(3)0_(4)_ (5)0_(6)(7)(8)(9)3.
8、写出下列集合中的元素(并用列举法表示):(1)既是素数又是偶数的整数组成的集合(2)大于10而小于20的合数组成的集合4.用适当的方法表示:(1)(x1)20的解集;(2)方程组的解集;(3)方程3x2y10的解集;(4)不等式2x10的解集;(5)奇数集;(6)被5除余1的自然数组成的集合。5.集合1,a2中a的取值范围。1.2集合间的基本关系1.2.1子集:一般地,两个集合A和B,如果 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记做AB(或BA),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 。如右图示。比如说,集合A=1、2、3,集合B=1、
9、2、3、4、5,那么,集合A中的元素1、2、3都属于集合B,所以,集合A为集合B的子集,记做AB(或BA)。1.2.2集合相等:如果集合AB且BA时,集合A中的元素与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记做A=B。或AB。1.2.3真子集:如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集。记作:AB(或BA) 也可记作:(或)1.2.4空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记做,并规定:空集是任何非空集合的子集(当然是真子集)本节精讲:一 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等,我们要从以下三个方面入手: 若集合AB且BA时,则A=B;反之,如果A=B,则集合AB且BA。
10、这就给出了我们证明两个集合相等的方法,即欲要证明A=B,只需要证明AB和BA都成立就行了。 两个集合相等,则所含元素完全相同,与集合中元素的顺序无关。 要判断两个集合是否相等,对于元素较少的有限集合,可以用列举法将元素列举出来,看看两个集合中的元素是否完全相同;若是无限集合,则因从“互为子集”两个方面入手。例:若集合,且满足,求实数的取值范围.解:练习:1.已知,且,求实数p、q所满足的条件. 2. 若,则( ). A. B. C. D. 3. 已知集合Px|x2x60与集合Qx|ax10,满足QP,求a的取值组成的集合A。二 有关子集以及子集个数的问题:例1:判定以下关系是否正确 (2)1,
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