平方根与立方根一对一辅导讲义.doc

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1、教学目标1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4. 理解开立方与立方的关系。重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。难点：算术平方根与平方根的区别与联系。考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教 学 内 容第一课时 平方根与立方根知识梳理课前检测1、求下列各数的算术平方根： 2、求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）3、算术平方根等于本身的数有 。4、求下列各数的算术平方根. ， ， ， ，5、已知求的值.知识梳理一

2、. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。当时，的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数。2. 平方根的概念及其性质（1）平方根的定义如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根。即如果，那么叫做的平方根。（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当时，的平方根表示为。（3）求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。3. 用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于，那

3、么这个数叫做的立方根或三次方根。即如果，那么叫做的立方根，记作。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。2. 开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。3. 用计算器求立方根很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。第二课时 平方根与立方根典型例题典型例题知识点一：算术平方根例1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。（1）81；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）。思路分析：根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（

4、3）、（4）、（5）有算术平方根，（2）、（6）没有算术平方根。解答过程：（1）因为81是正数，所以它有算术平方根。又因为，所以81的算术平方根是9；（2）因为是负数，所以它没有算术平方根；（3）0有算术平方根，就是0；（4）因为是正数，所以它有算术平方根。又因为，所以的算术平方根是；（5）因为是正数，所以它有算术平方根。又因为，所以的算术平方根是2；（6），是负数，所以没有算术平方根。解题后的思考：要判断一个数有没有算术平方根，要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数，只有非负数才有算术平方根。以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？例2. 已知，求的值。思路分析：考

5、虑、都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题。解答过程：又解得。解题后的思考：一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零。这是解决这类问题的出发点。小结：1. 只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；2. 一个非负数的算术平方根是一个非负数。知识点二：平方根的概念及其性质例3. 求下列各数的平方根和算术平方根：（1）3600；（2）；（3）0.0001；（4）。思路分析：因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。解答过程：（1）因为，所以3600的平方根是，即。3600的算术平

6、方根是60，即。（2）因为，所以的平方根是，即。的算术平方根是，即。（3）因为，所以0.0001的平方根为，即。0.0001的算术平方根为0.01，即。（4）因为，所以的平方根为，即。的算术平方根为7，即。解题后的思考：运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。例4. 求下列各式中的。（1）；（2）；（3）；（4）。思路分析：把上面各式化成的形式，求出的平方根，就可以求出的值。解答过程：（1）因为，所以；（2）因为

7、，所以，所以或；（3）因为，所以，所以；（4）因为，所以，所以。解题后的思考：虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。例5. 若一个正数的两个平方根分别为和，求的值。思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程，求出的值，而或，据此可求出的值。解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以，解得。从而（或所以。解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出。这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。例6. 若适合关系式，试求的值。思路分析：从已知关系

8、式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。解答过程：由已知，得由（3）（4）式可知，所以，原式即为因为，所以，又因为，所以，解得。解题后的思考：的非负性包括两层含义：一是被开方数必须非负，即；二是的算术平方根必须非负，即。小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0知识点三：平方根的估算例7. 已知为的整数部分，是9的平方根，且，求的值。思路分析：此题涉及的估值问题，由，即可解。还涉及的取值的取舍问题，求出的值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。解答过程：因为，所以，即因为是9的平方根，所以，即或又因为，所以所以，

9、故。解题后的思考：若的整数部分为，则其小数部分为。小结：若一个非负数介于另外两个非负数之间，即时，它的算术平方根也介于之间，即。利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。知识点四：立方根的概念及其性质例8. 已知是8的立方根，求。思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。解答过程：是8的立方根，解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。小结：立方根与平方根的区别：只有非负数才有平方根，0的平方根为0，正数的平方根有两个且互为相反数；

10、任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。知识点五：平方根与立方根的综合运用例9. （1）已知，则_；（2）已知，则。思路分析：一个正数扩大（或缩小）100倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动2位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位。一个正数扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根扩大（或缩小）10倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位。解答过程：（1）因为所以（2）因为所以解题后的思考：同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆：一个正数扩大

11、10倍，则它的平方扩大100倍，立方扩大1000倍；反之，一个正数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍；一个正数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍。例10. 已知是的算术平方根，是的立方根，试求的值。思路分析：由是的算术平方根可知，由是的立方根可知，由此可得方程组，解得的值，从而求得的值，最后求出的值。解答过程：由题意可知解方程组得所以，所以，。解题后的思考：明确算术平方根和立方根的意义及表示方法。例11. 若与互为相反数，求代数式的值。思路分析：由立方根的定义和性质可知，若与互为相反数，则有被开方数互为相反数。由此求出的关系式，然后代入求值。解答过程：由题意得所以，则。解题后的思考：熟悉

12、掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。师生小结 被开方数名称正数0负数1算术平方根1个（正数）0无1无平方根2个（一正一负）0无无立方根1个（正数）01个（负数）1第三课时 平方根与立方根课堂检测课堂检测一、选择题：1. 的绝对值是（ ）A. 3B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ）A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B. 负数没有立方根C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D. 一个非零数的立方根与这个数同号3. 与最接近的数是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 54. 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ）A. 1B. C. 0或1D. 或05. 计

13、算（ ）A. B. C. D. 0二、填空题：6. （1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；7. 的平方根是_；8. 的小数部分为_；9. 下列说法中正确的是_（将序号填写在横线上）4的平方根是2；4的算术平方根是2；是4的平方根；的平方根是；0.3是0.09的平方根；0.4的算术平方根是0.2。10. 如果，那么_。三、解答题：11. 求下列各数的平方根和算术平方根（1）（2）0.0081（3）()2（4）1412. 求下列各数的立方根（1）0.001（2）216（3）3（4）313. 求下列各式中的x（1）9x22560 （2）4(2x1)22514. 已知：(12a)20，求a

14、b的值15. 若3x16的立方根是4，求2x4的算术平方根16. 已知，求的值。 17.已知：（1）2+0，求+2的立方根18.已知：2的平方根是2,2+7的立方根是3，求2+2的平方根19. 若2（3）2，3（2）3，求+的所有可能值19. 将半径为3 cm的铁球熔化，重新铸成8个半径相同的小铁球。（1）原铁球的体积是多少？（2）每个小铁球的体积是多少？半径是多少？（球的体积公式：） 20. 计划用100块地板砖来铺设面积为16m2的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米？ 21. 已知第一个正方体纸盒的棱长是6cm，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个正方体纸盒的棱长