《微积分基本定理》微课教学设计.doc

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1、微积分基本定理微课教学设计项目 内容备注讲课内容所属学科数学一级讲课内容所属专业理工类专业及经管类专业讲课内容所属课程高等数学、微积分基础课讲课内容所属适用对象理工类专业及经管类专业的一年级本科生讲课内容类型新授课讲授类1. 教学目标1) 知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型、标准型以及推广型的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。2) 能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。3) 认知层面：体会重要极限三种形式（初始型

2、、标准型和推广型）实际是解决未定式型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。2 教学内容1) 重要极限公式的初始型、标准型及推广型。2) 重要极限公式初始型和标准型的证明。3) 未定式型的极限问题的解法。4) 重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。3 教学重点与难点1) 教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。2) 教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广 型的内涵；利用重要极限推广型求极限。处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌

3、握程度。 4 教学方法1) 动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。2) 通过师生互动激发学生的学习兴趣。5 教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。其主要内容是微分学和积分学。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的主要内容包括极限理论，而极限思想至始至终贯穿于微积分之中，微积分中许多重要的概念都是

4、用极限来定义的，如连续、导数、积分、级数等。可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量间依赖关系和函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位。微积分建立在初等数学之上能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因在于它引进了一个新的思想方法，即极限的思想方法。极限思想方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。极限思想方法，是微积分中一个重要的内容是应用微积分解决实际生活问题的重要思想来源。6 学生能力分析本课程是针对我校经济管理类专业大一学生开设的一门基础必修课。经济学与数学是有着十分密切关系的两个学科，经济学

5、中的很多经济现象经济理论都能够用数学知识去解释。现代化经济理论已经从过去的经济定性分析发展成为定量分析和定性分析相结合。微积分作为数学知识的基础，是学习经济学的必备知识。而经济学中的许多问题也是用微积分来解决的。极限概念是微积分中最基本的概念，微积分中大量的其它基本概念都是用极限概念来表达的。因此，用极限思想方法指导经济学中相关概念的学习，对于掌握经济学中的重要概念有很大的帮助。所以在微积分的第一章就介绍函数极限的基本概念以及求极限的方法，本次课是第一章关于函数极限理论中对一类幂指函数的极限求解提出了一个重要的方法，即一个重要极限。为了让经管类的学生直接感受到微积分中极限理论在经济学中的重要性

6、，同时也为了让理论应用用于现实生活，更容易让学生把握住问题方法及其本质，我们采用有趣的例题（一个关于利滚利的例子）引入新课，设立悬念，激发学生学习的主动性，在讲解完理论之后又回归到现实生活。时刻理论联系实际的授课方法会消除文字公式的生硬感，更易于学生理解，同时也培养了学生多从问题的本质来分析问题解决问题的能力。本部分的内容中的重要极限的结果是我们熟知无理数的由来，在讲解无理数的时候可以穿插数学史，增加授课的趣味性和生动性，同时提高学生学习数学的热情。7 设计思路1) 设计要点一 问题的引入通过介绍复利（利滚利）问题引入本课内容，一方面有助于引起学习兴趣，让学生认识到今天所讲的重要极限非常有意义

7、，从而激发其求知欲望。这时恰当把握时机，将求知欲望转为学习动力，完成从“现实问题”到“数学理论”的升华，从而引入重要的极限公式。另一方面通过介绍复利问题，使学生初步体会认识重要极限在经济学中的应用。设计依据：创设问题情境，引起注意和好奇心理，是激发学习动机，进行有效学习的重要因素。适当情景下的转折是提升课堂内容水平的关键。2) 设计要点二 重要极限初始型的证明对重要极限公式，通过对取一些特殊值，让学生体会数列取值的变化趋势，引导学生自主分析这种趋势并进行归纳，然后通过准则完成重要极限初始型的证明，从而完成从直观感觉到认知水平的升华。设计依据：学习的过程不仅仅简单掌握方法，更重要的是原有知识的重

8、新体认，是认知结构的重塑和提升。3) 设计要点三 重要极限推广型的推导利用对例题的极限求解推导出重要极限的推广型，从认知层面启发学生重要极限实质是解决未定式型的极限，完成从“具体问题”到“数学理论”的升华。通过这种方式的教学，在潜移默化中培养学生“透过现象看本质”的能力。设计依据：授课过程不仅要传授知识，而且要注重能力的培养。4) 设计要点四 重要极限的应用利用例题3推广出经济学中连续复利的数学模型，这与本节课问题的引入呼应，把引入的问题进行归纳和提升。设计依据：连续复利问题的解决过程遵循了“实际问题建立模型分析模型解决问题”的思维方式。通过这种方式的教学，在潜移默化中培养学生利用已有知识解决

9、现实问题的能力。8 教学模式问题导入启发思考共同分析构建知识知识应用。9 板书设计，参考文献见附件。10 教学过程教学步骤教学内容表达方式设计意图1提出问题，导入本课内容。一、引例：复利问题(3分钟)我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息，也就是利滚利。但是本利和的多寡，要看计息周期而定。以1元人民币本金为例，假设年利率为100%，以一年来说，可以一年只计息一次，那么一年之后的本利和就是1(本金)+1（利息）=2（元）；但是，也可以每半年计息一次，在保证年利率为100%的情况下，根据复利的计算公式，可得一年之后的本利和为：（元）；或者一月一次，同理可得一年之后的本利和为：

10、（元）；甚至一天一次等等。当然计息周期愈短，本利和就会愈高。提问：如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？即：利用多媒体课件，介绍问题的背景，用现实生活中的实际问题激发学生兴趣。2分析问题特征，在介绍准则的基础上解决重要极限初始型的证明。二、重要极限初始型的结果及其证明(12分钟)1 考察极限观察当时数列的变化趋势：12101000100001000001000000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.结论： 当无限增大时，是逐渐增大的，但是不论如何大，的值总不会超过3。将

11、极限过程图表化，在此过程中注意提醒学生数列的变化趋势。课件演示。2 解决问题的准备准则准则：单调有界数列必有极限。如果数列满足：，就称之为单调增加数列；若满足：，就称之为单调减少数列。同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。如果，使得：，就称数列有上界；若，使得：，就称数列有下界。准则：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 （以单调上升且有上界为例从几何意义上说明。）说明：1）由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限；2）根据准则只能判断极限存在, 无法求出极限值； 3）准则、可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。启发学生理

12、解准则的思想。课件演示。3 重要极限初始型的证明：设类似地，比较的展开式，可以看到除了前两项以外，的每一项都小于的每一项，且还多了最后一项，其值大于零，所以，由此说明数列是单调增加的，又因：这说明数列是有界的，由极限准则，知数列的极限存在，以数表示，即：说明：1）关于重要极限初始型存在性的证明，有多种不同的方法，希望同学自己看参考书数学分析(第一册)（徐森林、薛春华）；2）指数函数及自然对数中的底就是这个常数。启发学生思考重要极限证明方法。利用准则，分别证明数列的单调性和有界性，最后得出数列极限的存在性。课件演示。4 知识扩展：上面的极限是一个无理数，我们把它记为。无理数和无理数是两个非常传奇

13、的常数，对这方面有兴趣的同学可以在课后进行学习和研究。详细资料可参见的故事一个常数的传奇（作者Eli Maor，人民邮电出版社）和：世界上最神秘的数学（作者 A Ifred S. Posamentier和Ingmar Lehmann，吉林出版集团有限责任公司）。延伸课堂内容，供学有余力的同学拓展知识面。3提出重要极限的标准型，并分析此重要极限所包含的条件、目的和结果，并给出重要极限标准型的证明。利用典型例题巩固学生对标准型条件的理解和掌握。三、重要极限的标准型(13分钟)1 重要极限标准型的建立：将重要极限里面的正整数改为实数，即得到重要极限的标准型，即：问题：标准型极限过程与有什么不同？结论

14、：1）为实数，而为正整数；2）包含和两个方向，而只包含一个方向。上面的极限中的正整数改为实数会有同样的结论吗？2 重要极限标准型的证明：设 则且与同时趋于，因为 应用夹逼准则，即得 令 则时，.从而 综上可得： .小结：重要极限标准型的证明利用了以及上节课所学的准则，证明具有一定的难度！证明重要极限的标准型之前先复习上节课的准则（夹逼定理）然后利用准则证明之。这部分内容稍显枯燥，注意结合课件演示和板书。3 重要极限标准型所包含的条件和目的：条件：1）极限形式；2）括号里面是；3）括号外面即里面分式之分母。目的：求极限结果：摆脱实际问题背景，转化为幂指函数的极限问题。课件演示。4 典型例题：例题

15、1. 求解：原式 =说明：在讲解此题时要详细讲解重要极限标准型的三个条件，并且在讲解变量替换方法的时候，要放慢速度，让学生明白此法的实质，并由此引出重要极限推广型公式。学会利用重要极限的标准型求极限。在讲解此例题时注意重要极限标准型的三个必备条件。课件演示。4详细分析例题1，从而得出重要极限的推广型公式。并提升重要极限的真正内涵。四、重要极限的推广型(8分钟)1. 重要极限推广型的建立：思考： 我们在求解例题1的时候，在求解中得出为。采用的是一种高等数学一种重要的方法变量替换法，即令，因为当时，有，所以上面的极限可以化为，根据重要极限标准型的结论，我们可知极限为。这里面可以给我提供一个什么样的

16、思考？结论：其实我们知道，是的一个函数，上面的极限也可以写成，也就是说，只要关于函数，利用变量替换的方法，将其化成重要极限的标准型，可得极限为，也就是。而在我们写极限的时候极限过程往往是自变量的变化过程，所以由上式可得重要极限的推广型：，其中.由例题1思考出重要极限的推广型。要让学生明白推广型只要采取适当的变量替换之后其实就可以变成重要极限的标准型。这部分内容是课堂内容的升华。2. 重要极限推广型的真正内涵： 提问：，其中，这个推广型真正的内涵到底是求哪一类函数的极限？内涵：1）未定式的极限； 2）内外互为倒数（括号里面的分式与括号外的指数互为倒数，且括号里面的分式之前为“1+”）。推广型的本

17、质是求解一类幂指函数的极限。课件演示。3. 典型例题：例题2. 求 解：原式= 点评：通过上面的例题再次强调重要极限内涵以及在做题时怎么凑成内外（强调括号里面是“1+”的情况下内外的具体含义）互为倒数。提问：和，对吗？结论：都不对！它们两个都是未定式型，与我们这里所学的重要极限的内涵完全不一致！所以上面是两种错误的形式。 利用重要极限求未定式极限。从此例让学生领会“透过现象看本质”。课件演示。课堂练习：求 解：原式 点评：真正利用重要极限的推广型求未定式的极限时的关键是一个字“凑”，即怎么使得“内外互为倒数”。通过及时练习，巩固学生对重要极限内涵的理解。课件演示。5进一步学习重要极限在经济学中

18、连续复利的应用。从而得出一般的连续复利数学模型，并简单介绍连续复利模型的现实生活中的应用。五、重要极限在经济学中的应用(8分钟)例题3. 老张在银行存入本金为1万元，复利率为每年3.5%，试计算1年后老张在银行的存款额。 分析：在解题之前反问学生此题是不是非常容易？然后引导学生回忆此节课的引例使其较深入的思考此题。解：一年一次， （万）； 每半年复利一次，（万）； 每月复利一次，每天复利一次，小结：由上例得出年后连续复利的数学模型。即：点评：连续复利问题的数学模型在人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有很重要的实际意义。 例题4. 一机器原价值

19、100000元，不断变旧，每年减少价值0.9，求其10年后的价值。 中学做法: 10年后机器价值为： （元），未考虑连续复利，不科学。 大学做法： 解：根据连续复利数学模型，由题知： 。故10年后机器价值为： （元） 小结：利用连续复利数学模型求解例题4更加符合实际，也更科学。与引例呼应，强调重要极限在经济学中的重要应用！并介绍连续复利模型在现实生活中的应用。课件演示6通过小结，概述本课内容，并布置作业和预习任务。六、课堂小结和课下作业(1分钟)1. 小结：本节课通过复利问题引入了重要极限的初始型，然后分别得出重要极限的标准型和推广型，并且给出重要极限初始型和标准型的证明。重要极限的重要性主要

20、体现在以下三个方面：1）重要常数无理数的由来；2）未定式求极限的方法；3）重要极限在连续复利数学模型的应用。通过课堂总结，让学生对本节课内容形成整体认识。课件演示。2. 作业和预习要求：课后复习回顾本节内容，掌握有关概念，作业题： 2。并预习第七节：无穷小的比较。附件：1 板书设计参考文献：1) 同济大学数学系编. 高等数学（第六版）.高等教育出版社.2007年.2) 徐森林、薛春华编著.数学分析(第一册).清华大学出版社.2005年.3) 金圣才主编.复利数学.中国石化出版社.2009年.4) 以 Eli Maor著. e的故事一个常数的传奇.人民邮电出版社.2011年.5) 张青山主编.站在大学讲台上.北京理工大学出版社.2010年.一个重要极限的练习与测试题一、 填空题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 二、 计算题1、 2、3、 4、三、 应用题某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？练习与测试题参考答案一、 填空题1、2、3、4、5、6、7、8、二、 计算题1、解2、解.3、解 4、解 .三、 应用题解：设为发行时每份债券的价格,年利率为,年后每份债券一次偿还本息元,若以连续复利计算利息,则,即,得 (元).