【教学论文】巧用椭圆的定义解题【教师职称评定】 .doc
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1、巧用椭圆的定义解题江西省南康中学 王业明对于椭圆的定义,在解题时要充分加以利用,特别是有关椭圆上的点到焦点的距离或到准线的距离问题,应先考虑能否用椭圆的定义或结论来解决。如果运用恰当,往往可以使题目化繁为简,可收到事半功倍的效果。抓住圆锥曲线二种定义特征能够求轨迹方程、距离、最值等问题。一、轨迹问题例1、已知点是圆C:内的一定点,动圆M和圆C内切,且过点P,求圆心M的轨迹方程。解:设,以及两圆的切点为Q则由题意可知: =8则点M到两个定点、的距离之和为8(8)点M的轨迹是以P、C为焦点,以8为长轴长的椭圆c=3,a=4, =7圆心M的轨迹方程是二、最值问题例2 、 已知是定点,是椭圆上的动点,
2、、是椭圆的左、右焦点。FOyMB. x(1)求的最大值;(2)求的最小值; (3)求的最小值。解:由己知条件得,a=10,b=8,c=6, =2a=20,, 离心率,准线方程:.(1)=100当且仅当10时等号成立的最大值为100(2)作垂直右准线于,则,所以 于是=,当且仅当B、M、H三点共线时等号成立。 的最小值为(3) =-(-)=.当点在线段延长线与椭圆的交点处时,取最小值。 例3、 己知椭圆的焦点为、,且与直线有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程。解:设关于直线的对称点为,则FxyxxM ,解得 所以对称点,=,所求椭圆的长轴长度的最小值为,从而,.因此,所求椭圆的方程是.评述:(1)
3、涉及椭圆上的点到焦点的距离或到准线的距离问题,应先考虑能否用椭圆的定义或结论来解决;(2)圆锥曲线的两个定义是运用数形结合解决有关问题的重要依据。三、推导公式例4、设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆方程为上的一点,P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为和。求证:证明:由椭圆第二定义,得|PF1|=e=e, |PF1|= 又,|PF2|=e=e, |PF2|=,综上所述注意:|PF1|=,|PF2|=,称为椭圆的焦半径公式,焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.如例题2的第(1)小题就可以用焦半径公式:设M(x0,y0),则|MF1|=,|MF2|=()()=-0 -64100 的最大值为100评述:一般地,遇到点到椭圆焦点的距离问题,可采用“焦半径”公式处理。
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