第二章--分子动理学理论的平衡态理论课件.ppt

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1、2.1 分子动理学理论与统计物理学,分子动理学理论方法的主要特点是，它考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动及分子碰撞的详情。它的最终目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。,统计物理学是从对物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。,分子动(理学)理论是热物理学的微观理论基础。热物理学的微观理论包括分子动理学理论、统计物理学与非平街态统计三部分组成。,2.2 概率论的基本知识,对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法.,一、伽尔顿板实验,几乎

2、是完全确定的，即具有稳定的特性，只略有一些偏差。,以N1表示第一槽内的小球数，N2表示第二个槽内的小球数，Ni表示第i个槽内的小球数等等，则我们就得一组数 N1,N2,Ni,这组数给出了小球在槽内的分配情况，我们称为一种分布。,实验指出，只要小球的总数足够大，则每次所得的分布几乎相等，也即每个槽内的小球的数目与小球总数之比,2.2 概率论的基本知识,统计规律是对大量偶然事件的整体起作用的规律。统计规律有两个显著的特点，一个是它的稳定性，另一个是永远伴随着涨落现象。,由此可见，大量小球在各槽内的一组分布决不是偶然的，而是一个必然规律。这种由大量偶然事件的总体所服从的规律称为统计规律。,2.2 概

3、率论的基本知识,二、等概率性与概率的基本性质,1、概率的定义,2、等概率性,等概率性-在没有理由说明哪一事件出现的概率不同时,其概率都应相等。,在一定条件下，某一现象或某一事件可能也可能不发生，称这样的事件为随机事件。,一定条件下，在一系列可能发生的事件集合中，发生某一实践的机会或可能性，称为该事件的概率。,2.2 概率论的基本知识,互相排斥(简称互斥)的事件:An个事件，出现事件Al，就不可能同时出现事件A2，A3,An。例P.55,(2)、同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概率相乘法则。,互不相关事件(独立事件):事件A的发生与否，不会

4、因B事件是否已经发生过而受到影响.例P.55,3、概率的基本性质,(1)、n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和，简称概率相加法则。,2.2 概率论的基本知识,三、平均值,四、均方偏差,2.2 概率论的基本知识,相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。,五、概率分布函数,2.2 概率论的基本知识,在区间 有 个总点数为N，,表示在x 附近，单位区间分子数占总点数的概率（比率），令,2.2 概率论的基本知识,f(x)称为概率密度分布函数.,同理，在区间 有 个，单位面积点数占总点数的概率为,2.2 概率论的基本知识,少数分子无规律性,大量分子

5、的统计分布,分布函数所描写的系统必须是大数系统。,2.2 概率论的基本知识,2.3 麦克斯韦速率分布,一、分子射线束实验,James C.Maxwell(18311879),麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任职两年。1856年在苏格兰阿

6、伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室,1874年建成后担任这个实验室的第一任主任,直到1879年11月5日在剑桥去世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。,2

7、.3 麦克斯韦速率分布,分子速率分布图,为速率在 区间的分子数.,表示速率在 区间的分子数占总分子数的概率。,面积,2.3 麦克斯韦速率分布,上图折线变成光滑曲线，在,2.3 麦克斯韦速率分布,表示速率在 区间的分子数占总分子数的概率,根据概率的意义，应有关系,如果知道,我们就可以求得 之间的分子数,2.3 麦克斯韦速率分布,速率位于 区间的分子数,速率位于 区间的分子数占总数的百分比（概率）,2.3 麦克斯韦速率分布,麦克斯韦利用理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设,导出了理想气体分子在平衡态时按速度分布规律，然后得到理想气体分子按速率分布规律。,其中k为玻尔兹曼常量，m、T 分别为气体

8、分子质量及气体温度。,1、麦克斯韦速率分布,在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任意速率区间 分子数的比率为,二、麦克斯韦速率分布,2.3 麦克斯韦速率分布,麦氏分布满足归一化条件,2.3 麦克斯韦速率分布,2、三种统计速率,(1)、最概然速率,根据分布函数求得,气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多。,令,2.3 麦克斯韦速率分布,(2)、平均速率,(离散型),(连续型),2.3 麦克斯韦速率分布,2.3 麦克斯韦速率分布,(3)、方均根速率,2.3 麦克斯韦速率分布,3、三种速率的比较,2.3 麦克斯韦速率分布,2.3 麦克斯韦速率分布,三种速

9、率的使用,三种速率在不同的问题中各有自己的应用：在讨论速率分布，比较两种不同温度或不同分子质量的气体的分布曲线时常用到最概然速率；在计算分子平均自由程、气体分子碰壁数及气体分子之间碰撞频率时则用到平均速率；在计算子平均动能时用到方均根速率。,p.35曾经给出标准状态下氢分子方均根速率为1.84*103m/s,其平均速率1.70*103m/s,相差7.6%.,例题,2.3 麦克斯韦速率分布,2.4 麦克斯韦速度分布,一、速度空间,速度矢量,1、速度空间的代表点,2、速度空间的分布函数,2.4 麦克斯韦速度分布,麦克斯韦速度分布概率密度,在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任意速度

10、区间 内的分子占总分子数的比率为,二、麦克斯韦速度分布,2.4 麦克斯韦速度分布,介于 之间的分子数,有限速度区间的分子数,其中,2.4 麦克斯韦速度分布,Note:为了书写简单，作如下写法：,即,2.4 麦克斯韦速度分布,在实际问题中有时需计算气体分子速度分量(或速率)小于（或大于）某一给定值，或介于某一给定范围内的分子数。下面简单介绍利用麦克斯韦分布率处理这类文的方法。作为例子，我们讨论如何计算速度的x分量介于0到某一给定值vx范围内的分子数。,速度的x分量在区间 内的分子数为,三、相对于 的速度分布与速率分布,2.4 麦克斯韦速度分布,对于有限值积分作如下处理。令,定义,所以,误差函数,

11、2.4 麦克斯韦速度分布,同理，可得相对 的无量纲麦克斯韦速率分布规律,这是以最概然速率为单位的麦克斯韦速度分量分布规律。它是一个无量纲速度分量分布。,2.4 麦克斯韦速度分布,应用上式，可计算无量纲速率uu的气体分子数,当u=1时，,当u=2时，,当u=6时，,当u=28时，,2.4 麦克斯韦速度分布,在速度空间，分子速率介于 的分子数代表点府该都落在以原点为球心，v为半径，厚度为 的一薄层球壳中，如图所示，球壳的体积为，根据分子运动各向同性的假设，气体分子速度没有择优方向，在各个方向上应是等概率的，说明代表点的数密度D足球对称的，D仅是离开原点的距离v的函数。设代表点的数密度为D(v)，则

12、在球壳内的代表点数,四、从速度分布导出速率分布,2.4 麦克斯韦速度分布,由麦克斯韦速度分可知，位于速度空间，单位体积的分子数为,2.4 麦克斯韦速度分布,2.4 麦克斯韦速度分布,2.5 气体分子碰撞数及其应用,一、求单位时间内碰在单位面积上的总分子数,解,解,二、理想气体压强公式,解,2.5 气体分子碰撞数及其应用,器壁上有一个小孔，单位时间由单位面积泄出气体分子数，称为小孔泄流流量，记作,三、泻流,例题,2.5 气体分子碰撞数及其应用,2.6 玻耳兹曼分布,一、等温大气压强公式、微粒按高度分布,该系统达到平衡的条件为：,1、等温大气压强公式,2、等温大气标高,H称为大气标高,大气标高是粒

13、子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。,上式表明，大气分子的标高H与温度成正比，与分子量成反比，即温度愈高，分子愈轻，它们相对而言就愈多地分布在高层大气。这与上节讨论大气逃逸问题的物理图象是一致的。在登山运动和航空驾驶中，往往根据上式，从测出的压强变化估算上升的高度。,2.6 玻耳兹曼分布,1908年法国科学家Perrin首次观测到，1926年获得诺贝尔物理奖。,设每一个微粒的质量为m，体积为V，微粒的质量密度为。将其放在质量密度为 溶液中。微粒受力是,3、悬浮微粒按高度的分布,2.6 玻耳兹曼分布,在距转轴r出取dr一段气体作为研究对象,二、旋转体中微粒径

14、向分布,例题,2.6 玻耳兹曼分布,处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻尔兹曼分布，只要粒子之间相互作用很小而可予忽略。,三、玻耳兹曼密度分布,2.6 玻耳兹曼分布,速度分布与密度分布是相互独立的，以上两个分部可以相乘，组成分子在相空间的分布：,四、麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布,2.6 玻耳兹曼分布,位于 区间的分子数是,位于 区间的分子数是,玻尔兹曼密度分布：指数上的重力势能推广到一般势能，,麦克斯韦速度分布：指数上的平动动能推广到包括分子内部的转动能和振动动能,2.6 玻耳兹曼分布,2.7 能量均分定理,决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数

15、称为该物体的自由度数，简称自由度。,质点：i=3：P（x,y,z）3个平动自由度,过质心轴线AC方位：2个自由度,绕轴线AC转动得较位置：1个自由度,i=6:,质心C（xc，yc，zc）：3个平动自由度,一自由度,当物体受到约束，自由度减少,刚性分子的自由度数,2.7 能量均分定理,非刚性分子存在振动自由度：i=t+r+v,平动-t;转动-r;振动-v,2.7 能量均分定理,由 N 个原子组成的 分子的自由度 一般最多有3N个自由度，其中3个是平动自由度，3个转动自由度，其余3N-6个是振动自由度。基本形式：运动=平动+转动+振动自由度：i=t+r+v随某点平动：t=3 过该点轴的转动：r=3

16、其余为振动：v=3N-6,2.7 能量均分定理,理想有三个自由度，平动动能是在三个自由度上平分的，每一个自由度具有1/2kT。对于转动、振动自由度情况如何？根据经典统计物理学原理可以导出一个定理：,二能量按自由度均分定理（简称能量均分定理）,2.7 能量均分定理,对于振动能量，除动能外，还有由于原子间相对位置变化所产生的势能(注意：分子中原子间的势能与分子间的势能不同。理想气体不存在分子间互作用势能)。由于分子中的原子所进行的振动都是振幅非常小的微振动，可把它看作简谐振动。在一个周期内，简谐振动的平均动能与平均势能都相等：,所以对于每一分子的每一振动自由度，其平均势能和平均动能均为kT/2，故

17、一个振动自由度均分kT的能量，而不是kT/2。苦某种分子有t个平动自由度、r个转动自由度、v个振动自由度，则每一分子的总的平均能量为,2.7 能量均分定理,每一个分子的总的平均能量为：,1）、各种振动、转动自由度是指对能量均分定理作全部贡献的自由度。,2）、只有在平衡态下才成立。,3）、它是对大量分子统计平均所得结果能量按自由度的统计规律。,4）、它不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。,2.7 能量均分定理,刚性分子的平均动能,能量均分定理来自气体分子热运动的混沌性。,2.7 能量均分定理,1、热容定义：,2、理想气体的内能：,理想气体的等体热容：,对单原子理想气体摩尔内能,内能分子的动能与势能（分子内原子之间相互作用势能）的总和,三、理想气体的热容,2.7 能量均分定理,2.7 能量均分定理,固体中粒子（原子、离子或分子）没有平动与转动，只有振动。每一个粒子有三个相互垂直的振动自由度，所以,摩尔热容量,四、固体的热容、杜隆-珀替定律,2.7 能量均分定理,五、能量均分定理的局限 自由度的冻结,1、能量均分定理的局限,与实验结果相比,2.7 能量均分定理,2.7 能量均分定理,能量均分定理并不如想像的那么完美，它并不能应用于一切处于平衡态的理想气体分子。,与实验结果相比表明：,2.7 能量均分定理,精品课件！,精品课件！,2、自由度的冻结,2.7 能量均分定理,