第三节格林公式及其应用课件.ppt

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1、区域连通性的分类:,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,域 D 边界L 的正向:域的内部靠左,区域 D 分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,证明:,1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且,则,即,同理可证,、两式相加得:,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形

2、式的区域,如图,3)若D为复连通区域，这时可用光滑曲线将D分成若干个单连通区域从而变成(2)的情形.,见P203图11-11,G,F,由(2)知,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例1.圆,所围面积,二、简单应用:,类例见P204例1,1.计算平面面积:,2.简化曲线积分:,L,例4.计算,其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,由格林公式,有,3.简化二重积分:,解法一:,解法二:利用圆的参数方程转化为定积分计算,解法三：利用格林公式计算,例6.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式,得,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系:,3.格林公式的应用.,格林公式;,内容小结,