第四章导热问题的数值解法课件.ppt

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1、 4-0 引言,求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；(2)数值计算 法；(3)实验法 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之为数值解；,实验法。就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程进行实验求量的方法；2 三种方法的特点(1)分析法能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；局限性很大，对复杂的问题

2、无法求解；分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见,(2)数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点。适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低；(3)实验法:是传热学的基本研究方法。适应性不好；费用昂贵；常用的数值解法包括：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、边界元法（boundary-element）、分子动力学模拟（MD）,4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立,物理问题的数值求解过程,二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题,2 例题条件,3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长,二维

3、矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题,4 建立离散方程的常用方法：,(1)Taylor（泰勒）级数展开法；(2)多项式拟合法；(3)控制容积积分法；(4)控制容积平衡法(也称为热平衡法),（1）Taylor（泰勒）级数展开法,若取上面式右边的前三项，并将式和式相加移项整理即得二阶导数的中心差分：同理可得：,截断误差未明确写出的级数余项中的X的最低阶数为2,对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其节点方程为：,(2)控制容积平衡法(热平衡法),基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能

4、量守恒和Fourier导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的量即：单位：,即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量,注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用,稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量0,内部节点：,以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：,注意：各项热流量都以导入元体（m,n）的方向为正。,用差分代替微分，有,（）,节点越多，越小，越接近。,内热源：,二维导热区域为单位厚度,时：,由于,即有,当,有,整理得,若无内热源，则由上式,可得：,说明：所求节点的温度前的系数等于其他所有

5、相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但不包括热流(或热流密度)前的系数。,4-2 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解,对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用表示内热源强度。,1.边界节点离散方程的建立：,(1)平直边界上的节点,(2)外部角点,(3)内部角点,Qw 的情况：(1)第二类边界条件：将，带入上面各式即可（绝热或对称边界条件）？第三类边界条件：将，带入上面各式即可,作业：（1）将 带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式（2）(4-6)；(4-9),(3)辐射边界条件：,