第一章乘法公式与多项式课件.ppt

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1、第一章乘法公式與多項式,乘法公式多項式與四則運算,和的平方公式差的平方公式平方差公式三數和的平方公式,乘法公式,過年有沒有吃太飽而沒動腦現在來動一下已經生鏽的腦子吧動腦一：有沒有辦法快速算出下列的計算題1.95 x 95=?2.40.7 x 39.3=?3.504 x 504=?,回單元選單,乘法公式,有點疑問 說：,為什麼要學這個？,很厲害的北鼻 說：,因為可以讓複雜的計算變的很EASY阿_,有點疑問 說：,那一定很難Orz,很厲害的北鼻 說：,超簡單的拉比你想的簡單一萬倍,回單元選單,主題一：乘法對加法的分配律,乘法公式,熱身知識一,a,a,邊長為a的正方形面積表示為,回單元選單,乘法公式

2、,熱身知識二,a,b,長方形的寬為b，長為a則面積表示為,或,（因為乘法有 律）,交換,回主題一,乘法公式,練習：右圖長方形面積要如何表示,2,a,b,=,2b+ab,2b,ab,回主題一,乘法公式,聰明的你，再問你兩個問題,問題一：a(b+c)=?,a,b,c,a(b+c),=ab+ac,ab,ac,這就是乘法的分配律,回主題一,乘法公式,問題二：兩個長為a，寬為b的長方形面積該如何表示？,b,b,a,a,2 x(ab),=,=2ab,2a,=2a x b,=2ab,回主題一,乘法公式,隨堂練習,a,a,b,a,a,b,a,面積,X（）,a,a,b,回主題一,乘法公式,動腦時間,問題一如果a

3、、b所代表的數為負數時，那麼ab=ba成立嗎？,會成立,因為正負數不影響乘法的交換律EX:2 x(-1)=(-1)x 2=-2,回主題一,乘法公式,動腦時間,問題二如果a、b、c所代表的數為負數時，那麼a(b+c)=ab+ac成立嗎？,會成立,因為正負數不影響乘法的分配律EX:-2 x(1+3)=(-2)x 1+(-2)x 3=-8,回主題一,乘法公式,活動來也,用圖觀察(a+b)(c+d)=,a,b,c,d,ac,bc,ad,bd,ac+ad+bc+bd,回主題一,乘法公式,想一想：如果a、b、c、d之中有負數時(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd是否會成立呢？,會成立原因請看下一頁

4、,回主題一,乘法公式,(a+b)(c+d),=(a+b)c+(a+b)d,=c(a+b)+d(a+b),=ca+cb+da+db,=ac+ad+bc+bd,箭頭即表示乘法的分配律，之前也討論過此問題，而我們知道負數不會影響此結果，所以負數也不影響這個結果。,回主題一,乘法公式,例題1,利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，計算下列各式,(1),(2),9.9 x 20.2,=10+(-0.1)(20+0.2),=10 x20+10 x0.2+(-0.1)x20+(-0.1)x0.2,=200+2-2-0.02,=199.98,回主題一,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,(1),(2)

5、,回主題一,乘法公式,主題二：乘法公式,和的平方公式差的平方公式平方差公式三數和的平方公式,回單元選單,乘法公式,思考：如果不把1012直接計算，則可以用什麼比較方便的作法呢？,畫個圖看看,100,1,1,100,可以變成1002、100、100、1,1002,100,100,1,回主題二選單,乘法公式,使用同樣的方法用圖來表示(a+b)2,a,b,a,b,a2,ab,ab,b2,=(a+b)2,=a2+ab+ab+b2,=a2+2ab+b2,回主題二選單,回和的乘法公式,乘法公式,由剛剛的結果我們得到(a+b)2a2+2ab+b2,此公式稱為 和的平方公式,如果使用 箭頭的方法 會得到,(a

6、+b)(a+b),=a2+ab+ba+b2,=a2+2ab+b2,由上式知道，a、b其中為負數時也成立,=a(a+b)+b(a+b),=(a+b)a+(a+b)b,回主題二選單,回和的乘法公式,乘法公式,例題2如果將和的平方公式中的a、b分別用x、y代入，可以寫成什麼樣的式子呢？,解：,和的平方公式,(a+b)2=a2+2ab+b2,(x+y)2=x2+2xy+y2,回主題二選單,回和的乘法公式,乘法公式,例題3利用和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2計算下列各式,(1)5042,=(500+4)2,=5002+2x500 x4+42,=250000+4000+16,=254016,將

7、a看成500，b看成4,(2)(20.3)2,=(20+0.3)2,=202+2x20 x0.3+(0.3)2,=400+12+0.09,=412.09,將a看成20，b看成0.3,(3),=,=,=,=,將a看成10，b看成,回主題二選單,回和的乘法公式,乘法公式,動動腦計算5042時，若不拆成(500+4)2來算，而拆成其他兩數的和（例如(304+200)2）來算，結果一樣嗎？你認為哪一種拆法比較好？,回主題二選單,回和的乘法公式,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,1.利用和的平方公式計算下列各式,2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式,(1)(2)(3)6012(5.2)2,

8、(1),(2),(p+q)2=p2+q2,(3),(6+7)2=62+2x6x7+72,(4),(m+n)2=m2+2xmxn+n2,回主題二選單,回和的乘法公式,乘法公式,思考：根據之前和的平方公式，我們採用了面積和的方式來導出。想想看，是否可以用類似的方法將(a-b)2=a2-2ab+b2,a,a,a-b,b,b,a-b,a2,-ab,-ab,+b2,=a2-2ab+b2,=(a-b)2,藍色面積=,回主題二選單,乘法公式,如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法）,(a-b)x(a-b)=,(a-b)a-(a-b)b,=a(a-b)-b(a-b),=a2,-ab,-ba,+b2,=a2-2ab

9、+b2,=(a+b)2=a2-2ab+b2,差的平方公式,回主題二選單,回差的乘法公式,乘法公式,例題4如果將差的平方公式中的a、b分別用x、y代入，可以寫成什麼樣的式子呢？,解：,差的平方公式,(a-b)2=a2-2ab+b2,(x-y)2=x2-2xy+y2,回主題二選單,回差的乘法公式,乘法公式,例題5利用差的平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2計算下列各式,(1)1992,=(200-1)2,=2002-2x200 x1+12,=40000-400+1,=39601,將a看成200，b看成1,(2)(29.8)2,=(30-0.2)2,=302-2x30 x0.2+(0.2)2,=

10、900-12+0.04,=888.04,將a看成30，b看成0.2,(3),=,=,=,=,將a看成12，b看成,回主題二選單,回差的乘法公式,乘法公式,動動腦計算1992時，若不拆成(200-1)2來算，而拆成其他兩數的和（例如(300-101)2）來算，結果一樣嗎？你認為哪一種拆法比較好？,回主題二選單,回差的乘法公式,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,1.利用差的平方公式計算下列各式,(1)(2)(3)4992 9982,2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式,(1)(7-2)2=72-22(2)(p-q)2=p2-q2(2)(8-4)2=82-2x8x4+42(4)(m-n

11、)2=m2-2mn+n2(5)(9-3)2=92-2x9x3-32(6)(h-k)2=h2-2hk-k2,回主題二選單,回差的乘法公式,乘法公式,注意囉！,和的平方公式是(a+b)2而不是a2+b2喔,差的平方公式是(a-b)2而不是a2-b2喔,搞錯的罰寫100次,回主題二選單,回差的乘法公式,乘法公式,觀察一下藍色面積的變化,a,a,b,b,a2,-b2,a-b,a-b,a,a-b,b,a+b,=,(a+b),(a-b),回主題二選單,乘法公式,如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法）,(a-b)x(a+b)=,(a-b)a+(a-b)b,=a(a-b)+b(a-b),=a2,-ab,+ba,

12、-b2,=a2-b2,=(a+b)(a-b)=a2-b2,平方差公式,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,再來複習一次,和的平方公式,(a+b)2=a2+2ab+b2,差的平方公式,(a-b)2=a2-2ab+b2,平方差公式,(a+b)(a-b)=a2-b2,很簡單的，你記起來了嗎？,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,例題6如果將平方差公式中的a、b分別用x、y代入，可以寫成什麼樣的式子呢？,解：,平方差公式,(a+b)(a-b)=a2-b2,(x+y)(x-y)=x2-y2,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,例題7利用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2計算下列各式,

13、(1)203x197,=(200+3)(200-3),=2002-32,=40000-9,=39991,將a看成200，b看成3,(2),=,=,=,=,將a看成90，b看成,(3)40.7x39.3,=(40+0.7)(40-0.7),=402-(0.7)2,=1600 0.49,=1599.51,將a看成40，b看成0.7,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,動動腦計算203x197時，若不拆成(200+3)(200-3)來算，可以找到其他兩個相加為203、相減為197的數嗎？,試著用學過的二元一次聯立方程式去算算看吧,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,利用

14、平方差公式計算下列各式,(1)(2)(3)301x299 10.5x9.5,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,由剛剛的練習，我們使用的都是(a+b)(a-b)得到a2-b2的結果來運算。,我們也可以從相反的方向來簡化我們的算式 a2-b2=(a+b)(a-b),回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,例題8利用和的平方公式 a2-b2=(a+b)(a-b)計算下列各式,=201x1,=(101+100)(101-100),(1)1012-1002,=201,將a看成101，b看成100,=338x100,=(219+119)(219-119),(2)2192-1192,=33800,將a

15、看成219，b看成119,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,利用a2-b2=(a+b)(a-b)計算下列各式,(1)(2)642-362 9972-9962,回主題二選單,回平方差的公式,乘法公式,我們之前已經學過和的平方公式現在是否能用圖面積的方式來求出(a+b+c)2的公式,a,a,b,b,c,c,a2+2ab+b2,a2,b2,ab,ab,ac,ac,bc,bc,c2,+2ac,+2bc,+c2,=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,=(a+b+c)2,回主題二選單,乘法公式,使用乘法分配律來看(箭頭方法),(a+b+c)2=(a+b+c),(a+b+c

16、),=(a+b+c)a,+(a+b+c)b,+(a+b+c)c,=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c),=a2,+ab,+ac,+ba,+b2,+bc,+ca,+cb,+c2,=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 三數和的平方公式,回主題二選單,回三數平方和的公式,乘法公式,例題9乘開化簡(x+y+1)2,(x+y+1)2=(x+y+1)(x+y+1),=x(x+y+1)+y(x+y+1)+1(x+y+1),=x2,+xy,+x,+yx,+y2,+y,+x,+y,+12,=x2+y2+1+2xy+2x+2y,利用

17、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac代入,將a看成x、b看成y、c看成1,=,(x+y+1)2=x2+y2+12+2xy+2y+2x,回主題二選單,回三數平方和的公式,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,乘開化簡下列各式,(1)(2)(a+b+2)2(2x+y+1)2,回主題二選單,乘法公式,例題10利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下列各式的值,(1)252+402+352+2x25x40+2x40 x35+2x25x35,=(25+40+35)2,=1002,=10000,(2)1992+1192+(-18)2+2x199x119+2x11

18、9x(-18)+2x199x(-18),=199+119+(-18)2,=3002,=90000,其實複雜的計算也可以很簡單.,回主題二選單,乘法公式,換你們表現了隨堂練習,利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下列各式的值,(1)1522+262+722+2x152x26+2x26x72+2x152x72,(2)(-257)2+992+(-42)2+2x(-257)x99+2x99x(-42)+2x(-257)x(-42),回主題二選單,回三數平方和的公式,乘法公式,重點整理,1.乘法對加法的分配律,(a+b)(c+d)=,ac+ad+bc+bd,2.和的平方公式,(a+b)2=,a2+2ab+b2,(a+b+c)2=,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3.差的平方公式,(a-b)2=,a2-2ab+b2,4.平方差公式,(a+b)(a-b)=,a2-b2,要熟記喔！,回主題二選單,回三數平方和的公式,