第一章函数极限连续课件.ppt

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1、第一章,不等式（组）的解法,预备知识：不等式同解原理 ab，则a+cb+c；c0，ab时，则acbc；cb时，则ac0，则不等式x|a的解集为x|xa,或x-a；不等式x|a的解集为x|-a xa 要注意这些基本知识的应用条件，若条件不满足，它就是一个分类的标准。,【例】解不等式：|x-5|-|2x+3|1原不等式等价于：或 或从而得原不等式的解集为：,【例】解不等式：|x-5|-|2x+3|1原不等式等价于：,2、指数函数、对数函数的解法当a1时，指数函数 对数函数当0a1时，指数函数 对数函数,【例】解不等式：解：原不等式等价于原不等式的解集为：原不等式的解集为：,3、高次不等式、分式不等

2、式解法数轴标根法,一元高次不等式的一般方法：,一般步骤如下：,（2）把不等式看成方程，求出所有的根；,（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域,（5）注意关键点,一般步骤如下：,一般步骤如下：,一般步骤如下：,（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域,一般步骤如下：,一般步骤如下：,一般步骤如下：,一般步骤如下：,一般步骤如下：,（3）把根在数轴上从右上方起按大小标出；,一元高次不等式的一般方法：,一般步骤如下：,一元高次不等式的一般方法：,一般步骤如下：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方

3、法：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方法：,一元高次不等式的一般方法：,（1）将不等式化为一边为零，然后因式分解：分解成若干个一次因式的连乘，并保证所有一次项系数为正；,【高次不等式的练习】,“或”,什么叫作分式不等式呢？,解分式不等式的一般方法：,一般步骤如下：,（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；,（2）等价转化为整式不等式，因式分解，注意一次项系数为正；,（3）标根法。借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；,（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域，,（5）注意关键点。,等价转化为

4、整式不等式,等价于解不等式解集为,等价于解不等式且 解集为,【解分式不等式】,等价转化的思想：可以把分式不等式等价转化为一元高次的不等式情况进行求解。但是要注意转化的等价性！,【练习】,不等式组的解法：分别求出不等式组中的每个不等式的解集，然后求其交集，即为这个不等式组的解集。（在求交集的过程中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取他们的公共部分。）注意：求解函数定义域、值域的题型均可归结为求解不等式组的解集。,极限与连续,1、无穷小量和无穷大量的相关知识,极限为0 的量称之为无穷小量。注意，它不是很小的量。极限为的量称之为无穷大量。注意：无穷大量属于极限不存在之例，之所以还用极限的记号

5、，是因为无穷大量当xx。时具有按绝对值无限增大的趋势，故以符号“”作为它的极限，但不是一个实数。,无穷小量的性质：1.有限多个小无穷小量之和仍是无穷小量。2.有限多个无穷小量之积仍是无穷小量，事实上由极限的性质可得。3.无穷小量与有界之积仍是无穷小量。无穷大量的性质：1.有限个无穷大量之积仍是无穷大量；2.无穷大量与有界量之和仍是无穷大量。无穷小量和无穷大量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量(当x充分接近x。时不等于0)的倒数为无穷大量。,什么叫“等价的无穷小（大）量”？,如果两个无穷小量相比之后的极限为1，则这两个无穷小量称之为“等价的无穷小量”。同理，如果两个无穷大量相比之后的极限

6、为1，则这两个无穷大量称之为“等价的无穷大量”。,特殊的需要记熟的等价无穷小量：x0时，,无穷小量的比较：,，则称 低阶的无穷小。,【课堂练习】,书P14选择题（3）（5）（6）,2、一般极限类题型的解题步骤：,观察需求解极限函数的形式,x的极限值带入，分母不为0,1、整式函数,直接带入X的极限值求解,2、有理分式函数（不带根号）,直接带入X的极限值求解。但也有特殊情况，当分子分母极限均为时，要用第4种解法。,x的极限值带入，分子、分母都为0,x的极限值带入，分母不为0,3、无理分式函数（带根号）,化简约分后将X的极限值带入，取得极限,若分子或分母为a+b型，则分子分母同乘ab型,直接带入X的

7、极限值求解,x的极限值带入，分子、分母都为0,划去函数分子、分母的通项，再带入X的极限值求解,x的极限值带入，分子不为0、分母为0,利用无穷小量与无穷大量的关系可知，分式的极限为0,我们经常使用的主要是它们的变形,4、型如：,5、利用两个重要极限定理求极限,观察需求解极限函数的形式,观察需求解极限函数的形式,6、利用无穷小（大）量性质法,7、分段函数,利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质,(M为正整数)则：,利用无穷小量与无穷大量的关系：互为倒数。,等价无穷小代换法,设,注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，

8、往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”,用左极限与右极限关系，以及用定义求极限等情形，适用于求分段点处的极限。若想极限存在，左极限=右极限,【课堂练习】,书P8-24例题,连 续,则称函数 y=f(x)在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y=f(x)的连续点.,1、若,2、函数 y=f(x)在 x0 处连续的充要条件为：,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续此定理常用于分段函数的相关计算。,3、零点定理若 f(x)在 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0，,则至少存在一个 c(a,b)，使得 f(c)=0.,应用：由零点定理推算实根，例题可见书P21-3（3）,【课堂练习】,书P18-19例题,