第三章--空间向量与立体几何--章末复习课.docx

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1、学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb ，kR线面平行laa0面面平行vkv，kR线线垂直lmabab0线面垂直laak，kR面面垂直vv0线线夹角l，m的夹角为(0)，cos 线面夹角l，的夹角为(0)，sin 面面夹角，的夹角为(0)，cos 知识点二

2、用坐标法解决立体几何问题的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论关键点如下：(1)选择恰当的坐标系坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程(2)点的坐标、向量的坐标的确定将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题(3)几何问题与向量问题的转化平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键类型一空间向量及其运算例1 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C

3、、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的序号是_答案解析容易推出：0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则运算律及其几何意义跟踪训练1平行六面体A1B1C1D1ABCD，M分成的比为，N分成的比为2，设a，b，1c，试用a、b、c表示.解如题图，连接AN，则，由已知ABCD是平行四边形，故ab，又(ab)由已知，N分成的

4、比为2，故(c2b)于是(ab)(c2b)(abc)类型二利用空间向量证明空间中的位置关系例2如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.求证：(1)BC1AB1； (2)BC1平面CA1D.证明如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1，1,2)(1)由于1(0，2，2)，1(2,2，2)，因此110440，因此11，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，

5、连接DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又1(0，2，2)，所以1，又ED和BC1不共线，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.反思与感悟(1)证明线与面的平行与垂直：如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，且直线不在该平面内，那么这条直线就与该平面平行如果直线的方向向量与平面的一个法向量共线，则直线与平面垂直(2)证明面与面的平行与垂直：如果两个不重合平面的法向量互相平行，那么这两个平面互相平行，法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直跟踪训练2正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.

6、证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F.(1,0,0)1，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由得令y11，得m(0,1，2)又由得令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.类型三利用空间向量求角例3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理

7、由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.反思与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：

8、两异面直线所成角范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角跟踪训练3如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点(1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面

9、角的余弦值方法一(1)证明如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DFCD.由四边形ABCD是矩形得，ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过B点作BQEC.因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)因为AB平面BEC，所以

10、(0,0,2)为平面BEC的法向量设n(x，y，z)为平面AEF的法向量又(2,0，2)，(2,2，1)，由得取z2，得n(2，1,2)从而|cosn，|，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.方法二(1)证明如图，取AB中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.(2)同法一1下列各组向量

11、中不平行的是()Aa(1,2，2)，b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16,24,40)答案D解析A：b2aab；B：d3cdc；C：而零向量与任何向量都平行2若A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A不等边锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形答案A解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3,1)，0得A为锐角；0，得C为锐角；0，得B为锐角；又|，所以为不等边锐角三角形3.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是B

12、C的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为()A. B. C. D.答案D解析以点A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1ABAC2，则(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，(1,0,2)，所以0，又异面直线所成的角为锐角或直角，所以QP与AM所成角为.4已知a，b，c是空间的一组基底，设pab，qab，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是()Aa BbCc D以上都不对答案C解析a，b，c不共面，ab，ab，c不共面，p，q，c可构成空间的一个基底5已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1

13、,1,1)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_答案xyz0解析e(x，y，z)(1,1,1)xyz0.(1)理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、数量积的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式，利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或三点共线，可以转化为证ab(b0)ab；(2)证明线线垂直，转化为证abab0，若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则转化为证x1x2y1y2z1z20；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为aa|a|2，或利用空

14、间两点间的距离公式；(4)在求异面直线所成的角或线面角及二面角时，转化为计算向量的夹角，即利用公式cosa，b，但需注意a，b与所求角的关系(2)利用空间向量解决立体几何中的平行问题证明两条直线平行，可转化为证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线证明线面平行的方法a证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内b证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内c利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量同时要注意强调直线不在平面内(3)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和

15、垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算(4)空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解一、选择题1在下列三个命题中，真命题的个数是()若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0 B1 C2 D3答案C解析易知为真命题；中，由题意得a，b，c共面，故为假命题故选C.

16、2在正方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且a，b，则等于()Aab BabC.ab D2(ab)答案A解析ab.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于()A. B. C. D.答案B解析如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，0)，(1,1,1)，(1，0)cos，sin，.4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，是()A有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量答案C解析因为，且，所以，即，又与不共线，所以，三向量共面5同时垂直于a(2,2

17、,1)，b(4,5,3)的单位向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)或(，)答案D解析设所求向量为c(x，y，z)，由ca0及cb0及|c|1得检验知选D.6已知a(2,1,3)，b(3，4,2)，c(7，5)，若a，b，c平行，则实数等于()A. B C. D答案D解析易得ctab(2t3，t4，3t2)，所以解得故选D.7.如图所示，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记a，b，c，则等于()AabcBabcC.abcDabc答案B解析连接AE，E是CD的中点，b，c，()(bc)，在ABE中，且a，a(bc)abc.二、填空题8已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|的值

18、为_答案解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14，故|a2b3c|.9已知a(3，2，3)，b(1，x1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_答案(2，)(，)解析因为a与b的夹角为钝角，于是1cosa，b0，因此ab0，且a与b的夹角不为，即cosa，b1，解得x(2，)(，)10.如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是_答案解析如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，(4,4,0)，(0,4，2)，cos，所以

19、异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.三、解答题11.如图所示，在四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD，求证：PABD.证明，()()22|2|cos 1200.，即PABD.12.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，当的值等于多少时，能使A1C平面C1BD?解不妨设x，CC11，使A1C平面C1BD.则A1CC1B，A1CC1D，而，由0，得()()220，注意到，可得方程1x20，解得x1或x(舍)，因此，当1时，能使A1C平面C1BD.13.如图所示，已知PA平面ABCD，ABCD

20、为矩形，PAAD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.证明如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，设PAADa，ABb.(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M(，0,0)，N(，)所以(0，)，(0,0，a)，(0，a,0)，所以，又因为MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)可知，P(0,0，a)，C(b，a,0)，M(，0,0)，D(0，a,0)所以(b，a，a)，(，0，a)，(0，a，a)设平面PMC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以令z1b，则n1(2a，b，b)，设平面PDC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以令z21，则n2(0,1,1)因为n1n20bb0，所以n1n2，所以平面PMC平面PDC.