2000考研数学三历真题及真题解析.doc

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1、研究生入学考试2000到2013年数学三考试试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2003年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为_.（3）设a0，而D表示全平面，则=_.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵 ， ，其中A的逆矩阵为B，则a=_.（5）设随机变量X 和Y的相关系数

2、为0.9, 若，则Y与Z的相关系数为_.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零.(C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导

3、数不存在. （3）设，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. （4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. （5）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

4、（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. 三、（本题满分8分）设 试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分）计算二重积分 其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；

5、(2) 求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组 其中 试讨论和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数. 求随机

6、变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 ，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若，则_，_.(2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且，则_.(3) 设 则_.(4) 二次型的秩为_.(5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则_.(6) 设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和分别是来自总体和的简单随机样本，则_.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出

7、的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数在下列哪个区间内有界. （A） （B） （C） （D）(8) 设在内有定义，且， 则（A）必是的第一类间断点 （B）必是的第二类间断点（C）必是的连续点 （D）在点处的连续性与的值有关.(9) 设，则（A）是的极值点，但不是曲线的拐点（B）不是的极值点，但是曲线的拐点（C）是的极值点，且是曲线的拐点（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点(10) 设有以下命题： 若收敛，则收敛 若收敛，则收敛 若，则发散 若收敛，则，都收敛则以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D）(11) 设在上连续，且，则下列结论中

8、错误的是（A）至少存在一点，使得（B）至少存在一点，使得（C）至少存在一点，使得（D）至少存在一点，使得(12) 设n阶矩阵与等价，则必有（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，(13) 设n阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于（A） （B） （C） （D）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1

9、5）（本题满分8分）求.（16）（本题满分8分）求，其中是由圆和所围成的平面区域（如图）. （17）（本题满分8分）设在上连续，且满足，证明：.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量. （）求需求量对价格的弹性； （）推导（其中为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数的和函数为.求：（）所满足的一阶微分方程； （）的表达式.（20）（本题满分13分）设，. 试讨论当为何值时， （）不能由线性表示； （）可由唯一地线性表示，并求出表示式； （）可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）

10、设n阶矩阵. （）求的特征值和特征向量； （）求可逆矩阵，使得为对角矩阵.（22）（本题满分13分）设为两个随机事件，且，令 求：（）二维随机变量的概率分布； （）与的相关系数； （）的概率分布.（23）（本题满分13分）设随机变量的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简单随机样本. （）当时，求未知参数的矩估计量； （）当时，求未知参数的最大似然估计量； （）当时，求未知参数的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限_.(2) 微分方程满足初始条件的特解为_.(3) 设二元函数

11、，则_.(4) 设行向量组线性相关，且，则_.(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则_.(6) 设二维随机变量的概率分布为 0100.4a1b0.1 若随机事件与相互独立，则_，_.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点.（A）2 （B）4 （C）6 （D）8(8) 设，其中，则（A） （B） （C） （D）(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是（A）收敛，发散 （B）收敛，发散（C）收敛 （D）收敛(10) 设，下列命题

12、中正确的是（A）是极大值，是极小值 （B）是极小值，是极大值（C）是极大值，也是极大值 （D）是极小值，也是极小值(11) 以下四个命题中，正确的是（A）若在内连续，则在内有界（B）若在内连续，则在内有界 （C）若在内有界，则在内有界 （D）若在内有界，则在内有界(12) 设矩阵满足，其中为的伴随矩阵，为的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为（A） （B）3 （C） （D）(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是（A） （B） （C） （D）(14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位

13、置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求.（16）（本题满分8分）设具有二阶连续导数，且，求.（17）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分9分）求幂级数在区间内的和函数.（19）（本题满分8分）设在上的导数连续，且.证明：对任何，有（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（） 和 （）同解，求的值.（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中分别为m阶，n阶对称矩阵，为阶矩阵. （）计算，其中； （）利用（）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量的概率密度为求：（）的边缘概率密度； （）的概

14、率密度； （）.（23）（本题满分13分）设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，记. （）求的方差； （）求与的协方差； （）若是的无偏估计量，求常数.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.(1) (2) 设函数在的某邻域内可导，且，则(3) 设函数可微，且，则在点(1,2)处的全微分(4) 设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .(5)设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_.(6) 设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个

15、选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则（）(A) . (B) .(C) . (D) . (8) 设函数在处连续，且，则（）(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 (9) 若级数收敛，则级数（）(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. (10) 设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）(A) . (B) . (C) . (D) (11) 设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若，则.

16、 (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. (12) 设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是（）(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. (13) 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）(A) . (B) .(C) . (D) . (14) 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且则必有（）(A) (B) (C) (D) 三、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分） 设，求：()；(

17、)。（16）（本题满分7分）计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域。（17）（本题满分10分） 证明：当时，（18）（本题满分8分） 在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）。（）求的方程；（）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。（19）（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数。（20）（本题满分13分）设4维向量组问为何值时线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解。（）求的特征值与特征向量；（）求正交矩阵

18、和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵。（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数。（）求的概率密度；（）；（）。（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数。（）求的矩估计；（）求的最大似然估计。2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1) 当时，与等价的无穷小量是（）（A） （B） （C） （D）(2) 设函数在处连续，下列命题错误的是（

19、）（A）若存在，则 （B）若存在，则（C）若存在，则存在 （D）若存在，则存在(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是（）（A） （B）（C） （D）(4) 设函数连续，则二次积分等于（）（A） （B）（C） （D）(5) 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）（A）10 （B）20 （C）30 （D）40(6) 曲线渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(7) 设向量组,线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）， ， (

20、B) ， （C） (D) (8) 设矩阵，则A与B（）（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）（A） (B) (C) (D) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为（）（A） (B) (C) (D) 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11) .(12) 设函数，则.(13) 设是二元可微函数，则_.(14) 微分方程满足的

21、特解为_.(15) 设距阵则的秩为_.(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为_.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性。（18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分其中。（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明：（）存在使得；（）存在使得。（20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。（21）（本题满分11分） 设线性方程组与方程 有公共解，求的值

22、及所有公共解。（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量。记，其中E为3阶单位矩阵。（）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（）求矩阵B。（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（）求；（）求的概率密度。（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值。（）求参数的矩估计量；（）判断是否为的无偏估计量，并说明理由。2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内

23、.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）（A）跳跃间断点. （B）可去间断点.（C）无穷间断点. （D）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ） （A）曲边梯形面积.（B） 梯形面积. （C）曲边三角形面积.（D）三角形面积.（3）已知，则（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在，不存在 （D），都不存在（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ） （A） （B） （C） （D）（5）设为阶非0矩阵，为阶单位矩阵，若，则（ ）（A）不可逆，不可逆.（B）不可逆，可逆.（C）可逆，可逆.（D）可逆，不可逆. （6）设则在实数域上域与合同的矩

24、阵为（ ）（A）. （B）.（C）. （D）. （7）随机变量独立同分布，且分布函数为，则分布函数为（ ）（A）. （B）.（C）. （D）. （8）随机变量，且相关系数，则（ ）（A）.（B）.（C）. （D）. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 . （10）设，则.（11）设，则.（12）微分方程满足条件的解是.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，为3阶单位矩阵，则.（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

25、.(15) （本题满分10分）求极限.(16) （本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（）求（）记，求.(17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数，（）证明对任意的实数，有；（）证明是周期为2的周期函数(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设元线性方程组，其中，（）求证行列式;（）为何值时，该方程组有唯一解，并求；（）

26、为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。（21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，（）证明线性无关；（）令，求.（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（）求；（）求的概率密度（23） （本题满分11分）设是总体为的简单随机样本.记，.（）证明是的无偏估计量.（）当时，求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3

27、. (D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B），. (C)，. （D），.（3）使不等式成立的的范围是(A).(B). (C). (D).（4）设函数在区间上的图形为1-2O23-1 1则函数的图形为(A)O231-2-11 (B)O231-2-11(C)O231-11 (D)O231-2-11（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为(A). (B). (C). (D).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A). (B). (C). (D).（7）设事件与事件B互不相容，则(A). (B). (C). (D).（8）设随机变量与相互

28、独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .（10）设，则 .（11）幂级数的收敛半径为 .（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设,，若矩阵相似于，则 .(14) 设，,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或

29、演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设,.（）求满足，的所有向量，.（）对（）中的任意向量,，证明,线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型.（）求二次型的矩阵

30、的所有特征值.（）若二次型的规范形为，求的值.（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为（）求条件概率密度；（）求条件概率.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.（）求；（）求二维随机变量的概率分布.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 若，则等于（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(2) 设，是一阶线性非齐次微分

31、方程的两个特解，若常数，使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（）（A） （B）（C） （D）(3) 设函数,具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是（）（A） （B）（C） （D）(4) 设，,则当充分大时有（）（A） （B）（C） （D）(5) 设向量组：可由向量组：线性表示，下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则（C）若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则(6) 设为4阶实对称矩阵，且,若的秩为3，则相似于（A） （B）（C） （D）(7) 设随机变量的分布函数，则（A）0 （B） （C） （D）(8) 设为标准正态分布

32、的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足（A） （B）（C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设可导函数由方程确定，则_.(10) 设位于曲线下方，轴上方的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积是_.(11) 设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则_.(12) 若曲线有拐点,则_.(13) 设，为3阶矩阵，且，则_.(14) 设，为来自整体的简单随机样本，记统计量，则_.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限(16) (本题满分10分)计算二重积分，其中由曲线与直线及围成。(17) (本题满分10分)求函数在约束条件下的最大值和最小值(18) (本题满分10分)（）比较与的大小，说明理由（）设，求极限(19) (本题满分10分)