线性代数讲课资料课件.ppt

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1、一元一次方程 ax=b,一元二次方程,二元、三元线性方程组,行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,记,称它为二阶行列式，,定义为,记忆方法：对角线法则,1 二阶行列式,类似的，我们还可以定义三阶行列式为,记忆方法：对角线法则,注意：对角线法则只适用于二阶、三阶行列式,n 阶排列共有 n!个.,排列的逆序数,2 全排列及其逆序数,把 1,2,n 排成无重复一列，称为一个 n 阶全排列.,奇排列 逆序数为奇数的排列.,在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例 1 排列 1 2 n 称为自然排列，,

2、所以是偶排列.,一个逆序.,偶排列,一个排列中所有逆序的总数.,逆序数为偶数的排列.,它的逆序数为0，,三 阶排列,共有321=3!个.,例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为,t(),例 3 排列 n(n 1)3 2 1 的逆序数为,t(n(n 1)3 2 1)=0+1+2+(n 1)=,排列 3 2 5 1 4 为奇排列.,5,排列逆序数的计算方法：,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,三阶行列式定义为,3n 阶行列式的定义,三阶行列式是,3!=6 项,的代数和.,123,231,312,132,

3、213,321,t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(132)=1,t(213)=1,t(321)=3,一、定义,三阶行列式可以写成,定义 由 n2 个数组成的数表，,称为 n 阶行列式,项的代数和，,即,规定为所有形如,记成,例 1 下三角行列式,二、相关题型,例2 下三角行列式,例 3 三阶行列式,例5 n 阶行列式,例4 四阶行列式,例7用行列式定义计算,解,经对换 a 与 b,得排列,所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,4 对换,对换,定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,证 先证相邻对换的情形.,那么,设排列,经对换 a 与 b排列，得排列

4、,相邻对换,再证一般对换的情形.,设排列,事实上，排列（1）经过 2m+1 次相邻对换变为排列（2）.,定理 2 n 阶行列式也可以定义为,根据相邻对换的情形及 2m+1 是奇数，,性相反.,所以这两个排列的奇偶,53142,解 t(5314 2)=0+1+2+1+3=7,t(53412)=0+1+1+3+3=8,53412,求这两个排列的逆序数.,经对换1与4 得排列,例 1 排列,1.选择 i 与 k 使,（1）2 5 i 1 k 成偶排列;,（2）2 5 i 1 k 成奇排列.,若是，指出应冠以的符号,3.计算n 阶行列式,练习,行列式中的项.,1.（1）i=4,k=3时，即排列 2 5

5、 4 1 3 为偶排列；,（2）i=3,k=4时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列.,性质 1,性质 2,5 行列式的性质,推论 两行（列）相同的行列式值为零.,数 k,性质 3,等于用数 k 乘此行列式.,行列式与它的转置行列式相等.,互换行列式的两行（列），行列式变号.,行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个,说明：行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立；反之亦然。,说明：,第i行；,第i列；,交换两行,交换两列,说明：,性质4,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列,式等于零.,推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号,外面

6、.,性质 5,若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和，,则此行列式等于两个行列式之和.,说明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于,该行（或列）可分解为两个行列式。若n阶行列式每个元素,都表示成两数之和，则它可分解成,个行列式。,例如,把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另,一行（列）的对应元素上去，,行列式的值不变.,性质 6,下一页,设,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.,记,那么,=,返回,设行列式 D=det(aij)互换第 i,j(i j)两行,得行列式,性质 2 的证明,其中，当 k i,j 时,bkp=akp;当 k=i,j 时，bip=ajp,b

7、jp=aip,其中,1i j n 是自然排列,所以,于是,=D,返回,例 3,返回,r2-r1,例5,=,=0,例6,例7,返回,返回,返回,解 r2-r1,r3-3r1,r4-r1,例 8 计算行列式,第一步,r22,r3+r2,r4-2r2,第二步,r4(-3),r3r4,r4+3r3,例 10 计算行列式,解 从第 4 行开始，后行减前行得，,例 11 计算行列式,解 各行都加到第一行，,各行都减第一行的 x 倍,第一行提取公因子(a+3x),特点：各行的和相等,小结,1.了解行列式的定义.,2.掌握行列式的性质.,3.运用行列式的性质计算行列式.,作 业,练习,1.计算行列式,2.x 为何值时,行列式,=-4,D=2+4x,3.计算四阶行列式,因为行列式D互换第1行、第4行(r1r4)得行列式D1，所以,3.解,4.证明,