《管理数量方法与分析》串讲讲义.doc

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1、 管理数量方法与分析串讲讲义第一章 数据分析的基础一、数据集中趋势的度量：平均数： n个数据的算术平均数= ，其中数据为分组数据的加权平均数 ， 其中m为组数，yi为第i组的组中值，vi为第i组频数。 优点：平均数容易理解，计算；它不偏不倚地对待每一个数据；是数据集的“重心”缺点：对极端值十分敏感。 【例题】如果一组数据分别为10,20,30和x，若平均数是30，那么x应为A30B50C60D80【答案】选择C【解析】考察的知识点为平均数的计算方法。【例题】某企业辅助工占80，月平均工资为500元，技术工占20，月平均工资为700元，该企业全部职工的月平均工资为 【 】A520元 B540元

2、C550元 D600元【答案】选择B【解析】考察的知识点为加权平均数的计算方法。中位数：将数据按从小到大顺序排列,处在中间位置上的一个数或最中间两个数的平均数。若n为奇数，则位于正中间的那个数据就是中位数，即 就是中位数。若n为偶数，则中位数为就是中位数。优点：中位数对极端值不像平均数那么敏感缺点：没有充分地利用数据所有信息【例题】八位学生五月份的伙食费分别为(单位：元)360 400 290 310 450 410 240 420则这8位学生五月份伙食费中位数为 【 】A360 B380 C400 D420【答案】B【解析】共有偶数个数，按从小到大排列后，第4位数360与第5位数400求平均

3、为380众数：数据中出现次数最多的数。优点：它反映了数据中最常见的数值，不仅对数量型数据(数值)有意义，对分类型数据也有意义；它能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。缺点：一组数据可能没有众数，也可能众数不唯一。【例题】对于一列数据来说，其众数( )A.一定存在B.可能不存在C.是唯一的D.是不唯一的【答案】B【例题】数列2、3、3、4、1、5、3、2、4、3、6的众数是_。平均数，中位数和众数的大小关系：频率直方图是单峰对称：平均数=中位数=众数频率直方图是左偏分布：众数中位数平均数频率直方图是右偏分布：平均数中位数众数众 数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标 。

4、平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和。中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标。四、数据离散趋势的度量： 极差R=max-min。 优点：容易计算缺点：容易受极端值的影响四分位极差=Q3-Q1。第2四分位点Q2=全体数据的中位数；第1四分位点Q1=数据中所有Q2的那些数据的中位数；第3四分位点Q3=数据中所有Q2的那些数据的中位数。优点：四分位极差不像极差R那样容易受极端值的影响缺点：没有充分地利用数据所有信息方差：反映数据离开平均数远近的偏离程度。n个数据的方差：分组数据的方差：其中m, yi, vi同上, n 是数据的个数,是分组数据的加

5、权平均数。标准差： (方差的算术平方根，与原来数据的单位相同)变异系数：v(%) (反映数据相对于其平均数的分散程度)两组数据的平均数不同或两组数据的单位不同时用。【例题】为了调查常富县2002年人均收入状况，从该县随机抽取100人进行调查，得到年人均收入的数据如下（单位：万元）： 年人均收入人数00.5以下360.51.0以下231.01.5以下211.52.0以下102.02.5以下52.53.0以下33.03.5以下2 根据上述分组数据，回答下面的问题：画出收入分布的直方图，并说明分布的形状（5分）计算该样本的年人均收入及标准差（6分）收入最高的20%的人年均收入在多少以上？（3分）【答

6、案】1.人数频数40200 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 年人均收入2. 由直方图，可见随着年人均收入的增加，人数在逐渐下降。年人均收入人数组中值00.5以下360.250.51.0以下230.751.01.5以下211.251.52.0以下101.752.02.5以下52.252.53.0以下32.753.03.5以下23.25 年人均收入 =0.96 方差=0.5559 标准差=0.753. 收入最高的20%的人年均收入在1.5万元以上 【解析】本题考察的知识点为第一章的基本知识：直方图的画法，分组数据的均值和方差的求法。【例题】在一次知识竞赛中，参赛同学的平均得分是80分，

7、方差是16，则得分的变异系数是( )A.0.05B.0.2C.5D.20【答案】A.【解析】根据变异系数公式：v，得出4/80=0.05四、相关分析：相关关系：变量之间存在不确定的数量关系 1.线性相关：变量的关系近似线性函数； 不完全正线性相关不完全线性相关 不完全负线性相关完全正线性相关完全线性相关 完全负线性相关 1. 非线性相关：变量的关系近似非线性函数； 完全非线性相关不完全非线性相关 3.不相关：变量之间没有任何规律。简单相关系数：(x1,y1),(xn,yn)是总体(X,Y)的n对观察值 或 r反映两个变量之间线性相关的密切程度，|r|1。r=-1完全负相关r=1完全正相关-1r

8、0负相关00.8高度线性相关17若变量Y与变量X有关系式Y=3X+2，则Y与X的相关系数等于( )A一1B0C1D310当所有观察点都落在回归直线y=a+bx上，则x与y之间的相关系数为（ ）Ar=0Br2=1C-1r1D0r0）5.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0；6.全概公式：设事件A1, A2, An两两互斥, A1+An,且P(A1)0, , P(An)0, 则对任意事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)；7.贝叶斯公式：条件同上,则对任意事件B (P(B)0),有P(Ai|B)=, i=1,2,n,（分

9、母中的 P(B) 用全概公式求）。【例题】北方大学统计系06级3班共有60名同学，至少有2名同学生日相同的概率为（一年按 365天计算）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】（互逆概率公式）可设A=所有同学生日均不相同，则利用古典概型概率计算方法： P至少有2名同学生日相同=1-P(A）=【例题】如果事件A的概率为，事件B的概率为，下列陈述中一定正确的是【答案】B【解析】利用概率的加法公式因为， ，故 ，选B。【例题】如果事件A发生的概率，事件B发生的概率，并且已知，则（ ）0.6B0.4C1D0【答案】C【解析】，所以AB=B，利用条件概率公式，【例题】天地公司下属3家工厂生产同一

10、种产品，3家公司的次品率分别为0.01,0.02,0.015，而3家工厂的日产量分别为2000,1000,2000，则天地公司该产品的总次品率是（ ）A0.015B0.014C0.01D0.02【答案】B【解析】全概率公式。 设3家公司分别为=任取一产品为第i家公司产品，i=1,2,3 B=产品为次品 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3) 六、事件的独立性若A，B两事件中不论哪一个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件相互独立。P(AB)=P(A)P(B)若，独立，则P()（），（）（）性质：若与独立，则与B、与、A与也独立

11、。一、 随机变量取值带有随机性，但取值具有概率规律的变量称为随机变量。 可以分为：离散型随机变量和连续型随机变量；一元随机变量和多元随机变量。二、离散型随机变量：取值可以逐个列出。分布律 P(xi)=pi, i=1,2,或 Xx1x2pp1p2 性质：，【例题】离散型随机变量X的分布律为 X1 0 1概率 a 则a等于（ ） A. B. C. D. 1【答案】C【解析】考察离散型随机变量概率分布的性质。数学期望：1.定义：EX=xipi (以概率为权数的加权平均数) ；2.性质：Ec = c (常数期望是本身)E(aX)= aEX (常数因子提出来)E(aX+b) =aEX+b (一项一项分开

12、算)方差：1.定义：DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi=E(X2)-(EX)2；(方差=平方的期望-期望的平方）2.性质：Dc =0 (常数方差等于0） D(aX)=a2DX (常数因子平方提) D(aX+b)=a2DX (一项一项分开算) 例：设X的分布律为X123p0.10.30.6则E（X）=0.1+0.6+1.8=2.5 D（X）= E(X2)-(EX)2=0.1+1.2+5.4-(2.5)2=6.7-6.25=0.45【例题】若某学校有两个分校，一个分校的学生占该校学生总数的60%，期末考试的平均成绩为75分，另一个分校的学生占学生总数的40%，期末考试的平均成绩为77分，

13、则该校学生期末考试的总平均成绩为（ ）分。A76 B.75.8 C.75.5 D.76.5【答案】B【解析】该校学生期末考试的总平均成绩为75*0.6+77*0.4=75.8【例题】若随机变量Y与X的关系为Y3X2，并且随机变量X的方差为2，则Y的方差D（Y）为（ ）A6B12C18D36【答案】C【解析】考察方差的性质。DY(3X2)=9DX=18 常用离散型随机变量： 名称记法概率分布律EXDX(0-1)分布XB(1,p)P(X=1)=p, P(X=0)=1-pp1-p二项分布XB(n,p)P(X=k)=k=0,1,2,nnpnp(1-p)泊松分布XP()P(X=k)=,k=0,1,2,0

14、 【例题】一个二项分布随机变量的方差与数学期望之比为，则该分布的参数应为（ ）【答案】D【解析】考察二项分布数学期望与方差。EX=np, DX=np(1-p)，【例题】某保险业务员每六次访问有一次成功地获得签单（即签单成功的概率是），在一个正常的工作周内，他分别与36个客户进行了联系，则该周签单数的数学期望是A. 3 B. 4 C. 5 D.6【答案】D 【解析】 考察二项分布的数学期望。设该业务员本周签单数为X，X服从二项分布B(36,),则EX=。 三、连续型随机变量：取某个范围内的一切实数。X的密度函数f(x)：1) 对任意实数x, f(x)0；2) 对任意实数ab, P(a0正态分布X

15、N(,2)2标准正态 分 布XN(0,1)01正态分布的密度曲线y=p(x)是一条关于直线x=的对称的钟形曲线，在x=处最高，两侧迅速下降，无限接近x轴；越小(大)，曲线越尖(扁)。标准正态分布的密度曲线 y=(x) 是关于y轴对称的钟形曲线。当ZN(0,1)时，对给定的，有，称为上分为点。标准化定理：设XN(,2), 则 Z=N(0,1)。服从正态分布的随机变量的线性组合，仍服从正态分布。 如XN(,2),Y=aX+bN(a+b,a22)【例题】数学期望和方差相等的分布是（ ）A二项分布B泊松分布C正态分布D指数分布【答案】B 【解析】若X服从参数为泊松分布，E(X)=D(X)=【例题】如果

16、X服从标准正态分布，已知则ABCD【答案】A 【解析】 【例题】若随机变量X服从正态分布N（0,4），则随机变量Y=X-2的分布为（ ）AN(-2,4) B.N(2,4) C.N(0,2) D.N(-2,2) 【答案】A 【解析】Y依然服从正态分布,EY=EX-2=-2,DY=DX=4四、 二维随机变量：二维随机变量的联合分布律： 或 性质：，X,Y的协方差：cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY)X,Y的相关系数：rXY= (-1rXY1)相关系数rXY反映X,Y之间的线性相关的程度。rXY越接近1， 表明X,Y之间的正线性相关程度越强；rXY越接近-1，表

17、明X,Y之间的负线性相关程度越强；rXY=0，X与Y不相关。【例题】若两个随机变量X与Y的简单相关系数r=0，则表明这两个变量之间（ ）A存在非线性相关关系 B。相关关系很低C不存在线性相关关系 D。不存在任何关系【答案】C【解析】rXY=0，X与Y不相关，即不线性相关。随机变量的线性组合的期望与方差：1. E(aX+bY)=aEX+bEY2. D(aX+bY)=a2DX+2abcov(X,Y)+b2DY X与Y相互独立时，cov(X,Y)=0，D(aX+bY)=a2DX+b2DY五、决策准则与决策树：对不确定的因素进行估计，从几个方案中选择一个，这个过程称为决策；决策三准则：1.极大极小原则

18、:将各种方案的最坏结果(极小收益)进行比较,选择极小收益最大的方案；2.最小期望损失原则：选择期望损失最小的方案；3.最大期望收益原则：选择期望收益最大的方案。决策树：把不确定因素下的决策过程用图解的形式表示出来，简单、直观。 小方块表示需要进行决策的地方； 小圆圈表示各种状况可能发生的地方，需要计算期望收益或期望机会损失。【例题】康美化妆品公司计划开发一种新的化妆品，研发费用约为30万人民币。研发成功与失败的概率约各占一半。如果研发成功，康美公司可以转让研究成果，预期可获得利润50万元（已扣除研发费用）；康美公司也可以自行生产并推向市场，预期收益依赖于市场需求。假设市场需求有3种可能，具体数

19、据如下：需求状况市场需求量大市场需求量一般市场需求量小概率0.30.50.2预期利润（万元）12050-10注：上述数据已扣除研发费用。请根据上述背景资料回答下列问题：1.根据问题需要，画出决策树（5分）2.假设研发成功并自行生产，计算期望利润（3分）3.请你帮助康美公司做出决策，并在决策树上画出决策过程（6分）4.当研发成功的概率低于多少时，康美公司应当改变其决策？（6分）【答案】1.2. 研发成功并自行生产的期望利润为： 3.康美公司应研发新产品，若研发成功，则自行生产并投放市场。设研发成功的概率为p，则研发失败的概率为1-p。 若研发，期望收益为59p+(1-p)(-30)=89p-30

20、0时，即时，就研发新产品。 当时，康美公司就应该改变决策。【解析】本题考察的是决策准则与决策树的相关知识点。 1题考察的是决策树的画法。2题考察的是期望收益的求法。 3题考察的利用决策树做决策。4题考察的是决策树的敏感度分析。六、简单抽样分布与中心极限定理：三大分布（1）总体分布：研究对象这一总体中各个单元标志值所形成的分布。（2）样本分布：从总体中抽取容量为n的样本，这些样本标志值所形成的分布。（3）抽样分布：统计量的分布叫做抽样分布。统计量：不含任何未知参数的样本的函数称作统计量。常用的统计量1.样本均值：；2.样本方差：；(注意是除以n-1,其中n是样本容量)3.样本标准差：。样本均值的

21、期望与方差：设随机变量X1,Xn独立同分布,且EXi=,DXi=2,i1,2,n, ,则，即：样本均值的期望=总体均值, 样本均值的方差=总体方差/样本容量。中心极限定理：大样本(样本容量n30),不论原来总体服从什么分布,样本均值都近似服从正态分布。七、常用的抽样分布1.样本均值的分布：总体分布样本容量的分布正态分布大样本正态分布小样本正态分布非正态分布大样本正态分布小样本非正态分布样本均值的期望与方差：总 体总体参数抽样方式有限 重复抽样不重复抽样无限任意当有限总体不放回抽样5% 时,修正系数1,样本均值的方差可以简化为。2.样本比例的分布：大样本时，样本比例的期望与方差总 体抽样方式EPDP有限总体有放回抽样不放回抽样无限总体任意当有限总体不放回抽样0; 若x与y是负相关的，则b0.） 平方和分解公式 ：总变差平方=剩余平方和+回归平方和