高等量子力学-基本原理-2要点课件.ppt

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1、一、量子力学的建立二、量子力学基本原理三、量子力学的理论方法四、量子力学的应用,高 等 量 子 力 学,二、量子力学基本原理,1 波函数的统计解释原理,4 力学量用厄米算符表示,2 态叠加原理,5 体系状态波函数可用算符的 本征函数展开,3 体系状态波函数满足薛定谔方程,7 全同性原理,6 不确定度关系,4 力学量用厄米算符表示,经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。量子力学引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念算符，用它表示量子力学中的力学量。,

2、什么是算符?算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号,1）du/dx=v，d/dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商，故称为微商算符。,2）x u=v，x 也是算符。它对 u 作用 是使 u 变成 v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,u=v 表示 把函数 u 变成 v，就是这种变 换的算符。,（一）算符的定义与构造,角动量算符,若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。,构造力学量算符的规则：,（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象

3、而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标变量 换成坐标算符,（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。,注意,其中,(二）算符的本征方程、本征值与本征函数,算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以,此称为算符 的本征方程,即,称为其本征值，为其本征函数。,如果算符 描述力学量，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。,该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系,可以证明:()+=+(.)+=.+,可以证明：,(三)厄密算符,(2)厄密算符,1.定义:满足下列关系 的算符称为 厄密算符.

4、,性质 II:两个厄密算符之积一般不是厄密 算符,除非二算符对易。因为()+=+=仅当,=0 成立时,()+=才成立。,性质III:厄米算符的本征值必为实数,例,例,量子力学基本假定,量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。,若力学量是量子力学中特有的(如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。,若力学量在经典力学中有对应的量,则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：,5 体系状态波函数可用算符的 本征函数展开,表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本征函数系。,一些基本表达式,分立谱和连续谱同时存在,6 不确定度关系,设二厄密算符对易关系为：,有：,其中：,

5、均方偏差,两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,不确定度关系,海森堡的不确定原理于1927年3月23日发表在物理学杂志上,坐标和动量的不确定度关系,随后海森堡又发现了能量与时间的不确定度关系,求和中所包含的力学量本征值Fn都有可能出现,出现的概率为,以观察电子为例：,在我们观测电子以前，电子实际上处于一种叠加态，所有关于位置的可能性叠合在一起，弥漫到整个空间中，但当我们试图测量电子的位置的时候，它被迫做出选择，在无数可能性中挑选一种，以一个确定的位置出现在我们面前。,两个力学量的同时测量,在经典力学中，要测量两个力学量，我们可以先测其中一个

6、，如对F和 G的测量，我们可以先测F，然后测 G。但在量子力学中，一般来说是不可能的。因为在经典力学中，测量的影响可以无限减小。经过测量，状态没有明显改变。但在量子力学中，测量将引起状态的突变。测量F,将使 变成 F的某一本征态n,然后测量G，又将n变为G的某一本征态n。因此，一般来说，第二次测量将破坏第一次所测得结果。然而，当F和G可以对易时，做第二次测量，即将n按G的本征态n展开，它将不会改变状态已经具有的Fn值，同样，先测量G，随后测量F，也不会改变状态已有的Gn。因此，仅当F和 G对易时，前后两次测量才互不干扰。,7 全同性原理,固有性质相同的粒子称为全同粒子,1.全同粒子,固有性质指

7、的是：质量、电荷、自旋、磁矩、宇称、寿命等,例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、微子同类核原子、分子,(一)全同粒子体系交换对称性,全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化,2不可区分性,微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确定轨道。粒子的位置是由波函数来决定。而波函数只能提供粒子在每一个位置的概率。随着时间演变，几个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。在波函数重叠处就不能区分是哪个粒子。,4全同粒子体系波函数的特性-交换对称性,设体系由N个全同粒子组成,薛定谔方程：,交换 与,这表示如果 是方程的解，则 也是方

8、程的解。,根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它们间只可能相差一常数因子，以 表示.即有,再交换 与,当 时,即波函数为反对称函数,当 时,即波函数为对称函数,描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，或者反对称的。,费米子和玻色子：,费米子：自旋为 奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为，它们均为费米子。,玻色子：自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、光子的自旋分别为O或，它们均为玻色子。,费米子系统服从费米狄拉克统计，其波函数是反对称的。玻色子服从玻色爱因斯坦统计，其波函数是对称的。,结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间

9、变化。,实验表明全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子自旋有确定关系,量子力学应用一：,运用薛定谔方程求解超晶格结构中的电子态,理想超晶格:是一种人造的周期性结构四种效应：量子效应、界面效应、周期性效应、能带人工裁剪,运用薛定谔方程求解超晶格结构中的电子态,半导体超晶格概念的提出(Esaki L&Tsu R.,1970)一个全新的革命性的概念新方向：低维量子系统(包括超晶格、量子阱、量子点、量子线、纳米管等）当前物理领域的重要的前沿研究方向,黄昆,学习知识不是越多越好，越深越好，而是要服从于应用，要与自己驾驭知识的能力相匹配。,黄昆,含结构缺陷的超晶格,含结构缺陷的超晶格是一种新型的超晶格材料

10、，它具有周期超晶格所没有的独特的物理性质：（1）在能隙内形成局域态；（2）电子在垒上及垒区都能形成束缚态，扩展了超晶格的光学 性能；（3）同掺杂和界面的不完整性所产生的缺陷相比较，结构缺陷 能够准确地控制。(4)结构缺陷超晶格在红外探测和红外激光器等光电子器件方 面有着相当的应用前景,根据有效质量理论，零场下电子的哈密顿可写为：,m(z)和U(z)(被分别定义为,m(z)是依赖于空间位置的电子的有效质量,含结构缺陷超晶格中的电子态,因为势U(z)仅是z的函数，,所以总能量E和 是守恒量,电子的波函数可以表示为,其中 是平行界面的平面内电子的横向坐标,根据本征方程:,可以导出一维薛定谔方程,电子

11、在阱层和垒层的纵向能量,其中,引进有效垒高,其中,对含缺陷层的超晶格结构,电子的纵向波函数表示为,其中,对于位于微隙中的局域电子态，其布洛赫波数为,边界条件：和 在每一个界面处连续,可导出下列方程：,其中,基于复波数形式的Bloch定理和转移矩阵方法，我们建立了一个关系式能统一处理含结构缺陷的超晶格中的电子态、声学声子态、界面光学声子态的带结构、带隙及其局域模，这个关系式也适合于计算一维光子晶体的带结构、带隙及其缺陷模。,其中,:elastic stiffness constants:acoustic wave number,:the effective mass of electron:wa

12、ve number,电子态,声学声子模,:dielectric function:transverse wave number q/,界面光学声子模,j:permeability nj:refractive indices,一维光子晶体,结果与分析,AlAs/GaAs,转移矩阵方法是一种常用的求隧穿系数的方法,区、区和区的电子的波函数分别写为,转移矩阵方法,这里，,边界条件：在区域和的界面处，波函数及其一阶导数连续,区中波函数在交界线的上部为零，而其对x的导数并不一定为零,其中,写成矩阵形式,令,这样我们就得到电子从区域穿越边界到达区域的转移矩阵,类似地，我们可以得到区域到区域的转移矩阵,电子

13、在区内从左边到右边的转移矩阵可直接写出,其中,从区域至区域的总的转移矩阵,求出转移矩阵后，我们就能非常容易地的求出隧穿几率。转移矩阵方法能够给出结构中任意位置的波函数和电子几率密度，计算简单，物理图像清晰。然而，在实际计算中，转移矩阵方法的一个明显的缺点是不能处理较长或者形状比较复杂的结构,从区穿越边界到区的散射矩阵定义为,散射矩阵把所有出射态和入射态的振幅联系起来,散射矩阵方法,由,类似地，可求出从区穿越边界到区的散射矩阵,从区的左边到右边的散射矩阵可以直接写出,其中,从区至区的总的散射矩阵应写成如下形式,这里我们只须考虑一个,避免了矩阵中遇到的计算不稳定性问题,Calculation of the overall scattering matrix,