北京市高级中等学校招生数学考试.doc

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1、2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校 姓名 准考证号 考生须知1. 本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题 (本题共32分，每小题4分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. -2的倒数是 (A) - (B) (C) -2 (D) 2。2. 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞

2、行试验 “火星-500”正式启动。包括中国志愿 者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的 “火星之旅”。将12480用科学记数法表示 应为 (A) 12.48103 (B) 0.1248105 (C) 1.248104 (D) 1.248103。ABCDE3. 如图，在ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE/BC，若AD：AB=3：4， AE=6，则AC等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。5. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取

3、出一个数，取出 的数是3的倍数的概率是 (A) (B) (C) (D) 。6. 将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式，结果为 (A) y=(x+1)2+4 (B) y=(x-1)2+4 (C) y=(x+1)2+2 (D) y=(x-1)2+2。7. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位：cm)如下表所示：队员1队员2队员3队员4队员5甲队177176175172175乙对170175173174183 设两队队员身高的平均数依次为，身高的方差依次为，则下列关系中完全正 确的是 (A) =， (B) =， (D) 。8. 美术课上，老师要求同学们将右图所

4、示的白纸只沿虚线剪开，用裁开 的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下 面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是(B)(A)(C)(D)二、填空题 (本题共16分，每小题4分)OABCDE9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是 。10. 分解因式：m2-4m= 。11. 如图，AB为圆O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连结OC， 若OC=5，CD=8，则AE= 。DCBA12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D。请你按图中 箭头所指方向(即ABCDCBABC的方式)从A开始 数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是 ； 当

5、字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次 出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 (用含n的代数式表示)。三、解答题 (本题共30分，每小题5分)13. 计算：-1-20100+|-4|-tan60。14. 解分式方程-=。ABCDEF15. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD， FDAD，AE=DF，AB=DC。求证：ACE=DBF。16. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根。17. 列方程或方程组解应用题： 2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生 产运营用

6、水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。BOAxy118. 如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B。 (1) 求A、B两点的坐标； (2) 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA， 求ABP的面积。ABCD四、解答题 (本题共20分，每小题5分)19. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=2， BC=4。求B的度数及AC的长。ABCDO20. 已知：如图，在ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点， DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求

7、BD的长。21. 根据北京市统计局的2006-2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：2202302402502602702802902412462742852006200720082009年份天數2006-2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图 (1) 由统计图中的信息可知，北京全年 市区空气质量达到二级和好于二级 的天数与上一年相比，增加最多的 是 年，增加了 天； (2) 表上是根据中国环境发展报告 (2010)公布的数据会置的2009年 十个城市供气质量达到二级和好于 二级的天数占全年天数百分比的统 计表，请将表1中的空缺部分补充 完整(精确到1%) 表1

8、2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图城市北京上海天津昆明杭州广州南京成都沈阳西宁百分比91%84%100%89%95%86%86%90%77%A組20%2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天數百分比分組统计图 (3) 根据表1中的数据将十个城市划分为三个组， 百分比不低于95%的为A组，不低于85%且低 于95%的为B组，低于85%的为C组。按此标 准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分 比为 %；请你补全右边的扇形统计图。22. 阅读下列材料：圖1ABCDPP1P2P3 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6

9、cm。 现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB 边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变 运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一 直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹 角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边 夹角为45的方向作直线运动，如图1所示，ABCDEPA1P1P2P3B1圖2 问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多 少。小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形 ABCD沿直线CD折迭，得到矩形A1B1CD，由 轴对称的知识，发现P2P3=P2E

10、，P1A=P1E。 请你参考小贝的思路解决下列问题： (1) P点第一次与D点重合前与边相碰 次； P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm； (2) 近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足ADAB，动点P从A点出发， 按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相 邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 。五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)23. 已知反比例函数y=的图像经过点A(-，1)。 (1) 试确定此反比例函数的解析式； (2) 点O是坐标原点，将线段O

11、A绕O点顺时针旋转30得到线段OB。判断点B是否在此 反比例函数的图像上，并说明理由； (3) 已知点P(m，m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m0)，过P点作x轴的垂线，交 x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n， 求n2-2n+9的值。xyO1124. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等

12、腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求 OP的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止 运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。25. 问题：已知ABC中，BAC=

13、2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。 探究DBC与ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。ACB (1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ； 可得到DBC与ABC度数的比值为 ； (2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案一、选择题 1.A， 2.C， 3.D， 4.A， 5.B， 6.D，

14、 7.B， 8.B，二、填空题 9. x， 10. m(m+2)(m-2)， 11. 2， 12. B、603、6n+3；三、解答题13. 解：原式=3-1+4-=2+3。14. 解：去分母，得3-2x=x-2。整理，得3x=5。解得x=。经检验，x=是原方程式的解。 所以原方程式的解是x=。15. 证明：AB=DC，AC=DB，EAAD，FDAD，A=D=90。在EAC与FDB中， EA=FD，A=D，AC=DB，EACFDB，ACE=DBF。16. 解：由题意可知D=0，即)(-4)2-4(m-1)=0，解得m=5。当m=5时， 原方程化为x2-4x+4=0。解得x1=x2=2。所以原方程

15、的根为x1=x2=2。17. 解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米，依题意，得 5.8-x=3x+0.6，解得x=1.3，5.8-x=5.8-1.3=4.5。 答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米 解法二：设生产运营用水x亿立方米，居民家庭用水y亿立方米，依题意，得， 解这个方程组，得x=1.3，y=4.5。 答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米。18. 解：(1) 令y=0，得x= -。A点坐标为(-，0)。令x=0，得y=3。B点坐标为(0，3)。 (2) 设P点坐标为(x,0)，依题意，得x=3，P点坐标分别为

16、P1(3，0)或P2(-3，0)。 =(+3)3=，=(3-)3=，ABP的面积为或。四、解答题ABCDFG图119. 解法一：分别作AFBC，DGBC，F、G是垂足。 AFB=DGC=90，AD/BC，四边形AFGD是矩形。 AF=DG，AB=DC，RtAFBRtDGC。BF=CG， AD=2，BC=4，BF=1，在RtAFB中，cosB=， B=60，BF=1，AF=，FC=3，由勾股定理， 得AC=2，B=60，AC=2。 解法二：ABCDE图2 过A点作AE/DC交BC于点E，AD/BC，四边形 AECD是平行四边形。AD=EC，AE=DC， AB=DC=AD=2，BC=4，AE=BE

17、=EC=AB。待添加的隐藏文字内容3 可证BAC是直角三角形，ABE是等边三角形， BAC=90，B=60。在RtABC中， AC=ABtan60=2，B=60，AC=2。ABCDEO20. (1) 证明：OD=OC，DOC=90，ODC=OCD=45， DOC=2ACD=90，ACD=45，ACD+OCD=OCA=90， 点C在圆O上，直线AC是圆O的切线。(2) 解：OD=OC=2，DOC=90，可求CD=2，ACB=75， ACD=45，BCD=30，作DEBC于点E，DEC=90， DE=DCsin30=，B=45，DB=2。21. 解：(1) 2008；28； (2) 78%； (3

18、) 30；22. 解：(1) 5； (2) 24；解题思路示意图：D1ABCDA2A1B1C1B2五、解答题：23. 解：(1) 由题意得1=，解得k= -，反比例函数的解析式为y= -；OyxCDAB (2) 过点A作x轴的垂线交x轴于点C，在RtAOC中，OC=， AC=1，可得OA=2，AOC=30，由题意，AOB=30， OB=OA=2，BOC=60，过点B作x轴的垂线交x轴于点D。 在RtBOD中，可得BD=，OD=1，B点坐标为(-1，)， 将x= -1代入y= -中，得y=，点B(-1，)在反比例函 数y= -的图像上。 (3) 由y= -得xy= -，点P(m，m+6)在反比例

19、函数y= -的图像上，其中m0， m(m+6)= -，m2+2m+1=0，PQx轴，Q点的坐标为(m，n)。 OQM的面积是，OMQM=，m0，mn= -1，m2n2+2mn2+n2=0， n2-2n= -1，n2-2n+9=8。24. 解：(1) 拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2， 由题意知m1，m=2，拋物线的解析式为y= -x2+x，点B(2，n)在拋物线 y= -x2+x上，n=4，B点的坐标为(2，4)。 OABCDEPyx图1(2) j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，A点是拋物线与x轴的一

20、个交点，可求得A点的 坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为 (a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求 得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得 2a= -(3a)2+3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0 (舍去)，OP=。 k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)， 点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证DPQ为等腰直角三 角形。

21、此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。PQ=DP=4t， t+4t+2t=10，t=。 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证PQM为等腰直角三 角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。OQ=10-2t，F点在 直线AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、 AQ的长可依次表示为t、2t个单位。t+2t=10，t=。综上，符合题意的图4yxBOQ(P)NCDMEF t值分别为，2， 。xyOAM(C)B(E)DPQFN图3ExO

22、ABCyPMQNFD图2DACB图125. 解：(1) 相等；15；1：3。(2) 猜想：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BK/AC交CK于点K， 连结DK。BAC90，四边形ABKC是等腰梯形， CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，BACDK123456图2 KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD， KD=BD=BA=KC。BK/AC，ACB=6， KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC=KB， KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=60-1， BAC=2ACB=120-21， 1+(60-1)+(120-21)+2=180，2=21， DBC与ABC度数的比值为1：3。