历全国初中数学联赛试题9005.doc

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1、1990年全国初中数学联合竞赛试卷11990年全国初中数学联合竞赛试卷答案31991全国初中数学联合竞赛试卷91991全国初中数学联合竞赛试卷答案111992全国初中数学联合竞赛试卷171992全国初中数学联合竞赛试卷答案191993全国初中数学联合竞赛试卷251993年全国初中数学联合竞赛试卷答案281994年全国初中数学联赛试题341994年全国初中数学联赛试题答案351995年全国初中数学联赛试题411995年全国初中数学联赛试题答案421995年全国初中数学联赛参考答案471996年全国初中数学联赛试题551996年全国初中数学联赛参考答案571997年全国初中数学联赛试题631997

2、年全国初中数学联赛参考答案651998年全国初中数学联赛试题691998年全国初中数学联赛参考答案701999年全国初中数学联合竞赛试卷741999年全国初中数学联合竞赛试卷答案762000年全国初中数学联赛试题812000年全国初中数学联赛试题解答832001年全国初中数学联赛872001年全国初中数学联合竞赛试卷答案882002年全国初中数学联合竞赛试卷912002年全国初中数学联合竞赛试卷答案932003年全国初中数学联合竞赛试卷942003年全国初中数学联赛试题答案962004年全国初中数学联合数学竞赛试题1002004年全国初中数学联赛试题答案1022005年全国初中数学联赛初赛试卷

3、1081990年全国初中数学联合竞赛试卷第 一 试一、 选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1的值是（ ）（A）1 （B）1 （C）2 （D）22在ABC中,AD是高,且AD2 = BDCD，那么BAC的度数是（ ）（A）小于90 （B）等于90（C）大于90 （D）不确定3方程是实数)有两个实根、，且01，12，那么k的取值范围是（ ）（A）3k4； （B）2k1；（C）3k4或2k1（D）无解。4恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ）（A）17 （B）

4、18 （C）35 （D）365ABC中，设为边上任一点，则（ ）（A）（B）（C）（D）的大小关系并不确定6若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（ ）（A）不存在 （B）只有一个（C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个7若的尾数是零，且，那么下列四个结论：（ ）（1） （2）（3） （3）中，正确的结论的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）48如图，点，分别在的边上、上，且，那么，面积的最大值是（ ）（A） （B）2 （C） （D）3二、 填空题1 已知，则= 2 ，1234567892的和的个位数的数字是 3 方程

5、，有两个整数根，则 4 中，边有100个不同的点，记 ( 1，2，100) 则 = 第 二 试一、已知在凸五边形ABCDE中，BAE = 3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=1802，求证：BAC=CAD=DAE二、表示不超过实数的最大整数，令（1） 找出一个实数，满足（2） 证明：满足上述等式的，都不是有理数三、设有个正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出行和列，使得枚棋子都在这行和列中。1990年全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一、 选择题1（D） 原式=2（D）如图，由，有2 即 可得 BAC90如图,虽然 ,点在外,90,90因此的度数不确定3.（C）记

6、由4.（A）高这35个连续自然数最小的是,最大的是 即 5.（C）如图,设,在中,由余弦定理,有BPcosB在中,由余弦定理,有 而 令 6.（D）若能找到6个整数使满足（1）；（2），； ，；（3） 则以为边长的六边形，即可符合要求事实上，对任选三整数16，必有，可见此六边形的任三边不能构成一个三角形现取 ，则,满足全部条件.故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.7. (A)由.所以 0得,所以结论(3)与结论(2)都是错误的.在结论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的.这样,只有结论(4)是正确的.事实上,由,可得 又因为.因为为整数,所以

7、=-1,即,结论(4)正确.8. (B)首先,若以,分别记,则S,S,S均不大于.又因为,所以易证:(,分别为公共边PR上的高,因若作出PQR关于PR的对称图形PQR，这时Q，A都在以PR为弦的含A的弓形弧上，且因PQ=QR，所以Q为这弧中点，故可得出h1h2）。从而S，这样=S+S+S+SN最后，当AB=AC-2，A=90时，SABC=2即可以达到最大值2。二填空题1 622 5因 123456789=1012345678+9所以所求数字等于（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即58+5=45的个位数的数字，故所

8、求数字为5。3 8原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=1) 所以a=8 4400作ADBC，如图，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi =x,则 .第二试一.证明 如图, 连BD, CE.因 . 又 ,.二.解法1 设, 若 x+=+=1 是整数。 令 即 解得 当易验证它不满足所设等式。当3时，是满足等式的全体实数。由于不是完全平方数（事实上，若则但当3时，两个平方数之差不小于5）。所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数。解法2 （1）取或 （2）用反证法证明之。 反设满足等式之

9、x为有理数。 首先，若x为整数，则x=0，代入等式得=1，与01矛盾。 其次，若x为非整数的有理数。 令 （其中n，p，q均为整数1. qp且（q，p）=1） 则(其中s,r为整数当n0时0rnp+q当n-1时,np+qr0) = 若x满足等式，即 即 .从而得 .即 矛盾.故满足等式之x都不是有理数.三.证明 设各行的棋子数分别.且.由题设 选取含棋子数为的这n行,则 ,否则, 若, 则 中至少有一个不大于1,由,得 ,从而中至少有一个大于1,这与所设矛盾.选出的这n行已含有不少于2n枚棋子,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚),这样选取的n行和n列包含了全部3n枚棋子.1991全国初

10、中数学联合竞赛试卷第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（ ） （A）3 ； （B）； （C）2； （D） 如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（ ）（A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18 方程的解是（ ）（A）； （B）；（C）或； （D） 已知：（n是自然数）那么，的值是（ ）（）；（）；（）；（） 若，其中为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则（

11、 ）（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么=1的最大值是（ ）（）；（）；（）；（） 如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（ ）（）；（）；（）2 ；（）3 在锐角ABC中，ABC的外接圆半径1，则（ ）（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2二、填空题是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方程没有实数解甲由于看

12、错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， 3设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，则AD = 第二试一、实数x与y，使得x + y，x y，x y，四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）求证：BFAFCF二、 将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成

13、红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数1991全国初中数学联合竞赛试卷答案第 一 试 一、选择题 1（B） 据算术根性质，由右端知yaq，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾若n (B)= (C); (D)不确定.3.若,则的个位数字是( )(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为( )(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和Rt的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是( )(A) (B) (C) (

14、D)不确定答( )6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是( )(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB/CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.则AE:EB等于( )(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:108.设均为正整数,且,则当的值最大时,的最小值是( )(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18

15、cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于_.2.若,则的最大值是_.3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则 .4.若都是正实数，且，则 .第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.1992全国初中数学联合

16、竞赛试卷答案第一试 一选择题1.(C)由(1,0)(0,1).又由(1,1).共有3对.2.(B)设是方程的根,则.所以 .3.(D)由知.所以,.,从而的个位数字为9-2=7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于.5.(B)设A点的坐标为(),C点的坐标为(),则.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为，则，. .故的整数部分是1.7.(B)设,则,易证,. FG是

17、等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线即 BG=GD所以 BD=2BG=2DC三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同设这两位是x1，x2数位由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位关于 N也有类似的结论这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数

18、字相同由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与相比较也有类似的结果 (A)若3不对，则有610253，013256； (B)若1不对，则有360251，301256； (C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206 经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265或者一个是610253，另一个是3102651993全国初中数学联合竞赛试卷第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个

19、是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式除以的余式是( )(A)1; (B)-1; (C); (D);2.对于命题.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是( )(A),都对 (B)对,错 (C)错,对. (D),都错.3.设是实数,.下列四个结论:.没有最小值; .只有一个使取到最小值;.有有限多个(不止一个)使取到最大值;.有无穷多个使取到最小值.其中正确的是( )(A) (B) (C) (D)4.实数满足方程组 其中是实常数,且,则的大小顺序是( )(A); (B);(C); (D).5.不等式的整数解的个解( )(

20、A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于56.在中,则的值是( )(A) (B) (C) (D).答( )7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于( )(A); (B) (C) (D).答( )8.可以化简成( )(A); (B) (C) (D)答( )二.填空题1. 当x变化时,分式的最小值是_.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有_个小球.3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=_.4.锐角三角形ABC中

21、,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=_.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程分别各有两个整数根及,且.(1)求证:(2)求证:;(3)求所有可能的值.1993年全国初中数学联合竞赛试卷答案第 一 试 一选

22、择题1（A） ， 余式为1.2（B）命题I正确，证明如下：如图，ABCDE为圆内接五边形，各内角相等.由，知=，于是=. .同理可证 .故ABCDE是正五边形.命题II不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，A=B=C=D=90,，但，显然，ABCD满足命题II条件，但不是正四边形.3（D）因为、分别表示数轴上点x到点1和点-1的距离.因此，当-1x1时，；当时，；当时，.而在-1与1之间无穷多个实数x，故有无穷多个x使y取到最小值.4（C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得 ， ， ， ，.于是有 .5（A）注意到 . .于是原不等式的整数解是介于-1与6之间且不等于1,2的整数.

23、即0,3,4,5四个整数.6（A）设的三条高线AD、BE、CF相交于点O.因为钝角三角形，故其垂心O在的外部（如图）. B、D、F、O四点共圆，故 .又由题设 ，知 ， ，于是 .而 ， .7（C）如图，设O是的外心， .同理 ，. .8（D） 原式 .二、填空题14 ， 当 x=-1时，公式取最小值4.27设从左到右小盒里的球数为 7,a2,a3,a1993, ， .同理 .3设，原方程变为.设此方程有根，则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，故.由韦达定理 ，得 ，于是 ， .43如图，BC为圆的直径， ， .又 ， .由此可知 .因而四边形DBCE面积 . .第 二

24、 试一、解法1 不妨设角A是锐角，连接AH并延长交BC于D点.延长BH、CH分别交AC于E，交AB于F，如图. , .因此 .又 ,.于是 .当A90时，同理可证上式也成立，由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积保持不变.解法2 作图如解法1，再延长AD至G，使DG=DH，并分别连接BG，GC.由HBDGBD知， .因而，A,B,G,C四点共圆.由相交弦定理，得 .因此， .由于BC是不变的.所以当点A至BC的距离变小时，乘积保持不变.二、 由于，知ABC是直角三角形.如图.，设 ，由于 ， ，知 xy = 78.由余弦定理知： 12，当x=y时，上式的等号成立，此时 达到最小值

25、.三、 （1）假如,同由，知，对于已知两个方程用韦达定理得，这与已知，矛盾.因此，.同理 ，.（2）由韦达定理及 ，有 0, cb-1.对于方程 进得同样讨论，得 bc-1.综合以上结果，有 b-1cb+1.（3）根据（2）的结果可分下列情况讨论：（I）当c=b+1时，由韦达定理有从而.由于x1,x2都是负整数，故 或由此算出，.经检验 ，符合题意.（II）当c=b时，有，从而.因此 .故 .经检验 符合题意.（III）当时，对方程 作（I）类似讨论，得，.综上所述得三组值： 1994年全国初中数学联赛试题 第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论

26、，其中只有一个是正确的，请把正确结论代表字母在题后的圆括号内。1若0ab，a+b= c，则N=_。2当时，函数的最大值是_。3在ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=_。 4把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要用大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_。第二试一、如图所示，在ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q使，AP=BQ，求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆。二、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、某次数学竞赛共有15个题，下表是对于做对n（n=0,1,2,15）个题人数的一个统计，如果