《高斯定理在电磁学中的应用》毕业论文.doc

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1、目 录1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式1.2静电场的高斯定理 1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法2.1.1静电场的高斯定理2.1.2磁场的高斯定理2.2高斯定理的直接证明2.3高斯定理的另一种证明 2.4对称性原理及其在电磁学中的应用3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结 (a)定理中的 E是指空间某处的总电场强度 (b)注意中 E和 dS的矢量性 (c)正确理解定理中的 (d)不能只从数学的角度理解 (e)对高斯面的理解4 高斯定理的应用 4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中5.1静电

2、场和万有引力场中有关量的类比5.2万有引力场中的引力场强度矢量5.3万有引力场中的高斯定理6结束语参考文献高斯定理在电磁学中的应用杨梅（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导教师：黄国栋摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。关键词：高斯定理，应用，万有引力场引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方

3、面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，若函数在上连续，且有一阶连续函数偏导数，则 11其中的方向为外发向。11式称为高斯公式1。1.2静电场的高斯定理一半径为的球面包围一位于球心的点电荷，在这个球面上，场强的方向处处垂直于球面，且的大小相等,都是。通过这个球面的电通量为 其中是球面积分，等于。从此例中可以

4、看出，通过球面的电通量只与其中的电量有关，与高斯面的半径无关。若将球面变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。若闭合曲面内是负电荷，则的方向处处与面元取相反，可计算穿过面的电通量为。若电荷在闭合曲面之外，它的电场线就会穿入又穿出面，通过面的电通量为零2。如果闭合面内有若干个电荷，由场强叠加原理可知，通过面的电通量为此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面称为高斯面，对于连续分布的电荷，电荷体密度为，则上式可以表述为1.3磁场的高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何

5、一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示： 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，极和极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于

6、零，即磁场是无源场2。 2 高斯定理的证明2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的高斯定理静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a)点电荷在球面中心，点电荷的电场强度为球面的电通量为 21(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面的通量为 22根据高斯公式 23并考虑到在内有连续一阶偏导数，故22式可22式代入23式得(c)点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面内以点电荷为球心作一辅助球面，其法向朝内，根据21式可知点电荷在闭曲面的电通量为零，即： 24其中式24中和大小相等，法向相反。(d)点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为；闭曲面外的点电荷为根据上述讨论可得 这就是静电场中的高斯定理3。2

7、.1.2磁场的高斯定理磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a)电流元在球面中心由磁通量的定义和毕奥萨法尔定律为了方便，把简写为，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为因为，所以(b)电流元在任意闭曲面外电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为 因为，并设，则代入原式得 根据高斯公式 同理可得 (c)电流元在任意闭曲面内以此类推，在闭曲面内，以电流元为球心作一辅助球面，因为所以 (d)电流元在闭曲面上由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即这正是磁场的高斯定理4。2.2高斯定理的直接证明图1如图1所示，电荷量为的带电体中任一点处的电荷密度为,则由电场强度定义知该带电体在空间点产生

8、的电场强度为 25式中为原点位矢，为原点到场点的位矢。将对任意闭合曲面求面积分，即得 26由25式可得由于算符是对的微分算符，与无关，故 27式中最后一步用到了函数的筛选性，将式27代入式25中得：(1)当电荷包含在闭合曲面内时，则 (2)当电荷的不包含在闭合曲面内时，则由此高斯定理得证。2.3高斯定理的另一种证明图2如图2所示，设有一电量为孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为方向沿径向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的电通量为与半径无关。这一结果根据电通量的定义表明, 电量为的正点荷发出条电场线, 由于电通量与半径无关

9、, 说明电场线是不间断的；若为负电荷, 则表明有条电场线汇集到这个负点电荷上, 同样这些电场线也是不间断的。由于电场线是不间断的, 面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电荷不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的电通量亦为。现在我们进一步设想, 电量为的点电荷不是位于球面内而是位于任意的闭合曲面内, 则同样得到结论, 通过这个闭合曲面的电通量。若一闭合曲面内包含个点电荷, 其中个是正的, 个是负的。设个正点电荷所带的总电量为, 则这个点电荷发出条不间断的电场线；个负点电荷所带的总量为， 则这个负点电荷汇集条不间断的电场线，据电通量的定义,发出的即穿出

10、闭合曲面为正, 汇集的即进人闭合曲面的为负, 所以通过闭合曲面的电通量为 即 这里有可能出现面内一些正电荷发出的电场线没有穿出闭合曲面而直接汇集到负电荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是由闭合曲面内来的，这并不影响我们的结论。因此就一般情况而言，若任一闭合曲面内包围的净余电荷为，则穿过这个闭合曲面的电通量为 24对称性原理在电磁学中的应用 日常生活中常说的对称，是指物体或一个系统各部分之间比例适当、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。这种美来源于几何确定性，来源于群体与个体的有机结合。数学、物理中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。物理学中的对称性观念可以

11、概括为：如果某一现象或系统在某一变换下不改变，则说该现象或系统具有改变换所对应的对称性。因此物理定律中的对称性又可以称为不变性。所谓对称性原理即为：（1）原因中的对称性比反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性多样性那样多；（2）结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多；（3）在不存在唯一性的情况下，原因中的对称性必反映在全部可能的结果的集合中，即全部可能的结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。这个原理是由皮埃尔居里首先提出来的。这个原理指出，自然规律反映了事物之间的因果关系，即：“等价的原因”导致“等价的结果”。“对称的原因”导致

12、：“对称的结果”。例如：利用对称性分析长直密绕载流螺线管内磁感应线的形状。原因：螺线管对任意垂直于轴的平面镜像对称平行于轴的直线上的点具有平移对称性，所以B只有垂直于镜面的分量。结果：B是轴矢量。镜像变换后垂直分量不变，平行分量反向。对称性与守恒律是密切联系的，在电磁学中对称性有着广泛的作用，以下将从几个方面分述对称性 在电磁学中的若干具体的应用：例1： 求一段长为2L，线电荷密度的带电细棒在中心轴线处P 点所产生的场强.设P点与带电细棒的垂直距离为l如图1, 分析一般而言,场强是矢量。求场强需要解出每个分量的大小。不过此题有一个显著的特点，就是带电细棒关于其中垂线对称，因此我们可以建立如图所

13、示坐标系。得：其次，可以用对称性结合静电场高斯定理求解电场强度以及利用对称性结合磁场的环路定理求解电场强度以及利用对称性结合磁场的环路定理来求解磁场强度。 静电场的高斯定理是电磁学中一个重要定理，虽然定理本身并不涉及场源（带电体）的对称性，但是用它来求解对称分布的带电体的场强却是学生必须掌握的内容。在这一类题目中，仔细分析带电体的对称性是问题的关键，因为我们需要根据带电体的对称性选取适当高斯面。比如，对球对称带电体系一般选球形高斯面，对柱对称带电体一般选取柱形高斯面，对平面对称带电体（包括带电薄板）一般选取封闭长方体形高斯面。例2 如图2在一半径为R1，带电体密度为的均匀带电球体内挖去一个半径

14、为R2的球形空腔。设空腔中心O2与带电球体的球心O1之间的距离为L，求空腔内任一点P处的场强。分析 对于球对称体系的处理我们很熟悉，不过这里由于空腔的存在。体系不再具有“球对称性”但是我们可以通过“补偿法”将不对称条件化为对称条件，从而简化问题。 先用体密度为半径为R2的均匀带电小球填充空腔，使球体变为一完整的带电球（记为球1）；再用体密度为，半径为R2的均匀带电小球（记为球2）置于空腔中,使得电荷分布与实际情况相同。这样，腔中任何一点的场强可用球1，球2所产生的场强叠加来求解，即：设O1到P的位矢为r1由高斯定理得： 解得： 同理，设O2到P的位矢为r2。由高斯定理可以解得球2在P点产生的场

15、强为 磁场的安培环路定理与静电场高斯定理一样，本身的内容不涉及电流体系的对称性，但是具体到计算则必定与一定对称分布的电流体系相联系。综述，由上面的一些应用举例我们可以加深对对称性概念的一些理解，事实上，对称性已经广泛地应用物理学及相关学科的各个方面，它不仅是现代物理理论的重要组成部分，更是人们认识自然的一个重要理论工具。此，高斯定理得证5。 3正确理解高斯定理高斯定理是静电学中的一个重要定理,它反映了静电场的一个基本性质 ,即静电场是有源场 ,其源即是电荷。可表述为:在静电场中 ,通过任意闭合曲面的电通量 ,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的 倍 ,与闭合曲面外的电荷无关。它的表达式为： 是

16、电磁学最基本的定理之一。其中 ,E表示在闭合曲面上任一 dS面处的电场强度 ,而 EdS则为通过面元dS的电场强度通量 ,就表示通过整个闭合曲面 S的电场强度通量 , 表示沿闭合曲面 S的积分 ,习惯上称 S为高斯面， 高斯定理表明:静电场是有源的、发散的 ,源头在电荷所在处 ,由此确定的电场线起于正电荷 ,终于负电荷。对高斯定理的理解和应用不正确 ,常常会出现一些问题。 如 ,高斯面上的 E是否完全由高斯面内的电荷产生;如果 ，是否必有 E = 0 ;当E处处为零时 ,是否高斯面内一定无电荷;高斯定理是否在任何情况下都成立;哪些问题用高斯定理解决会简便一些等等. 这就涉及是否对高斯定理理解正

17、确 ,对其数学表达式的理解是否存在数学负迁移情况.其实 ,只要对高斯定理注意掌握几个要点， 就能对上面的问题有比较清醒的认识了. (a)定理中的 E是指空间某处的总电场强度空间中某处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和. 若任意作一个假想的闭合曲面(高斯面) 通过该处 ,用 E内、 E外 分别表示高斯面内、外的电荷在高斯面上产生的场 ,则在该处的总场强 E = E内 + E外.由高斯定理有: 而从电场线的角度看 ,电场线始于正电荷 ,终于负电荷 ,当电场中的闭合曲面内不含有电荷时 ,电场线仅穿过此闭合曲面 ,这些进入闭合曲面的电场线总条数与穿出闭合曲面的电场线总条数相等 ,

18、故通过整个闭合曲面的电场强度通量为零.所以 （E指外部场强）故 （E指内部场强）即:高斯定理对高斯面内的电荷产生的场而言 ,也成立.(b)注意中 E和 dS的矢量性在对高斯定理的理解上常常出现不注意物理量的矢量性问题. 有些人认为当时 ,由于,所以必有.实际上 , ,表明始于闭合曲面内正电荷的电场线与终于闭合曲面内负电荷的电场线数相等 ,则穿出闭合曲面的电场线数与进入闭合曲面的电场线数相等 ,即通过整个闭合面的电场强度通量为零.但这并不意味着闭合曲面上电场强度处处为零. 因为:(1) 高斯面上某处的场强是高斯面内、外电荷在该处产生的场强的矢量和 ,所以 ,即便高斯面内的,也无法完全确定 E =

19、 0 ;(2) 由于 E和dS在式中是矢量的标积关系 ,因此存在二者的方向问题 ,如果 E 0 ,而它与dS的方向垂直 ,仍有故不能由来判断 E是否为零。 (c)正确理解定理中的是高斯面内正、负电荷电量的代数和. 当通过高斯面的电通量为零时 , 这个结论既可表明高斯面内有电量相等的正、负电荷 ,也可表明高斯面内无电荷. 因此 ,不能肯定高斯面内一定无电荷.(d)不能只从数学的角度理解有些人在对高斯定理的数学表达式的理解上常出现“数学负迁移”问题 ,得出这样的错误结论:当闭合曲面上 E处处为零时 ,不一定有曲面内电量的代数和；（E1 指内部场强，E2指外部场强）当 E = 0 时 ,并不一定分别

20、有 E内 = 0和 E外 = 0.由于始终有,而 E内 不一定为零 ,所以 ：不一定为零 ,即当闭合曲面上的 E处处为零时 , 不一定为零.这显然与高斯定理相悖. 因为当 E处处为零时必有,即通过整个高斯面的电通量为零 ,而高斯面外的电荷激发的电场通过整个高斯面的电通量为零:（E2指外部场强）,所以必有高斯面内电荷的电通量为零:（E1指内部场强），这里可以有两种情况:一是 E内 = 0 ;二是 E内 0 ,但无论是哪种情况 ,都有。从数学上讲:E = 0时或 E 0但,必有,而时 ,E不一定在高斯面上处处为零 ,即数学上描述的是 E通量而不是 E,它完全是由高斯面内的电荷代数和确定的. 从物理

21、上讲 ,高斯面上各点的 E是由所有电荷(面内面外) 所激发的.(e)对高斯面的理解有些人提出这样的问题:如果电荷既不在高斯面内 ,也不在高斯面外 ,而是在高斯面上 ,高斯面上的场强怎样计算？实际上 ,高斯面是一个几何面 ,它没有厚薄之分 ,却有内外之分 ,电荷要么在高斯面内(包括内表面) ,要么在高斯面外(包括外表面) .也就是说 ,必须把高斯面作为几何面 ,而把点电荷的点视为物理上的点.6 高斯定理是平方反比定律的必然结果由于高斯定理是由点电荷间相互作用的平方反比定律(库仑定律)得出的 ,所以高斯定理是点电荷作用力的平方反比定律的必然结果.如果库仑定律中 ,r 的指数不是 2 ,而是 n ,

22、则点电荷的场强的大小应表示为:以点电荷为中心 ,作半径为 r 的球面为高斯面 ,则:从而得不到高斯定理的结论：所以 ,只有在点电荷作用力服从平方反比定律的条件之下 ,高斯定理才成立 ,否则不成立. 但到目前为止 ,理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的.4 高斯定理的应用 4.1利用高斯定理求解无电介质时的电场强度由于中的 E是 dS处的场强 ,而不是整个高斯面上的场强. 所以 ,一般来说高斯面上的场强并非一定处处相等 ,即 E并不一定是恒矢量 ,故无法从积分号内提出 ,因此难以用高斯定理计算出场强来. 但若选择合适的高斯面 ,能使电场强度 E从积分号中提出来 ,就能用高斯定理求

23、解场强 E了.为此 ,作高斯面时应注意:(1) 需求场强的场点要在高斯面上;(2) 高斯面上各部分或者与场强 E垂直 ,或者与场强 E平行 ,或者与场强 E有恒定的夹角;(3) 各部分高斯面上垂直于高斯面的场强的大小应各自为一常值;(4) 高斯面的形状应比较简单.为此 ,当电场具有球对称时 ,高斯面选为同心球面;具有很强的轴对称时 ,选为同轴柱面;具有面对称时 ,选为柱面 ,并使两底与 E垂直 ,侧面与 E平行.由于作高斯面有如上限制 ,因此用高斯定理只能求某些对称分布电场的场强. 用高斯定理求场强的步骤可归纳为：（1) 分析带电体所产生的电场是否具有对称分布的特点;(2) 选取合适的高斯面;

24、(3) 再由高斯定理求电场的场强分布.高斯定理的微分形式从严格意义上 ,高斯定理表为仅为场强对闭合曲面 S通量的积累效应 ,为净余通数学上称积分形式 ,不能算作方程. 因此 ,在理解它所描述的静电性质上有一定难度. 如果我们将任面缩小 ,并让它趋于零 ,即: ,s是以体积V 为边界的闭合曲面 ,显然上式描述的是电场中某点的电场特征 ,定义为某点电场强散度:divE =而:, 故: 这就是高斯定理的微分形式 ,在电场中是点点对应的关系. 在散度之处必有. 这就清楚地表明了静电场的重要性质:静电场是有源场 ,电力线总是起于正电荷而终止于负电荷. 高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电

25、场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应注意：场强是面积元处的，随的不同，也不同；场强是全部带电体系中（无论在高斯面内还是在高斯面外）所有电荷产生的总场强，而只是对高斯面内的电荷求和，这是因为高斯面外的电荷对总通量没有贡献，但不是对场强没有贡献；高斯面内所包围的电荷等于零时，不一定等于零，只说明通过高斯面的电通量等于零；高斯定理虽由库仑定律引申而来，但它的适用范围广，而不论对静止电荷还是运动电荷都适用，但应用时，必须在电场具有某种对称性时（球、轴、面对称），才有可能；在应用高斯定理

26、时，除应注意到场强具有对称性外，对高斯面的选取还应注意到：所选高斯面应平行电场线或垂直电场线；当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强的大小应处处相等，这样可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。利用高斯定理求场强的一般步骤：（1）进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析电场分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等），这是解题的关键，也是解题的难点；（2）根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：待求场强的场点应在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算；一般地，高斯面各面元的法线矢量与平行或垂直，与平行时，的大小要求处处相等，使得

27、能提到积分号外面；（3）计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简捷地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。高斯定理的应用举例例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为。图3解法一：（利用库仑定律求解） 如图3所示，我们选择电荷元为长度上所带电量，即，在点产生的元场强的大小 为计算该积分，首先必须统一积分变量

28、。为便于计算，将变量 和统一用表达。由图3可知，由又可以得，代入及后，可得对于每一个正 轴上的长度，一定存在另一个对称的负轴上的，这两个长度上的电荷元在点产生的场强分量相互抵消，因此求总场强时我们只需对积分。注意，积分限为和，则有图4解法二：（利用高斯定理求解） 带电直线的电场分布具有轴对称性，考虑离直线距离为的一点处的场强（如图4所示）。由于空间各向同性而带电直线为无限长，且均匀带电，所以电场分布具有轴对称性，因而点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿径向，并且和点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的场强大小也都相等，而且方向都沿径向。作一个通过点，以带电直线为轴，高为的圆筒形封闭面

29、为高斯面，通过面的电通量为 在面的上、下底面（和）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右侧后面两项等于零。而在侧面（）上各点的方向与各该点的法线方向相同，所以有 此封闭面内包围的电荷 由高斯定理得 由此得 由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可知，当条件允许时，利用高斯定理计算场强分布要简便得多。 4.2利用高斯定理求解有电介质时的电场强度 在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强，必须同时知道自由电荷及极化电荷的密度，而极化电荷密度取决于极

30、化强度【，】，又取决于（），这就似乎形成计算上的循环。高斯定理通过列出有关、的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场以消去和，方便求解。当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理其中.图1如图1所示，假设有一厚度为b的无限大均匀介质平板中有体密度为的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为，两侧分别充满相对介电常数为和的均匀介质.要求板内外的电场强度，首先分析介质平板中激发电场的电荷分布，因介质板内有自由电荷，在自由电荷处对应的极化电荷密度为总电荷体密度为OMD1D2OM1b2Sxb图2因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质

31、，由于，故在两界面上的极化电荷面密度.在板内存在一个电场强度的平面，不妨称它为零电场面.此面的电位移矢量,如图2.以面为基面,向两侧作底面积为,垂直面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,与的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为和.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为两侧的电场强度为单位矢的方向为背向介质板表面,如图2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即.因而因,求得零电场面的位置用表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为同理,以零电场面为基面在板内作底面积为、长为的高斯面，求得介质板内电位移矢量为板内的电场强度为

32、式中为板内场点的坐标.5将高斯定理推广到万有引力场中5.1静电场和万有引力场中有关量的类比静电学中的库仑定律： 51牛顿万有引力定律： 52 51、52两式在数学形式上完全等同。比较两式可得如下结论：电学中相当于力 学中的，为了记忆的方便，我们记为（下同）于是有 53上式中电学中电荷相当于力学中的质量，于是有 545.2万有引力场中的引力场强度矢量 静电场中点电荷在电场中受到的电场力为 55 经典力学中质点在引力场中受到的重力为 56和电场强度类似，在万有引力场中定义一个引力场强度矢量（以下简称引力场强），则 57 且规定：试探质点在引力场中某点受到的力与其质量之比定义为引力场中该点的引力场强

33、 58如果已知引力场中某点的引力场强，则质点在该处受到的引力可由下式给出 595.3万有引力场中的高斯定理一般说来，引力场中的某点的是该点位置的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引力场强满足叠加原理。有了万有引力场强的定义后，就可以仿照电通量的概念，在引力场中定义引力场强通量。对某面积微元的引力场强通量：。其中是引力场强与面积微元的夹角，因此，对某面的总引力场强通量为 510 有了引力场强通量的概念，就可以讨论穿过闭合曲面引力场强通量的问题。仿照电场中高斯定理的证明过程可以证明引力场中的高斯定理。由53、54、57式，并考虑到闭合曲面面积微元的法线正方向定义后，不难得到穿过某闭合曲面的引力场

34、强通量应满足 511上式称为万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形式。根据散度的定义，我们可以将411式写成相应的微分形式 512此式说明万有引力场是一种有源场，它的源可认为就是质量分布6。6 结束语根据上述分析可知，对于电电磁学中重要的基本定理之一的高斯定理，我们可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电磁学中，当条件允许时，利用高斯定理可以很方便的解决相关的问题。参考文献1 高等数学第二册（第三版）M.北京：高等教育出版社，1996年第3版：234235。2 张丹海、宏小达.简明大学物理（第二版）M.北京：科学出版社，2008年第2版：173176 196200。3 籍延坤

35、.大连铁道学院学报J.2004年9月第25卷第3期：1315。4 梁灿彬、秦光戎等.电磁学（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004年第二版：1424 182185。5 陈国云.骆成洪等.南昌大学学报J.2008年12月第30卷第4期：354358。6 程敦华. 高斯定理教学中的几点体会J. 连云港化工高等专科学校学报 , 1995,(03) 。7 杨燕. 使用高斯定理应注意的若干问题J. 文山师范高等专科学校学报 , 2001,(01)。8 田纯华, 陈新民. 关于高斯定理的教学J. 郑州轻工业学院学报(自然科学版) , 1993,(S1) 。9 郭慧成. 高斯定理的另一种证明J. 吉林师

36、范大学学报(自然科学版) , 2006,(02) 。10 朱岳军. 用高斯定理求解场强分布J. 云南民族学院学报(自然科学版) , 1999,(03) 。11 张容. 正确理解高斯定理J. 成都大学学报(自然科学版) , 2003,(02)。 12 徐福春. 应用高斯定理求场强条件的讨论J. 鞍山师范学院学报 , 1990,(03) 。13 郭克新, 邹卫东. 对应用高斯定理求场强的一点讨论J. 咸宁师专学报 , 1997,(03) 。14 官秉尧. 对用高斯定理解释带电球壳上场强的探讨J. 石家庄经济学院学报 , 1985,(04) 。15 冯瑞明. 高斯定理应用浅析J. 内蒙古电大学刊 ,

37、 1994,(S2)。Gauss theorem in ElectromagneticsYangmei(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College,Anqing 246011) Abstract: Gausss theorem is an important theorem in electromagnetics, it not only in the electrostatic field have important applications, but also Maxwells field t

38、heory of an important equation. This paper introduces the Gauss theorem, mathematical method, and provides direct proof method to prove it, summarizes the application of Gauss theorem should pay attention several questions, it can be found that the Gauss theorem in solving the related problems of the convenience of electromagnetics. Finally, Gauss theorem is extended to the field of gravitation.Keywords: Gauss theorem, application, gravitational field