全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准.doc

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1、2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，那么的大小关系是 （ ）A. B. C. D.【答】C.因为，所以，故.又 ，而，所以，故.因此.2方程的整数解的组数为 （ ）A3. B4. C5. D6.【答】B.方程即，显然必须是偶数，所以可设，则原方程变为，它的整数解为从而可求得原方程的整数解为，共

2、4组.3已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）A B C D【答】D.过点C作CP/BG，交DE于点P.因为BCCE1，所以CP是BEG的中位线，所以P为EG的中点.又因为ADCE1，AD/CE，所以ADFECF，所以CFDF，又CP/FG，所以FG是DCP的中位线，所以G为DP的中点.因此DGGPPEDE.连接BD，易知BDCEDC45，所以BDE90.又BD，所以BG.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共7页）4已知实数满足，则的最小值为 （ ）A. B0.

3、 C1. D.【答】B.因为，所以，从而，故，因此，即.因此的最小值为0，当或时取得.5若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为 （ ）A0. B. C. D.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得，所以，.又由得，所以，所以，所以.代入检验可知：均满足题意，不满足题意.因此，实数的所有可能的值之和为.6由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有 （ ）A36个. B40个. C44个. D48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.

4、（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6424个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共7页）（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，13

5、42，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4248844个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知互不相等的实数满足，则_【答】 .由得，代入得，整理得 又由可得，代入式得，即，又，所以，所以.验证可知：时；时.因此，.2使得是完全平方数的整数的个数为 【答】 1设（其中为正整数），则，显然为奇数，设（其中是正整数），则，即.显然，此时和互质，所以或或解得.因此，满足要求的整数只有1个.3在ABC中，已知ABAC，A40，P为AB上一点，ACP20，则 【答】 .设D为BC的中点，在ABC外作CAE20，则BAE60.作CE

6、AE，PFAE，则易证ACEACD，所以CECDBC.又PFPABAEPA60AP，PFCE，所以APBC，因此.4已知实数满足，则 【答】 . 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共7页）因为，所以.同理可得，.结合可得，所以.结合，可得.因此，.实际上，满足条件的可以分别为.第二试 （A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 5分根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以， 10分因

7、为均为整数且，所以只可能是解得15分所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 20分二（本题满分25分）如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D.证明：.证明：连接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 5分2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共7页）又由切割线定理可得，D、B、C、O四点共圆，10分PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， 20分，. 25分三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.设M，若AM/BC，求抛物线的解析式.

8、解 易求得点P，点C.设ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又AB的中点E的坐标为，所以AE.5分因为PA为D的切线，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 10分又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 15分又因为AM/BC，所以，即. 20分把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为. 25分第二试 （B）一（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，

9、下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 5分根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共7页）， 10分因为均为整数且，所以只可能是或解得或 15分当时，三角形的外接圆的面积为；当时，三角形的外接圆的面积为. 20分二（本题满分25分）如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D，ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：BAEACB. 证明：连接OA，OB，OC，BD.OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 5分又由切割线定理可得，D、B、C、O四点共圆，10分PDBPCOOBCODC，PBDCOD

10、，PBDCOD， ，15分，. 又BDABDP90ODC90ADC，BDAADC， 20分BADACD，AB是ADC的外接圆的切线，BAEACB. 25分三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共7页）三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且QBOOBC.求抛物线的解析

11、式.解 抛物线的方程即，所以点P，点C.设ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又AB的中点E的坐标为，所以AE. 因为PA为D的切线，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 5分又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 10分将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线为.易求得两抛物线的交点为Q. 15分由QBOOBC可得QBOOBC.作QNAB，垂足为N，则N，又，所以QBO.20分又OBC，所以.解得（另一解，舍去）.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共7页）因此，抛物线的解析式为. 25分