毕业设计（论文）几何画板在中学数学教学中的辅助作用.doc

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1、摘 要几何画板是一款优秀的教育软件, 教师可以利用几何画板将一些静态的描述进行动态演示,利用几何直观刺激学生学习数学的兴趣.本文主要从具有几何背景的概念、定理及线性规划模型这三方面阐述几何画板在中学数学教学中的辅助作用。关键词：几何画板；圆锥曲线；三垂线定理；线性规划 AbstractSketchpad is an excellent educational software, Teachers can use the Geometers Sketchpad dynamic demonstration of some static description, the use of geometr

2、ic intuition stimulates the student to study mathematics the interest.This paper mainly from the three aspects of the background geometry concept, theorem and linear programming model elaborated the auxiliary function of the Geometers Sketchpad in mathematics teaching in middle school.Key words：The

3、Geometers Sketchcap;Cone Curve;Three vertical theorem;Linear Programming. 目 录1引 言12几何画板在若干概念教学中的辅助作用32.1 异面直线所成的角42.2 圆锥曲线的统一定义53几何画板在若干定理教学中的辅助作用83.1 三垂线定理83.2 正弦定理104几何画板在线性规划模型教学中的辅助作用124.1 关于线性规划124.2 具体案例设计与分析13参 考 文 献18几何画板在中学数学教学中的辅助作用1引 言几何画板是由美国Key Curriculum Press公司研制并出版的优秀教育软件，1996年由人民教育出

4、版社和全国中小学计算机教育研究中心引进国内。几何画板是众多教学软件中的一种主要面向数学教学的软件，有着传统尺规无法超越的功能、优势。几何画板能够快速、精确地描绘出任何的几何、函数和圆锥曲线等图形，并且能够动态地维持多个元素之间的几何关系和几何规律，使数与形的结合更加视觉化、直观化、趣味化，能够帮助学生培养空间想象能力和获得更多的知识，提高了数学教学质量。 尤创设数学直观性背景和探究数学发现过程在数学教学中是极其重要的，要是教师不注重这一过程，可能会降低学生学习的积极性，从而导致学生的探究和理解能力薄弱，使学生对学习数学、学好数学产生不良的影响。美籍匈牙利数学家波利亚曾透辟内容和形式上抽象化的一

5、面。与实施应重视运用现代信息技术，特别，大力开发并向学生提供更有力工具，致力于改变学生数学活动中去。”几何画板提供了一条“数形结合”的桥梁纽带，不但包含了图形的绘制、运动、计算、度量和文字输写等，不仅能够处理一些难以绘制的图形，而且使绘制出来的图形具有“变换”的动感，例如图1-1方程的曲面，图1-2相关勾树的题目。各式各样的“动画”模型（图1-3三维模型），带给学生一种焕然如新的视觉效果，从而引导学生从图形中寻找问题的。让学生由过去枯燥沉闷的“听数学”转变为真正的“做数学”，从而实现由“要我学”到“我要学”的过渡。几何画板操作简单、功能强大，能够让学生在学习数学中获得无穷的乐趣，既调动了学生积

6、极参与数学活动，又可以使他们在宽松怡悦的环境中获得数学知识。图1-1图1-2图1-32几何画板在若干概念教学中的辅助作用概念是一事物区别于其它事物的本质属性，数学概念是对实际生活中事物之间的数量关系以及物质方面的质的抽象与概括。概念起源于现实世界，是人们经过实践活动，从数学所要探究的问题的众多属性里找出它们的关键特征和本质属性再加以抽象归纳起来的。它是数学判断、推理、验证的依据和建立数学定义、定理、法则的基础，由此可以看出数学概念在学生学习过程中重要性，是学生理解和掌握数学的基础知识以及训练学生数学基本技能的必备条件，同时更是双基的发展和完善的重要条件，在中学数学中属于。但是，很多学生常常无法

7、完全领悟数学概念，一直徘徊在表层上，往往只知道事物的表面现象，而不知事物的本质及其产生的原因。教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。数学概念具有抽象性、具体性与相对性，由于其本身的特性再加上中学学生在已有的知识经验、认知发展水平和思维方式上的局限性，导致学生难以理解在学习上遇到的那些抽象的、未经常碰到的数学概念。所以，教师应通过课标的要求和教学对象的特点来确定恰当的教学方案的设想的计划，使学生经历有关概念形成与发展的过程，从中认识概念的前因后果和掌握其含义及定义，能够知道概念间的相互作用，形成明确的相关概念的网络系统，进而获得体验与理解、掌握与运用的

8、程度。随着基础教育课程改革，教师对于概念教学这一方面产生了与以往不同的认识，对概念教学都给予相当程度的重视。但是，由于林林总总的因果关系导致大多数教师都只盘桓在概念的思想理论上，行动上依旧保持按部就班的传统教学模式。传统的数学用粉笔画出有关教学内容的具有代表性的图形。同时根据学生的生活实际和具体事例，在学生已有的知识经验和认知发展水平基础上，找出具有代表性的图形进行描述和分析，启发学生进行思考、猜测、验证，鼓励学生用不同的认知策略去解决问题。这种教学不但有助于学生观察图形、理解概念，也有助于弄清概念与图形之间的联系，加深对概念的理解与掌握。但是，利用几何画板软件来进行辅助教学，不仅能使图形变化

9、更多样、展示更精彩，而且更具直观、深刻。几何画板的动态性不仅使学生能够生动地观察图形的变化规律，而且有助于培养学生的空间能力与思维能力。本文所研究的若干概念是指具有几何直观背景的相关概念，几何直观可以帮助学的角和圆锥曲线的统一定义为例。2.1 异面直线所成的角异面直线所成的角定义：若直线，是异面直线，经过空间任意一点，分别引直线/,/,相交直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角。所成的角在中学数学中不仅是重点教学内容，也是难点教学内容。它是学生学习立体几何的的初级阶段，在学生空间想象的发展上发挥着重大作用，对培养学生良好的思维品质有一定的帮助。学生学习立定的观察、归纳、猜想能力，但在

10、分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺，这时利用几何画板就能更加全面地阐述异面直线所成的角的定义，使学生易于理解和掌握概念。如图3-1 ，平移直线，使直线与直线相交，这时角就是所求的角。在讲解线所成的角时，可以把平面上相交直线与平移出来，使学生更加直观理解、掌握其定义。拖动点E改变夹角的大小，观察夹角的变化情况，这时就能得出面直所成的角的范围。图2-12.2 圆锥曲线的统一定义在中学线。椭圆的定类似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别就比较大。在以往的教学模式上，教师总是直接把所要得到的结论讲授予学生，并让学生自己去理解记住，这样使得学生无法观察到点的轨迹的整体产生过程，更无法看到随着常数的

11、大小的改变时，图形由椭圆变成抛物线，又由抛物线变成双曲线这一整个形成历程。所以，学生只能通过自己的想象能力去理解、挖掘其间的关系，这就造成了学生往往只知其然而不知其所以然，记忆不够深刻，无法灵活地使用知识。这时数与形的结合能够帮助学生更为生动形象地去描述和解答这一问题。在传统的教学上，虽然教师也动手去画图，但是在讲课过程中却无法真正达到数形的圆满结合，最终也只不过是纸上谈兵。然而，随着几何画板的产生，它不但为我们展现了一块动态图形的“黑板”，并且带来了一个相对理想的让学生踊跃去探究问题的环境。运用几何画板来制作教学课件，可以准确地绘制出圆锥曲线，而且利用几何画板的动态功能能使学生从整体上观察到

12、三种曲线的形成变化过程，其中，对于图形中数量上的变化也是不言而喻的。这样不仅节省了教师所用去的绘图时间，提高了教学效率，而且为学生提供了一个更加生动形象的图形，大大提高了直观效果，有利于锻炼学生的空间想象能力，让学生在感观上对圆锥曲线的认识达到一个更深的层次。下面介绍椭、双线、抛线的形成过程，从而更深刻的体会其定义，并理解圆定义。图2-2图2-3当轨迹是双曲线，选择点D，用键盘上的光标移动键左右移动点D，可见到BD的度量大小和的大小随着一起改变；改变圆F的半径大小时，直线b和b到定直线的距离大小也随着发生改变，比值e保持不变，点G、H分别在右边的轨迹上运动，点I和J分别在左边的轨迹上运动或同时

13、消失。选择点，点，可见的度量大小发生变化，比值e和的大小也随着发生变化，轨的形状也不断变化，当点在点的右边时，e1，这时轨迹是双线，当点和重合，e=1，轨迹变成一支抛物线，当点在点和之间，e1,轨迹变成椭圆。3几何画板在若干定理教学中的辅助作用数学命题包括定义、定理、公式和法则等等。我们知道数学命题是由若干个概念联系而来的且包括条件和结论，从而产生数学这一学科的一个完整的骨干内容。所以，想要学好数学，必须熟练地理解和掌握数学命题，从而了解数学学科的体系结构。有效的数学命题教学，不但能够帮助学生掌握系统的学科知识结构，而且能够帮助学生发展他们的逻辑思维、提高独立分析和解决问题的能力。让学达形式、

14、推断过程和验证方式，运用已学过的数学命题进行推理、假设或者验证，从而掌握数学学习的基础知识和基本方法、提高数学学习的基本能力是数学命题教学的根本任务。并在此基础到的识结构。教学中要保证学生在他的学习过程中理解和领悟了每一个要点和定理。有些人也许会遗忘曾经学到的几何，但是，在空间知觉和想象过程中停留过的痕迹将会一直保持。几何画板具有将抽象问题转变成形象的问题和静态问题转化为动态问题的功能，学生通过数量、图形位置的变化关系，不但加深了对定理的领会、更识到定理的一般性，并且有助于理的掌握与运用。下面以三垂线定理和正弦定理为例：3.1 三垂线定理 数形合教学中发挥着越来越重要的影响，可以使数系与图形性

15、质之间互相转变，帮助学生更好地理解与解决问题。在传统的数学教学中，虽然教师也经常贯穿际操作中却很难实现数与形的完美结合。而利用几何画板则可轻松实现。例如，在教授“三垂线定理”时（三垂线定理直，那么它也和这条斜线垂直。），我们利用几何画板来制作课件，在教学中引入图形运动变化，避免了静形的形态、大小、位置等因素对学生理解知识的干预，使学生能够从动态的角度去探究定理的产生、发展以及运用等阶段，从而更加直观形象地去理解掌握定理。在教学时，用几何画板演示课件要注意以下几种动态变化：一、 改平移；二、 平移平之间或两边；三、 平移或翻转平面。让学生了解图形改变后定理依旧维持不变的规律，从而得到定理的特点：

16、三垂线定理与直线在平面内的位置，平面的位置，斜线的位置无关，只与斜线、斜线在平面。图3-1图3-23.2 正弦定理这节知识是高中数学必五第一章解三角形的第一容，与初三角边与角的基系有着密切的联系与判定三形的全也有密系。在实际生活和社会生产上都存在各种各样的解三角形事件，在考试上它也占有的相当大的比例，解三角形与三数知识的联系是中学数学教学的重、难点之一。因此，正弦定理的知识非常重要。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。几何画板具有度量、计算和绘画等功能，利用几何画板我们可以绘制出任意大小的三角形，如图3-3、3-4，并度量出三角形相关长度和角度的大小。观察图形我们可以清楚

17、地发现ABC的三边与其所对应的角的正弦的比值相同。几何画板的好处之一就是灵活性，当我们随意移动ABC的任和一个顶点，ABC的形状会跟着变化，而且ABC各边的长度、各角的角度和各角的正弦值也会随着更改，这时，我们会发现ABC的三边与它们所对应的角的正比值总是相同。利用几何画板直观生动地演示图形，随着图形的变化，度量值也会随着改变，使得数与形的结合得到了完美的实现。同时也使学生更好地理解了“三角形各边和它所对的角的正弦的比总是相等的”这一不变规律。图3-3图3-44几何画板在线性规划模型教学中的辅助作用计算机信息技术的展现与快速进步为数学教学的更新创造了条件，同时也为学校教革，并且越来越受到重视。

18、这时，几何画板在教学活动中的作用越来越不可忽视，下面以线性规划教学为例加以阐述和说明。4.1 关于线性规划线性法之一，是代才发来的一门新兴科。它的中心问题是研究如何统筹安排，以利用最少的能源去取得最佳效果，有关工业、农业、交通运输、资源管理配置、军事以及经济活动等众多范畴的问题都已经逐步地表达为线性规划模型来解决，再者由于多媒体网络技术的推广与进步，线性规划模型在现实生活和社会生产中的重要性越来越突出。线性运用数形识链条：以二元一次条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。从问题背景上来看，题目包含了好几个已给出的数据、不同的字母表达形式、多个不等关系与不等式，从学生的学

19、习方式上看，大部分学生对图解法还处于一知半解的状态，未能完全领悟数与形的结合这一思想，这就滞碍与不易。线性规基础，在高考中经为线性函数，另一类目标函对这两大类型利动态过程，数形结合，突破教学重难点。用几何画板研究线性规划，具有直观性、准确性等特点，能动态地揭示点、线间的运动规律，便于探求轨迹、研究各类特点、处理教学中的疑难杂症。4.2 具体案例设计与分析在经济活动中，常常需要考虑两个方面的问题，一方面是在现有人力和资源的条件下，怎样组织安排才能取得最大经济效益；另一方面是为了完成既定任务应怎样组织安排才能用最少的人力和物资完成任务。前者是让我们求在一定条件下的最大值问题，后者是求在一定条件下的

20、最小值问题。下面结合例题来说明：例1：某工厂计划生产甲、乙两种产品，需要专用设备加工和消耗铜材和钢材两种原料。生产甲产品需要铜材6千克和钢材3千克；生产乙产品需要铜材3千克和钢材7千克。甲、乙产品需要专用设备加工时数都为5小时。已知甲的单位产品利润是元，乙的单位产品利润是100元；工厂现有铜材为9000千克，钢材为12000千克，专用设备能加工的总时数为10000小时。问在现资源条件下，甲、乙产品各需要制作多件，才能够使得的利多？把这一问题用数学形式表示出来。【问题解析】根据题目分析我们可以把各种产品的原料消耗数（kg）和专用设备加工时数（h），以及现有资源数和单位产品利润（元）如表4-1所示

21、：项目甲乙现有资源/ kg铜材/ kg钢材/ kg专用设备加工时数/h单位产品利润/元6356037510090001200010000(1)设甲产品安排生产件，乙产品安排生产件，该厂的目标是能够获得最大的利润，令S为所得利润，则用数学式子可以表达成：max S=60x+100y但是，该厂的生产受到产品的原料和专用设备加工时数以及现有资源数的限制，我们也要考虑这些限制因素，使生产两种产品对产品的原料、专用设备加工时数和现有资源数的消耗不得超过它们各自的可提供量，即：当然还有一个限制因素，就是甲、乙两种产品的产量不能是负数，所以还要增加非负限制：x0，y0(2) 首先利用几何画板绘制函数6x+3

22、y=9000、3x+7y=12000和5x+5y=10000图像，这三个图像交于B、C两点；如图五边形OABCD区域即为可行域。（3）利何画板构数的功能，将S=60x+100y构成能够变化的参数，对S的不同取值，就能够得出一系列的平行直线。可以看出，问题的最优解就是这些平行线中纵横距最大（或最小）的一条直线与可行域交点的坐标。（4）作初始等值线60x+100y =0，将直线向上平移，利用几何画板的动态功能，我们可以观察到当直线经过点C时，可以使S最大。图4-1例2：某食品厂用甲、乙两种原料制作儿童食品，甲种原料每公斤含营养素A、B、C分别是10、3、4个单位，乙种原料每公斤含A、B、C分别是2

23、、3、9个单位，已知甲、乙两种原料每公斤的价格分别是3.3元和2.4元。如果对制成食品的营养要求含A、B、C分别不少于20、18、36个单位，问在保证营养标准的条件下，两种原料如何配比才能使成本最低？【问题解析】本题来自于日常生活中生产，属于线性规划问题，用几何画板解决轻而易举。(1)设计划使用甲种原料x个单位，乙种原料y个单位，成本费用为S，则问题的数学模型为：min S=3.3x+2.4y(2)利用几何画板的绘图功能建直标系xOy，绘制出直线10+=20, 3x+3y=18，4x+9y=36，根据约束条件画出可行区域（图5-2），此可行域是无界的。（3）作出初始等值线：3.3x+2.4y=

24、0，点击【探求最值】按钮，可以看到S的值随着等值线的移动而改变，当等值线经过点D时，它既与可行域相交，又能使S取得最小值，因此D点的坐标就是问题的最优解。图4-2例3:某服装厂计划招收车间主任x名，缝纫工y名，且x和y需要满足以下条件，则Z=2x+y的最大值和最小值是多少？图4-3首先利用几何画板新建函数功能绘制函数,与x=1像，这个图两交于,；如图ABC区域即为可行域。利用几何画板构造参数的功能，将Z=2x+y构造成可以改变的参数，点击【探求最值】按钮，可以观察到目标函数在可行域内的变化情况，这时就可以直观得到所要求的Z的最大值与最小值。几何板所特有的强大优势与丰富的功能是以往任学手段和方式

25、所无法比拟的，而且提高了学效率，相信几板在将来肯定能够获得广泛的应用。几板轻巧、便捷、容大、易操作，运用几板进行辅助教学不但提了课堂的教学效率，同时为知息量的扩大提供了平台。通过计算机信息技术，教师和学生互相交流、探讨他们所设计出来的几何画板上的问题。可见，多媒体技术能够为师生呈现更为快捷的管理和运用信息的手段，带有交互的作用，同时扩宽了学生的知识面。交互为师生提供了合作学习的条件，有利于生主体能动性的体现，激励学生学习，改进教师教学，提了教学质量。同时，相对以往的教学上的交互形式逐个提问等更为深刻直观。总而言之，几何画板是一个可以用于授课与研习的优秀教育软件，不但适用于概念、定理、线性规划模

26、型等方面的教学和学习，同时也适用于生物、化学等学科的学习。如今，各所学校的电教教学设备都在逐步提高，多媒体网络系统也已推广到教室，互联网已经深入到课堂教学与普通人工作生活之中。我相信在不久的将来会有更多的教师和学生去运用几何画板，它会深入高效课堂，走进学生。参考文献1 沉捷.几何画板的应用价值21世纪的动态几何J.二十一世纪教育思想文献,2007,5(1):33-50.2 张乐良.几何画板在高中数学教学中的应用J.中国现代教育装备,2007,7(7):11-14.3 候旭奋.几何画板在数学教学中的应用J.成才之路, 20007,14(8):32-35.4 陶维林,几何画板实用范例教程M.北京:

27、清华大学出版社,2005:74-79.5 李敏.几何画板的实践与认识J.高师理科学刊,2007,2(2):25-30.6 中华人民共和国教育部.数学课程标准M.北京:人民教育出版社,2003,5.7 赵建兵.几何画板在中学数学教学中的应用J新课程:初中版,2007(3):45.8 何华兴.几何画板在解析几何教学中的应用J.中小学电教,2007(1-2):75-77.9 陈咸存.用几何画板做数学J.宁波教育学院学报,2008,(4):65-67.10 姚淑华,李孝诚.几何画板在中学数学教学中应用模式的探讨J.电脑知识与技术,2008,(10):679-692.11 李航.应用几何画板开展高中数学教学J.数学学习与研究,2010,(3):35.12 程泽斌.”几何画板”在立体几何教学中的运用J.科学大众,2006(9):78-79.19