初中数学应用性问题的创设和教学探讨.doc
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1、基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨石狮市第二中学 朱文泽全日制义务教育数学课程标准(2011修改稿)新增了“模型思想”,强调:“模型也是数与代数的重要内容,方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型” 。这给近两年全国各地中考稍显“降度”趋势的“应用性问题”注入了新的活力,给应用性问题的创设和复习教学提出了新的挑战。一、解读基于“模型思想”下应用性问题的研究意义东北师范大学校长史宁中教授解读修订意见时说:“模型思想”是指对于现实世界的某一特定对象,从它特定的生活原型出发,充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程,得到简化和假设,它是生活中实际问题转化为数学问题模
2、型的一种思想方法。 培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界,也是学生高数学素养所追求的目标。数学模型方法(俗称“建模”)不仅是处理纯数学问题的一种经典方法,而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决某些实际问题,通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型,是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释,从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型。但按狭义的解释,只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构,才叫数学模型。比如:
3、根据具体问题中的数量关系,建立数学模型,列出方程进行求解等。这些内容有助于培养学生的学习兴趣和应用意识,体会数学建模的过程,树立模型思想。二、例析基于“模型思想”下应用性问题的创设意图(一)从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题,是建立模型的出发点;数学问题源于生活、寓于生活、用于生活,具体情境的创设唤起了学生对数学应用价值的认识,激发了学生的数学应用意识,这对培养学生 “两能”,即“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”具有积极意义的。【例1】(2011泉州中考第24题)某班将举行 “庆祝建党90周年知识竞赛” 活动,班长安排小明购买奖品,下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情
4、境:请根据上面的信息,解决问题:(1)试计算两种笔记本各买了多少本?(2)请你解释:小明为什么不可能找回68元?【评析】对话情境及对话场景的创设给学生亲切感,似乎是重现自己的某次亲身经历,是机智与幽默的对话,激活了考生的思维。【例2】(2010泉州中考第24题)某蔬菜公司收购到一批蔬菜,计划用天加工后上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工吨或者粗加工吨,且每吨蔬菜精加工后的利润为元,粗加工后为元已知公司售完这批加工后的蔬菜,共获得利润元.请你根据以上信息解答下列问题:(1)如果精加工天,粗加工天,依题意填写下列表格:精加工粗加工加工的天数(天)获得的利润(元)(2)求这批蔬菜共多少吨.【
5、评析】文字与表格展示出生活与生产相联系,体现了数学的应用价值。【例3】(2009泉州中考第27题)如图,等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙,另三边用长为40米的铁栏杆围成,设该花圃的腰AB的长为x米.(1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示);(2)若BAD=60, 该花圃的面积为S米2.求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围), 并求当S=时x的值;如果墙长为24米,试问S有最大值还是最小值?这个值是多少?【评析】注意代数的各部分知识间的相互联系,互相补充,体现数形结合的思想。【启示】应用性问题情境都是来源于生活,学生较为熟悉,设计呈现形式多以对话,表格,图形等为信息,体现了
6、“以生为本”的新课程理念。 (二)用符号表示数量关系和变化规律,是建立模型的过程;【例4】(2011湖北荆州第23题)2011年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.型 号金 额 型 设 备 型 设 备投资金额x(万元)x5x24补贴金额y(万元)y1=kx (k0)2y2=ax2+bx (a0)2.43.2(1)分别求出和的函数解析式;(2)有一农户同时对型、型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.【
7、评析】表格呈现的符号与数量,反映了自变量和函数关系之间的关系,待定系数法思想。【例5】(2010石狮七末第25题)某工厂用铝合金材料加工一批形状如图1所示的长方形窗框,窗框的内部安装透明玻璃.(铝合金材料的宽度都相同,接口用料忽略不计.)(1)用含的代数式表示制作一个该种窗框所需铝合金材料的总长度;(2)已知每根铝合金原材料的长为厘米,铝合金材料费100元/根,若要做50个如图1所示的铝合金窗框,至少需要铝合金材料费多少元?请说明怎样裁料.(3)图2是由两扇如图1所示的玻璃窗组装成且处于完全关闭状态的窗户,图3是由图2开窗通风时的示意图. 求铝合金材料的宽度;(用含的代数式表示)当时,求完全打
8、开玻璃窗时的最大通风面积;(精确到0.1平方厘米)图1图2图3(单位厘米)【启发】新课标(2011修改稿)把“符号感“修改为“符号意识”,主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。(三)求出模型的结果并讨论结果的意义,是求解模型的过程。【例6】(2011石狮九末第25题)某快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本) 若每份套餐售价不超过10元,每天可销售400份;若每份套餐售价超过10元,每提高1元,每天
9、的销售量就减少40份为了便于结算,每份套餐的售价(元)取整数,用(元)表示该店每天的纯收入(1)若每份套餐售价不超过10元.试写出与的函数关系式;若要使该店每天的纯收入不少于800元,则每份套餐的售价应不低于多少元?(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上,每天的纯收入能否达到1560元?若不能,请说明理由;若能,求出每份套餐的售价应定为多少元时,既能保证纯收入又能吸引顾客?【简析】(1).() 依题意得:, 解得:, 10,且每份套餐的售价(元)取整数,每份套餐的售价应不低于9元. (2)依题意可知:每份套餐售价提高到10元以上时, , 当时,解得:, 为保证净收入又吸引顾客,应取,即不符
10、合题意.故该套餐售价应定11元. 【启发】很多同学在解答应用性问题时,重视审题、分析数量关系、建模等,往往忽略检验,对模型结果的解释过程,可以帮助学生从数量关系的角度更清晰地描述现实世界。三、构建基于“模型思想”下应用性问题的长效教学策略一线教师在应用性问题的复习教学时,无不抱怨:“应用题我都讲了千百遍,学生的应用意识一点也不见增强,遇到应用题总是一筹莫展”。但我们会发现:问题情境和数量关系是它的两个基本构成要素,而由于数量关系或其运算通常是隐含在文字、图表的信息之中的,其解决需要较复杂的抽象思维和验证推理。而就学生解决应用性问题的常规思路来说,数学应用性问题解决的难点主要在于将问题情境向数学
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