运筹学复习重点.doc

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1、第二章线性规划1 线性规划问题的基本模型一、 线性规划标准模型线性规划标准模型的一般表达式： 化一般型为标准型： 左边+松弛变量；左边-剩余变量 变量；变量无限制令 等式两边同乘以（-1）.2图解法一、 线性规划几何解的有关概念考虑线性规划模型一般形式： 可行解：凡满足约束条件和非负条件的决策变量的取值称为线性规划可行解。可行域：所有可行解的集合称为线性规划的可行域。最优解：使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。二、 图解法基本步骤在明确线性规划可行解、可行域和最优解的基础上，介绍线性规划的图解法。对于两个或三个变量的线性规划问题，可以通过平面图或立体图进行求解，是线性规划问题解的

2、几何表示。图解法的优点简单、直观，有助于理解线性规划问题求解的基本原理。它的局限性在于只能对两个或三个变量的线性规划问题求解。图解法的基本步骤可以概括如下：（1）建立平面（空间）直角坐标系。取决策变量为坐标向量，标出坐标原点、坐标轴指向及单位长度。 （2）确定线性规划解可行域。根据非负条件和约束条件画出解的可行域。只有在第一象限的点才满足线性规划非负条件，将以不等式表示的每个约束条件化为等式，在坐标系第一象限作出约束直线，每条约束直线将第一象限划分为两个半平面，通过判断确定不等式所决定的半平面。所有约束直线可能形成或不能形成相交区域，若能形成相交区域，相交区域任意点所表示解称为此线性规划可行解

3、，这些符合约束限制的点集合，称为可行集或可行域。转到第三步；否则该线性规划问题无可行解。（3）绘制目标函数等值线（面）。目标函数等值线（面）就是目标函数取值相同点的集合，通常是一条直线（二维平面）或一个平面（三维空间）。（4）寻找线性规划最优解。对于目标函数的任意等值线（面），确定该等值线（面）平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线（面），使其达到既与可行域相交又不可能使目标函数值再增加的位置。相交位置存在三种情况：若有唯一交点时，目标函数等值线（面）与可行域相切，切点坐标就是线性规划的最优解；若相交于多个点，称线性规划有无穷多最优解；若相交于无穷远处，此时无有限最优解。【例】 运用图解法

4、求解线性规划问题 三、线性规划问题几何解的讨论利用图解法可以讨论线性规划解的四种情况。（1）唯一最优解。线性规划唯一最优解是指该规划问题有且仅有一个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。（2）无穷多最优解。线性规划问题的无穷多解是指，该规划问题有无穷多个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。如果例的目标函数变为，目标函数的等值线正好和约束条件相平行。在目标函数向右上方平移的过程中，与可行域相切于上的所有点，此时，该线性规划问题存在无穷多最优解。（3）无有限最优解（无界解）。线性规划问题的无有限最优解是指最大化问题中的目标函数值可以无限增大，或最小化问题中的目标函数值可以无限减少。考虑下述线性规

5、划模型：利用图解法进行求解时，可行域是一个非封闭的无界区域，的取值可以无限增大，同时，目标函数值也可以增大到无穷，如下图所示。在这种情况下，称线性规划无有限最优解或无界解。原因在于建立线性规划模型时，遗漏了某种必要资源的约束。4542x2x1+2x2=4x1-2x2=5x1ox2x1（4）无可行解。当线性规划问题中的约束条件不能同时满足时，将出现无可行域的情况，这时不存在可行解，即该线性规划问题无解。考虑下述线性规划模型 利用图解法进行求解时，在第一象限内，所有约束条件不能形成一个相交平面区域，如上图。线性规划问题不存在可行域，也就是说，问题没有可行解。其原因是线性规划模型自身的错误，约束条件

6、之间自相矛盾，应根据实际情况进行调整。针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：（1）线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。（2）若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集。（3）若线性规划可行域非空，则凸集至多有有限个极点。（4）若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。通过上述的讨论，求线性规划问题最优解，可以转化为在其可行域有限个极点上进行搜索的方法。基本思路是，先找出凸集任意一个极点，计算极点的目标函数值。比较与之相邻的目标函数值是否比该极点的目标函数值更优，如果为否，则该极点就是最优解，

7、如果为是，转到比该点目标函数值更优的另一极点。重复上述过程，直到找出使目标函数值达到最忧的极点为止。可行域空集无界有界解无可行解唯一最优解多重最优解解无界解3 单纯形法一、预备知识1、基考虑线性规划标准模型 其中：系数矩阵为阶矩阵。若的秩为，为中的任意阶子矩阵，且行列式，则称为线性规划模型式的一个基。为中其余阶子矩阵，称为线性规划模型式的一个非基矩阵。不失一般性，假设：，则为基向量。与基向量相对应的变量称为基变量，与基的列向量相对应；其它个变量称为非基变量，与非基矩阵的列向量相对应。基于上述讨论，假设为线性规划的一个基，为线性规划的一个非基，则可以表示为：，相应地、可以分为： 。线性规划标准模

8、型可以表示为： 如非基变量取定值，由于，则有唯一的值与之对应：。特别地，当时，。关于此类特别解，可以得到线性规划基本解、基本可行解、可行基的概念。？线性规划问题基的数量等于约束不等式的数量（不含非负约束）2、基本解、基本可行解、可行基。设为线性规划的一个基，令非基变量，可求得。此时，有，称是线性规划与基对应的一个基本解。如果，称是线性规划与基对应的一个基本可行解，相对应的基称为可行基。二 单纯形法的基本思路及原理1、如何寻找初始基本可行解？2、最优性检验：判断初始基本可行解是否是最优解？检验数：目标函数中处理成只含有非基变量，则目标函数中基变量的系数为0.记目标函数中变量的系数为。判定定理：所

9、有检验数大于等于0，则这个基本可行解是最优解。3、基变化（1）入基变量的确定：选择检验数为负且绝对值较大的非基变量入基。（2）出基变量的确定：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方程常数项的值，把其中比值最小的约束方程中的原基变量确定为出基变量。迭代次数-2-3000比值001210088/2=40100104-00100133/1=3检验数（）-2-30000迭代次数-2-3000比值101010-222/1=201001044/1=4-3010013-检验数（）-20003-9迭代次数-2-3000比值2-21010-22-000-11222/2=1-30100133/1

10、=3检验数（）0020-1-13迭代次数-2-3000比值3-2100104-000-0.50.511-3010.5-0.502-检验数（）001.50.51-14注：若两个非基变量检验数均为最小的负值且相等，选择下标最小的非基变量入基注：若两个出基变量对应的相同的最小比值，选择下标最小的基变量出基。出基变量的确定：令，则，所以最大只能取3.三、人工变量的引入【例2】解：化为标准型显然不是典则形式现引入辅助问题迭代次数0000011比值01121-101033/1=312-130-10144/3检验数-3-1-411007迭代次数0000011比值111/37/30-11/31-1/35/35

11、/702/3-1/310-1/301/34/3-检验数-1/3-7/301-1/304/35/3迭代次数0000011比值201/710-3/71/73/7-1/75/7-05/701-1/7-2/71/72/711/7-检验数00000110迭代次数23400比值031/710-3/71/75/7545/701-1/7-2/711/711/5检验数-9/70013/73/759/7迭代次数23400比值1301-0.2-0.40.20.4-2101.4-0.2-0.42.2-检验数000.61.60.25.6四、几种特殊情况1、无可行解【例3】当引入人工变量时，如若最优解中人工变量大于0，则

12、无可行解。2、无界解【例4】 如若存在一个大于0的检验数，并且该列的系数向量的每个元素都小于或者等于零，则此线性规划问题是无界的。3、无穷多最优解【例5】（8）如若求得的最优解中存在非基变量的检验数为零，则多重解。作业：p51（4）4 运输问题（The Transportation Problem）一、 基本模型1、 数学描述：假设有m个产地，可以供应某种物资，用表示，有n个销地，用表示，产地的产量和销地的销售量分别为和，从至单位运价为。2、 应用举例 销地产地产量362470533480175250销量403070602003、 产销平衡的运输模型的线性规划模型4、 产销不平衡的运输问题例：

13、销地、需求量依次为3000、1000、2000吨，产地、产量为4000、1500吨。由于需求大于供给，决定需求量可减少吨，区全部满足，需求量不少于1700吨，试求运费最小的分配方案。销地产地产量1.651.701.7540001.601.651.701500销量300010002000 销地产地产量1.65M1.701.75M40001.60M1.651.70M1500M0MM0500销量2800200100017003006000二、 表上作业法运输问题变量多，运算量大；必须化为产销平衡问题。表上作业法的步骤：找出初始基本可行解；求各非基变量的检验数；确定入基和出基变量；重复、直至得到最优解

14、。1、 确定初始基本可行解（1）西北角法 销地产地产量40307007010805050销量40307060200（2）最小元素法 销地产地产量70703005080401050销量403070602002、 最优解的判别（1）闭回路法在已经给出的调运方案的运输表上，从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只要碰到代表基变量的填入数字才能向左或向右转90度（当然也可以不改变方向继续前进），这样继续下去，直到回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的毕回路。例如，增加1t，运输费用增加5元，就得减少1t，运输费用减少3元，为了产量平衡，就得增加1t，运输费用

15、增加6元，为了销量平衡，就得减少1t，运输费用减小3元，所以检验数为5.非基变量闭回路检验数-4-35364我们把基数顶点运价之和减去偶数顶点运价之和即可得到非基变量的检验数。（2）位势法我们对运输表上的每一行赋予一个数值，对每一列赋予一个数值，它们的数值是由基变量的检验数所决定，则非基变量的检验数为 销地产地产量-4-305-3364-5销量36673.改进运输方案的方法：闭回路调整法首先选择负值最小的检验数，以它所对应的非基变量作为入基变量，并做一闭回路。 销地产地产量4003070300704010805050销量40307060200求得调运方案，=30，即闭回路上偶数顶点的运量最小值

16、，然后基数顶点加上这个值，偶数顶点减去这个值，即可得到调整后的运输方案。 销地产地产量41011-164-1销量3223存在负的检验数，仍需调整。 销地产地产量403070304010805050销量40307060200=40，即闭回路上偶数顶点运量最小值，然后基数顶点加上这个值，偶数顶点减去这个值，即可得到调整后的运输方案。仍利用位势法求非基变量检验数。 销地产地产量14102164-1销量2223总运费为：2*70+3*30+3*0+4*50+2*10+1*40=490元，若存在多个最优解即是存在非基变量的检验数为0.4 线性规划问题建模1、 人力资源分配问题第三章 动态规划（DP）动态

17、规划：在求解多阶段决策过程最优方案时，需要把多阶段决策问题转变为一系列相互联系的但阶段决策问题，然后逐个加以解决。在多阶段决策问题中，各个阶段所采取的决策，一般来说与时间或者空间是由关系的，决策依赖于当前状态，又引起状态的转移，一个决策序列就是在变化中的状态中产生的，故有动态的含义。动态规划可以解决哪些问题？ 最短路径问题 装载问题：例如有一部货车沿着公路给四个零售店卸下一定数量货物，现有每个零售店出售货物的利润，问应如何分配，才能使总利润最大？ 生产与存贮问题：例如有每一期的需求量，现应如何安排生产和库存？ 资源分配问题2 动态规划的应用二 背包问题背包问题的一般提法是：一位旅行者携带背包去

18、登山，他所能承受的背包重量最多为kg，现有n中物品可供选择装入背包，第i种物品的单位重量为kg，其价值为携带量。问旅行者应如何选择携带各种物品的件数，使得总价值最大？背包问题等同于车、船、飞机等工具的最优装载问题。设为i种物品装入的件数，则背包问题可归结为如下的整数规划模型：下面用动态规划建模求解：阶段k表示将可装入物品按排序，每段装一种物品，共划分为n阶段，即；状态变量表示在第k阶段，背包中允许装入的从第1种物品到第k种物品的总重量；决策变量表示装入第k种物品的件数；状态转移方程为：允许决策集合为：其中。最优指标函数表示在背包中允许装入的第1种到第k种物品总重量不超过kg所获得的最大价值。则

19、可得到动态规划的递推公式为利用上面这个递推关系式求解出即为所求最大价值。当的取值仅为0或1时，则模型为0-1背包问题。【例】有一辆最大运货量为10t的货车，用以装载3种货物，每种货物的单位重量和相应单位价值如表所示。问如何装载才使总价值最大？ 表 货物重量价值表货物编号123单位重量/t543单位价值654解 设表示第i种货物装载的件数，根据前面的线性规划知识，该问题可表示为如下线性规划模型：我们采用上述的方法建立动态规划模型求解有：当k=1时 ；其中。如表所示。k=1时计算结果01234567891000000666661200000111112当k=2时其中，计算结果如表所示。k=2时计算

20、结果当k=3时，其中，计算结果如下表所示。k=3时计算结果0123 1210131213此时，顺推可得全部策略.三 多阶段生产安排问题有某种原材料，可用于两种方式的生产，原料用于生产后，除了产生一定数量外，还可以回收一部分，生产信息为：原材料投入量为x，与分别为第种和第种生产方式的收益函数，为按种生产方式生产时的原料回收率，为按第种方式生产的原料回收率。今有原料吨，计划进行n个阶段的生产，问每个阶段如何分别确定两种生产方式原料的投入量，使得总收益最大？令为资源数量为x，进行k个阶段生产采取最优决策安排时，所得的最大收益。第一阶段将数量原料用于方式，数量用于方式，则该阶段产生的收益为，回收的原料

21、数量为，如果在以后的k-1个阶段采取最优决策安排生产，最大收益为则，k=2，3，,n例：在多阶段生产安排中，设收益函数为。回收率。生产阶段数为初始原料数量为。第一阶段：全部原料投入方式；第二阶段：全部原料投入方式；第三阶段：全部原料投入方式。第四章 存贮论四、基本符号R年需求率；n进货次数；每次进货量Q；I单位货物年保管费；S订购费；A单位货物的年短缺费；C一年的总存贮费。2 第一类存贮模型模型：不允许缺货，进货能力无限1、基本假设（1）缺货费用无穷大；（2）当存贮降为0时，可以立即得到补充（即生产时间或拖后时间很短，可以近似的看成为0）；（3）需求是连续的均匀的，设需求速度R（单位时间的需求

22、量）为常数，则t时间的需求量为Rt；（4）每次的订货量不变，订购费不变（每次生产量不变，装配费用不变）2、存贮状态图假设在1年内，每隔时间进一次货，每次订货量为Q，共进n次，则有n=R/Q；=Q/R。t时刻存贮量为I(t)=Q-tR,这样整个周期的存贮量为：，所以一个周期内的平均存贮量为：Q/2。总的订购费用为：一年的总存贮费用为，.3 灵敏度分析假设某部门为了少占用流动资金，希望存贮量比偏低；或者资金方面不存在问题，主要由于担心缺货而造成的损失宁愿选择较高的订货量。在这种情况下，所需支付的总费用比最佳订购批量时所需支付的总费用C会增加多少？假设存贮量比多即,则-0.5-0.2-0.10.10

23、.20.30.5125%2.5%0.6%0.45%1.7%3.5%8.3%25%由于偏离最佳批量所引起的费用增加是相当小的，故最佳批量公式不灵敏。一般的订货量与最佳订购批量略有增减而引起的费用增加不多，因此，可根据具体情况给出比较符合实际的订购批量。例1：某轧钢厂每月按照计划需角钢3000吨，每吨每月需存贮费5.3元，每次生产所需调整机器设备等供需装配费2500元，该厂每年的生产量是多少？全年应分几批生产？若该厂每月生产角钢一次，生产批量为3000吨。则每月的总费用为5.3*3000/2+2500=10450(元/月)全年总费用为：10450*12=125400元/年按照公式计算吨全年生产次数

24、次；两次生产的时间间隔为天；17天的单位存贮费为：5.3*17/30=3(元/吨)；共需费用3*1682/2+25005023元；按照全年生产21.5次计算，全年共需的总费用为5023*21.5=107995元/年例2：假设某工厂需要外购某部件，年需求率为4800件，单价为40元，每次的订购费用为350元，每个部件存贮一年的费用为其价格的25%，又假设每年有250个工作日。该部件需要提前五天订货。不允许缺货，请求出：（1） 最优的订购量；（2） 再订货点；（3） 两次订货的时间间隔；（4） 每次订货与存贮的总费用。模型：允许缺货进货能力无限1、基本假设（1）允许缺货，缺货后补；（2）需求是连续

25、的均匀的，设需求速度R（单位时间的需求量）为常数，则t时间的需求量为Rt；（3）每次的订货量不变，订购费不变（每次生产量不变，装配费用不变）2.存贮状态图每次进货量为Q，每隔时间进一次货，共进n次货，则有n=R/Q；=Q/R。仍考虑第一周期：t时刻的存贮量为t时刻的缺货量为所以第一周期内的平均存贮量为：平均缺货量为又=Q/R，则年总存贮费用为上式分别对Q和G求偏导可得：,，当，与模型一致。例：若允许缺货，单位缺货费用为16元，其他类似于例1.问：允许缺货和不允许缺货哪个好？3 第二类存贮模型模型：不允许缺货，进货能力有限1、基本假设（1）缺货费用无穷大；（2）假设进货能力是有限的，即每期的订货

26、量分若干次进入存贮，直到达到订货量为止，生产速度为P；（3）需求是连续的均匀的，设需求速度R（单位时间的需求量）为常数，则t时间的需求量为Rt；（4）每次的订货量不变，订购费不变（每次生产量不变，装配费用不变）2、存贮状态图每次进货量为Q，每隔时间进一次货，共进n次货，则有n=R/Q；=Q/R。t时刻的库存量为所以第一周期内的平均存贮量为：从而总存储费为;，.例。有一个生产和销售图书馆设备的公司，存贮一个书架一年需要花费1000元。年需求量为4900件年生产能力为9800件，每次生产的单位准备费为500元。年工作日250天。；=50；=5,.自行生产与外购哪个好？模型：允许缺货，进货能力有限（

27、1）允许缺货，缺货后补；（2）需求是连续的均匀的，设需求速度R（单位时间的需求量）为常数，则t时间的需求量为Rt，生产速度为P；（3）每次的订货量不变，订购费不变（每次生产量不变，装配费用不变）2.存贮状态图，最大存贮量为G，最大缺货量为V，则；，则可知在和内的平均存贮量为：每个周期的平均存贮量为每个周期的平均缺货量为一年的总费用可以求得：；,3 报童模型报童每天售出报纸数量是一个随机变量，每天售出d份报纸的概率为q（d），根据以往经验是可知的。报童每售出一份报纸赚k元，如若报纸未能售出，每份赔h元，问报童每日最好准备多少张报纸。（1）供大于求（Qd）这时因不能售出报纸而承担损失，每份损失为h

28、元。其数学期望值为（2）供不应求时（Qd）这时因缺货而造成赚钱机会的损失，每份损失为k元。期望值为.欲使期望损失值最小，需满足：从式推导从式推导经化简得Cha5 决策论2 确定型决策1、基本概念：决策的未来状态是一个完全确定的情况，即提供给决策者的每一个方案都有一个确定的结果。Case1：买复印机，多个厂家和品牌的机器进行比较，功能、品质、服务、价格等因素均满足要求，选择最低价的厂商。Case2：田忌赛马：固定齐威王的策略，田忌的选择。例题：A公司与B公司的待遇，除了以下两项略有不同外，其余方面是完全相同的。A：1）半年工资50万元；2）工资每半年增加5万元；B：1）年工资100万元，2）工资

29、每年增加20万元。现在你想去待遇比较邮购的公司就知，你会选择哪个公司？例题：在一个企业中，生产某种产品的固定成本是86000元，售价为65元/台。每台的材料费为20元，工资为7元，其他变动成本为4元。请根据以上材料回答下面问题。1） 该企业不亏本的数量应是多少？2） 若企业决定今年必须盈利25000元，那么企业今年至少需要生产多少台？3） 如企业的生产能力为6500台，试问：产销平衡时，企业生产这一产品的最大利润是多少？3 不确定型决策1、 不确定型决策的基本概念（1）不确定型决策：自然状态不止一个，自然状态发生的概率可以无法估计出来。（2）不确定型决策与风险型决策的区别： 前者自然状态发生的

30、无法估计，后者可以估计出来。 前者人为制定原则，带有某种程度的主观随意性，后者从合理的假设出发，有严格的推理和论证。（3）不确定型决策者的四种态度：乐观、悲观、折衷、尽可能避免后悔（4）不确定决策的方法例题：某地方书店希望订购最新出版的某种图书。根据以往经验，销售量可能是50、100、150或200本。假定每本书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为每本2元。首先建立收益矩阵。方案 状态S1S2S3S4A1100100100100A20200200200A3-100100300300A4-2000200400 乐观法：收益大中取大，损失小中取小。（对有利的情况估计比较有信息的决策者） 悲

31、观法：收益小中取大，损失大中取小。（比较保守稳妥，并害怕承担较大风险） 折中法：对形势判断位于乐观和悲观之间。乐观系数：。 最小遗憾法：后悔值（遗憾值）大中取小。 平均法：假设各自然状态发生的概率相等。4 风险型决策3、决策方法（1）期望值法例题：某商店销售某种食品，根据市场预测，该食品需求量的概率分布为：需求量100150200250300概率0.20.250.30.150.1设该产品每包成本为25元，售价为49元，如果当天销售不出去，只能以处理价每包15元销售。商店可采取的进货量与需求状态相同。试用期望值法确定每天的最优订货量。（2）最大可能法使用情况：各种自然状态中其中某一状态的概率明显

32、高于其他状态所出现的概率，而期望值又相差不大的情况。例：某一生产跑步机的企业看到市场上流行运动减肥，很多女士喜欢呆在家中在跑步机上运动减肥，拟在原有基础上增加跑步机的生产。现有两种方案：一是增加一套设备大规模生产，二是在原有基础上小批量试产。自然状态大概有两种：一种是销路好，二是销路差，概率分别为0.3、0、7.决策矩阵如下：概率方案0.30.7期望值)一200-5025二501022案例讨论：有一风险投资机会，成功和失败的概率分别为0.5，你每投1元，若成功可以得到1.6元的利润。若失败，失去本金。投资次数和投资额不限，你为了不把钱输光，采取了如下策略：总是拿你所持有钱的一半去投资（假设钱是

33、无限可分的，你不会破产），你开始的资金是100万元。 在如此吸引人的投资环境中运用此资本保护策略的结果如何？ 具体来说，平均说来你是赢还是输？如果你投资了10000次，平均来说，你最后有多少钱？ 你有多大的可能性在最后拥有的钱不少于开始的100万元？观点一：设投资者初始资金为a元，经依次投资后的资本有两种可能：P1：若成功，资金为a1=a+1.6（0.5a）=1.8aP2：若失败，资金为a1=0.5a一期投资后的期望值为E1=0.5(1.8a+0.5a)=1.15a可以证明第二次投资后的期望值为，依次类推，投资10000次的资本期望值为。观点二：由于投资的胜率为0.5，在10000次投资中赢和

34、输的概率都很可能接近5000.由于在赢时，资本值由a变为1.8a，在输时资本值由a变为0.5a。假设总投资次数为N，胜负次数各半，投资N次后的资本额变为若N=360，则。只剩下不到1分。设N次投资中有n次赢，最后有我们首先考虑要使投资者不输，需要赢的次数。为了理解此概率有多小，我们可以假设全世界100亿人，每人10万根头发，合计。如果在每个人的头上选一根头发，刻上记号，然后把所有人的头发剔下来，放在太平洋里均匀搅拌，然后让一个人随便抓一根，抓到的头发正常时预先做好记号的那根的概率就是投资能保本或者盈利的概率。风险型决策的灵敏度分析1、灵敏度分析的意义：研究概率值的变化对最优方案的选择究竟存在多

35、大影响的分析。2、转折概率：概率变化引起方案变化的临界点的概率。3、两状态两方案的灵敏度分析例：某工程队签署一项开赴远地施工的合同，由于出发之前有一段必要的准备时间，故眼下就要面临着决定是否下月开工的问题，如果开工后天气好，则当月可顺利完工，获利润12.5万元；如果开工后天气坏，则将造成各种损失计4.8万元。若下月不开工，则就地待命，那么天气好可以承包一些零星工程，利润值估计可达6.5万元；天气坏则付出损失费1.2万元。根据气象预测，下月天气好的概率为0.65，天气坏的概率为0.35.试做敏感性分析。4、三状态三方案的敏感性分析例题：某过滤设备由上中下三层组成：每层有一个过滤筛，是易损件。在修

36、理时测不出是哪层坏了，只有换上后才恩那个试出是不是这层坏了，各层的修理费用不同。过滤筛本身不贵，主要是费工。换上层筛需要20元，换中层筛需要拆开上中两层，共费35元；换下层筛需要大拆大卸，需要65元。现有三种方案：一拆到底，直至下层，全部换新筛；先换上中两层，若不行再换下层；一层一层换下去。根据大量统计资料，这种设备上中下三层出现故障的概率为0.35、0、30、0、35.Cha6 对策论从“田忌赛马”例子中， “田忌赛马”损益矩阵(上中下)(上下中)(中上下)(中下上)(下上中)(下中上)(上中下)3，-31，-11，-11，-1-1，11，-1(上下中)1，-13，-31，-11，-11，-

37、1-1，1(中上下)1，-1-1，13，-31，-11，-11，-1(中下上)-1，11，-11，-13，-31，-11，-1(下上中)1，-11，-11，-1-1，13，-31，-1(下中上)1，-11，-1-1，11，-11，-13，-3上表，局中人甲方齐王的策略集为：局中人乙方田忌的策略集为：表中的元素前面数字表示局中人甲的得益值，后面元素表示局中人乙的得益值，我们把甲方齐王的得益值用下面的矩阵表示。称为局中人甲方的赢得矩阵。2、二人零和对策的条件对策模型的形式很多，我们可以按照下图将对策问题进行分类：合作对策非合作对策静态对策动态对策多人对策二人对策零和对策常和对策变和对策对策论 上图

38、对策分类中，研究最早、占有重要地位的是二人有限零和对策。二人有限零和对策需具备以下三个条件：a、有两个局中人；b、每个局中人的策略都是有限的；c、每一策略组合下，各局中人得益之和始终为零。一个对策问题只要具备以上三个条件就称为二人有限零和对策，又叫做矩阵对策。显然，田忌赛马就是一个典型的二人有限零和对策的例子。局中人为田忌和齐王；每个局中人都有六个策略；在任何一对策略组合下，双方的得益之和始终为零。例如当齐王赢得1千金时，田忌就输掉1千金，有。本章所研究的对策问题主要是矩阵对策，通常矩阵对策表示为，表示局中人为甲、乙两个人，各自的策略分别为、，以及局中人甲的赢得矩阵为A。【例】甲、乙二人之间玩

39、剪刀石头布游戏，输方付给赢方1元人民币，如若双方所出策略相同，例如都出剪刀，则得益均为零。试写出双方进行一次游戏时各局中人的策略集和局中人甲的赢得矩阵。解：显然，局中人甲和乙可出的策略有剪刀、石头和布，此对策问题为二人有限零和对策，=剪刀，石头，布，局中人甲的赢得矩阵为：第一节 矩阵对策的最优纯策略3、最大最小原则下面通过一个例子介绍矩阵对策最优纯策略的求解方法。【例】某地区有甲、乙两家企业生产同种产品，采取相同的价格出售，为了提高市场份额，均采取作广告的方式扩大自己的销售量。甲和乙均有三种广告策略。甲企业所占的市场份额增加的百分数如下面矩阵所示：求该矩阵对策的最优纯策略。解：从中可以看出，甲企业的最大赢得为5，如若想得到这个赢得，他就应该选择。由于乙企业也是理智的，他考虑到甲企业打算出的心理，于是准备用来对付甲企业，这样甲企业反而损失6。双方都考虑到对方为使自己尽可能少的赢得而采取相应的应对策略，所以双方都不会存在侥幸心理，而采取比较稳妥的策略，即从各自可能出现的最不利的情形中选择一种最为有利的情况作为决策的依据，这就是所谓的“理智”行为，也就是双方都能够接受的一种稳妥方法。甲企业的、三种策