曾量子力学题库(网用).doc
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1、曾谨言量子力学题库一简述题:1. (1)试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. (1)试给出原子的特征长度的数量级(以m为单位)及可见光的波长范围(以为单位)3. (1)试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. (1)试简述Bohr的量子理论5. (1)简述波尔-索末菲的量子化条件6. (1)试述de Broglie物质波假设7. (2)写出态的叠加原理8. (2)一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗?试举例说明。9. (2)按照波函数的统计解释,试给出波函数应满足的条件10.(2)已知粒子波函数
2、在球坐标中为,写出粒子在球壳中被测到的几率以及在方向的立体角元中找到粒子的几率。11.(2)什么是定态?它有哪些特征?12.(2)是否定态?为什么?13.(2)设,试写成其几率密度和几率流密度14.(2)试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。15.(3)简述和解释隧道效应16.(3)说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。17.(4)试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系18.(4)简述力学量算符的性质19.(4)试述力学量完全集的概念20.(4)试讨论:若两个厄米算符对易,是否在所有态下它们都同时具有确定值?21.(4)若算符、均与算符对易,即,、是否可同时取
3、得确定值?为什么?并举例说明。22.(4)对于力学量A与B,写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系,并说明物理意义。 23.(4)微观粒子方向的动量和方向的角动量是否为可同时有确定值的力学量?为什么?24.(4)试写出态和力学量的表象变换的表达式25.(4)简述幺正变换的性质26.(4)在坐标表象中,给出坐标算符和动量算符的矩阵表示27.(4)粒子处在的一维谐振子势场中,试写出其坐标表象和动量表象的定态Schrdinger方程。28.(4)使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。29.(4)如果均为厄米算符,下列算符是否也为厄米算符?a) b) b) 30.(5)试述守恒量
4、完全集的概念31.(5)全同粒子有何特点?对波函数有什么要求?32.(5)试述守恒量的概念及其性质33.(5)自由粒子的动量和能量是否为守恒量?为什么?34.(5)电子在均匀电场中运动,哈密顿量为。试判断各量中哪些是守恒量,并给出理由。35.(5)自由粒子的动量和能量是否为守恒量?为什么?36.(6)中心力场中粒子处于定态,试讨论轨道角动量是否有确定值37.(6)写出中心力场中的粒子的所有守恒量38.(6)试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较39.(6)二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同,并给出二维、三维各向同性谐振子能级简并度。40.(6
5、) 氢原子体系处于状态 ,给出和可能取值及取值几率,并说明该状态是否是定态?为什么?41(6)已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为,试列举出几种该量子体系力学量完全集的选取方案。42.(7)什么是正常Zeeman效应?写成与其相应的哈密顿量,并指出系统的守恒量有哪些。43.(8)试给出电子具有自旋的实验依据44.(8)写出表象中、和的本征值与本征态矢45.(8)试述旋量波函数的概念及物理意义46.(8)以和分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数,写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数(只写自旋部分波函数)。47.(8)若|和|是氢原子的定态矢(电子和质子的相互作用为库仑作用,并计及电子的
6、自旋轨道耦合项),试给出|和|态的守恒量完全集48.(10)若在表象中,与的矩阵分别为,是否可以将看作微扰,从而利用微扰理论求解的本征值与本征态?为什么?49.(11)利用Einstein自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。50.(11)是否能用可见光产生 1阿秒(s) 的激光短脉冲,利用能量时间测不准关系说明原因。51.(11)试给出跃迁的Fermi 黄金规则(golden rule)公式,并说明式中各个因子的含义。52. (8)在质心坐标系中,设入射粒子的散射振幅为,写出靶粒子的散射振幅,并分别写出全同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。二、判断正误题(请说明理由)1.
7、 (2)由波函数可以确定微观粒子的轨道2. (2)波函数本身是连续的,由它推求的体系力学量也是连续的3. (2)平面波表示具有确定能量的自由粒子,故可用来描述真实粒子4. (2)因为波包随着时间的推移要在空间扩散,故真实粒子不能用波包描述5. (2)正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系6. (2)测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准7. (2)设一体系的哈密顿与时间无关,则体系一定处于定态8. (2)不同定态的线性叠加还是定态9. (3)对阶梯型方位势,定态波函数连续,则其导数必然连续10.(3)显含时间t,则体系不可能处于定态,不显含时间t,则体系一定处于定态11.(3)一维束
8、缚态能级必定数非简并的12.(3)一维粒子处于势阱中,则至少有一条束缚态13.(3)粒子在一维无限深势阱中运动,其动量一定是守恒量14.(3)量子力学中,静止的波是不存在的15.(3)势阱不存在束缚态16.(4)自由粒子的能量本征态可取为,它也是的本征态17.(4)若两个算符有共同本征态,则它们彼此对易18.(4)在量子力学中,一切可观测量都是厄米算符19.(4)如果是厄米算符,其积不一定是厄米算符20.(4)能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态21.(4)若对易,则在任意态中可同时确定22.(4)若不对易,则在任何情况下不可同时确定23.(4)和不可同时确定24.(4)若对易,则的本征函数
9、必是的本征函数25.(4)对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并26.(4)若两个三个,则它们不可能同时有确定值27.(4)测不准关系只适用于不对易的物理量28.(4)根据测不准原理,任一微观粒子的动量都不能精确测定,只能求其平均值29.(4)力学量的平均值一定是实数30.(5)体系具有空间反演不变性,则能量本征态一定具有确定的宇称31.(5)在非定态下力学量的平均值随时间变化32.(5)体系能级简并必然是某种对称性造成的33.(5)量子体系的守恒量无论在什么态下,平均值和几率分布都不随时间改变34.(5)全同粒子系统的波函数必然是反对称的35.(5)全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改
10、变36.(5)描述全体粒子体系的波函数,对内部粒子的随意交换有确定的对称性37.(6)粒子在中心力场中运动,若角动量是守恒量,那么就不是守恒量38.(6)在中心力场中运动的粒子,轨道角动量各分量都守恒39.(6)中心力场中粒子的能量一定是简并的40.(6)中心力场中粒子能级的简并度至少为41.(8)电子的自旋沿任何方向的投影只能取42.(8)两电子的自旋反平行态为三重态三、证明题:1. (2)试由Schrdinger方程出发,证明,其中2. (3)一维粒子波函数满足定态Schrdinger方程,若、都是方程的解,则有3. (3)设是定态薛定谔方程对应于能量的非简并解,则此解可取为实解4. (2
11、)设和是定态薛定谔方程对应于能量的简并解,试证明二者的线性组合也是该定态方程对应于能量的解。5. (3)对于势垒,试证势中的跃变条件6. (3)设是定态薛定谔方程的一个解,对应的能量为,试证明也是方程的一个解,对应的能量也为7. (3)一维谐振子势场中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历一个周期后复原。8. (3)对于阶梯形方势场 ,若有限,则定态波函数及其导数必定连续。9. (3)证明一维规则势场中运动的粒子,其束缚态能级必定是非简并的10.(4)证明定理:体系的任何状态下,其厄米算符的平均值必为实数11.(4)证明定理:厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交12.(4
12、)证明:在定态中几率流密度矢量与时间无关13.(4)令,试证为厄密算符14.(4)试证为厄密算符15.(4)设是一个幺正算符且对可导,证明是厄米算符。16.(4)已知和是厄米算符,证明(+)和2也是厄米算符17.(4)试证明:任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对角矩阵18.(4)试证明表象中算符的矩阵元是19.(4)试证明表象中算符的矩阵元是20.(4)若厄米算符具有共同本征函数,即,而且构成体系状态的完备函数组,试证明21.(4)若构成完备基组,证明:22.(4)证明两个线性算符之和仍为线性算符23.(4)设算符,若为的本征函数,相应的本征值为,求证和也是的本征函数,
13、并求出相应的本征值。24.(4)试证明是角动量平方算符属于本征值的本征函数。25.(4)试证明表象变换并不改变算符的本征值26.(4)证明对易关系 27.(4)证明在的本征态下 28.(4)设粒子处于状态下,证明29.(4)证明谐振子的零点能是测不准关系的直接结果。30.(4) 一维体系的哈密顿算符具有分立谱,证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零31.(4)如果厄米算符A对任何矢量|u,有0,则称A为正定算符。试证明算符A=|a0区域中的几率。它是大于1/2,还是小于1/2,为什么? 6. (3)一个质量为m的粒子在一维势场 ,求波函数满足的方程及连续性条件,并给出奇宇称能量本征波函数
14、及相应的本征能量。7. (3)质量为的粒子在一维势场 中运动。求粒子的定态能量与归一化的波函数;粒子在态上的位置平均值。8. (3)如图所示,一电量为质量为的带电粒子处在电量为固定点电荷的强电场中,并被约束在一直线AB上运动,到AB的距离为a,由于产生的电场很强,只能在平衡位置O附近振动,即a远大于粒子的运动范围,设平衡位置O为能量参考点,试求体系可能的低能态能级。 9.(3)一电量为质量为的带电粒子处在强度为E的均匀强电场中,并被约束在一半径为R的圆弧上运动,电场方向如图所示,由于电场很强,只能在平衡位置O附近振动,即R远大于粒子的运动范围,设平衡位置O为能量参考点,试求体系可能的低能态能级
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