数学分析微分中值定理及其应用.docx
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1、第六章 微分中值定理及其应用(计划课时: 8时 ) 1中值定理( 3时 )一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后,应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的,需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发:=.若能去掉导数定义中的极限符号,即,则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出,则分别可找出相应的切线平行于该割线,再分析所需要的条件,就可建立起Rolle定理、Lagrang
2、e定理、Cauchy定理. 这三个微分中值定理用一句话概括:对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现. 二 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2.( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.系1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)系2 函数和在区间I上可导且系3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在 , 则右导
3、数也存在, 且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th3 (导数极限定理)设函数在点的某邻域 内连续, 在内可导.若极限存在, 则也存在, 且( 证 )由该定理可见, 若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时, 导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 3. Cauchy中值定理:Th 4 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又 则在内至少存在一点 使得.证 分析引出辅助函数 . 验证在上满足Rolle定理的条件, 必有, 因
4、为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理的几何意义.Ex 1P163 14;三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得.证 在Cauchy中值定理中取.例2设函数在区间上连续, 在内可导, 且有.试证明: .2. 证明恒等式: 原理.例3证明: 对, 有 .例4 设函数和可导且又 则 .(证明 . )例5 设对,有 ,其中是正常数.则函数是常值函数. (证明 ).3. 证明不等式: 原理. 例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对,有. 4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 在内
5、有实根.例9 证明方程 在内有实根.四 单调函数 (结合几何直观建立)1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数在区间内可导. 则在内(或) 在内 ( 或 ).例10 设.试讨论函数的单调区间.解:确定定义域. 函数的定义域为.求导数并分解因式.确定导数为0的点和不存在的点.令,得将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单调性.列表(-1,1)02 可导函数严格单调的充要条件Th6设函数在区间内可导.则在内( 或) 对 有 ( 或; 在内任子区间上3 可导函数严格单调的充分条件推论 见P124例11 证明不等式 Ex 1P124125 17.2 不定式的极限( 2
6、时 )一. 型:Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.例1 例2.例3. ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4. ( Hospital法则失效的例 )二 型:Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 )例5.例6.注: 关于当时的阶.例7. ( Hospital法则失效的例 )三. 其他待定型:.前四个是幂指型的.例8例9.例10.例11.例12.例13.例14设 且 求解.Ex 1P132133 15.3 Taylor公式 ( 3时 ) 一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylo
7、r( 16851731 )多项式:分析前述任务,引出用来逼近的多项式应具有的形式定义(Taylor 多项式 及Maclaurin多项式)例1 求函数在点的Taylor 多项式. 三. Taylor公式和误差估计:称 为余项. 称给出的定量或定性描述的式为函数的Taylor公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor中值定理:Th 1 设函数满足条件: 在闭区间上有直到阶连续导数; 在开区间内有阶导数.则对 使.证 1P138139.称这种形式的余项为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还
8、可写为.时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为.2. 误差的定性描述( 局部性质 ) Peano型余项:Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则,.证 设, . 应用Hospital法则次,并注意到存在, 就有=.称为Taylor公式的Peano型余项,相应的Maclaurin公式的Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 的Maclaurin公式.解.例3 求 的
9、Maclaurin公式.解,.例4求函数的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解.例5把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解 ,.例7 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解,注意, .例8 先把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开式, 把函数在点展开成具Peano型余项的Taylor公式.解. =+例9 把函数展开成具Peano型余项的Maclauri
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- 数学分析 微分 中值 定理 及其 应用

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