第2章 线性系统的运动 课件.ppt
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1、第2章 线性系统的运动分析,定量分析-对系统的运动规律进行精确的研究,即定 量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析-则着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质,如能控性、能观 测性和稳定性等,2.1 线性系统的自由运动2.2 线性系统的一般运动2.3 连续系统的状态空间描述的离散化2.4 线性离散时间系统的一般运动,2.1 线性系统的自由运动,线性系统自由运动分析的数学实质,系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性,研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。,指在输入向量 及初始状态 的条件下系统的运动,1.齐次状态方程解的一般表达式2.状态
2、转移矩阵,(一)齐次状态方程解的一般表达式,因此,齐次状态方程的解为:,根据标量指数函数定义式:,定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵,于是齐次状态方程的解为:,另用拉氏变换法求解齐次微分方程:,拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:,对比,将矩阵指数函数 或 称为系统的状态转移矩阵,记为,状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息,完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。,包含了自由运动性质的全部信息,完全表征了系统的动态特性。,当且仅当A的特征值均具有负实部,线性定常系统为渐进稳定。,如果t为某给定常数T,那么零输入响应 就是状态空间中由初始状态 经线性变换常数阵 所致。,几点解释:,(二)状
3、态转移矩阵,1.状态转移矩阵的基本性质;2.状态转移矩阵的计算。a.直接求取;b.拉普拉斯变换;c.化矩阵A为对角型或约当型;d.化矩阵指数 为A的有限项。,证:,(1)线性系统状态转移矩阵的基本性质,由性质推出:,证:,式(2.1.14)式逐项对t求导,这个性质表明,状态转移矩阵 与系统矩阵A满足交换律。,证:根据矩阵指数函数的定义,有,表明 具有分段组合的性质。,证:根据性质和及逆矩阵定义,有,证明:,可把一个转移分为若干个小的转移来研究。,若 为 的状态转移矩阵,则 引入非奇异变换 后的状态转移矩阵为:,证:,式中:,1.直接求取法,例2.1 已知系统矩阵,求系统状态转移矩阵。,解:根据
4、定义有:,结论:直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式,不适合手工计算。,(2)状态转移矩阵的计算,2.化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法矩阵A的特征值互异,例2.2 已知系统矩阵,试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵。,解:矩阵A的特征方程为,矩阵A有重特征值,设矩阵A为“友”矩阵,且有m1重特征值,m2重特征值,互异特征值,例2.3 已知系统矩阵,试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵。,解:矩阵A的特征方程为:,两种常见的状态转移矩阵形式,设,设,例2.4 已知系统矩阵,试求状态转移矩阵,解:,矩阵A有复数特征值,此时需要将A化为模态标准
5、型,模态标准形,其中:,例2.5已知系统的系数矩阵,求系统状态转移矩阵,解:矩阵A的特征值为,解得:,例2.6已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵,解:在第1章知识得到,结论:化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂,但可以获得解析形式,并建立其了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系,更便于对系统进行分析,但计算相对复杂,特别适合一些简单系统的计算和分析。,3.拉普拉斯变换法,结论:拉普拉斯变换法步骤相对复杂,但可以获得解析形式,便于对系统进行分析,在系统维数较少时,可用手工计算,在系统维数较大时,仍要借助计算机来计算。,P63例2.4,P63例2.4 已知系统矩阵,试用拉普拉斯
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