八年级数学上册第十三章13.1《轴对称》课件.pptx

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1、13.1 轴对称13.1.1 轴对称,对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的享受！,1.了解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念，了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系.,2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴（直线），能找出两个图形关于某直线对称的对称点.,3.了解线段垂直平分线的定义.,4.掌握图形轴对称的性质.,如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？,轴对称图形的定义,问题1：,思考你能举出一

2、些轴对称图形的例子吗？,如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称,下面这些图形是不是轴对称图形？,是,是,是,不是,1.下面四幅图中是轴对称的有几个？,共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合,观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？,轴对称的定义,思考你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？,把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是

3、对应点，叫做对称点,两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称,你能结合具体的图形说明轴对称图形和轴对称的区别和联系吗？,两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合,一,两,互相重合,对称轴，轴对称图形可能不止一条对称轴，轴对称只有一条,对称,轴对称图形,比较归纳,2.下面这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？,1 条,2 条,4 条,无数条,你能说明其中的道理吗？,如图，ABC 和AB

4、C关于直线MN 对称，点A，B，C分别是点A，B，C 的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN 有什么关系？,垂直平分线,上面的问题说明“如果ABC 和ABC关于直线MN 对称，那么，直线MN 垂直于线段AA，BB和CC，并且直线MN 还平分线段AA，BB和CC”如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”其他条件不变，上述结论还成立吗？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,如图，ABC 和ABC关于直线MN 对称，点A，B，C分别是点A，B，C 的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN 有什么关系？,归纳总结,你能用数学语言概括前面的结论吗？,成轴对称的两个图形

5、的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段,结论：直线l 垂直于线段AA，BB，直线l平分线段AA，BB（或直线l 是线段AA，BB的垂直平分线）,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？,你能用数学语言概括前面的结论吗？,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？,轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？,归纳总结,3.下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴,是，一条

6、,是，一条,是，一条,不是,是，四条,4.下列图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点,是,不是,是,1.（2018资阳）下列图形具有两条对称轴的是（）A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D正方形,C,B,1.（2018永州）被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）A B C D,2.（2018广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A1条 B3条C5条 D无数条,C,C,3.下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形

7、的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由.,答：这个图形是_（写出序号即可），理由是_.,只有它不是轴对称图形,1.下面的图形是否是轴对称图形，如果是，有几条对称轴？画画看.,2.英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？,解：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y是轴对称图形.,3.你能列举出三个是轴对称图形的几何图形吗？,解：正方形、长方形、圆.（答案不唯一）,小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是_.,10：21,轴对称,轴对称图形,两个图形成轴对称,垂直平分线,区别,联系,对称轴是任何一对对点所连

8、线段的垂直平分线,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。,13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质,第一课时,线段的垂直平分线的性质,某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。,A,B,C,实际问题1,A,B,L,实际问题2,在成渝高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？,成 渝 高 速 公 路,3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.,1.理解

9、线段垂直平分线的性质和判定,2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题,你能用不同的方法验证这一结论吗？,如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 到点A 与点B 的距离之间的数量关系.,相等,线段的垂直平分线的性质定理,请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,猜想与证明,证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,猜想与证明,用符号语言表示为：CA=CB，lAB，PA=PB,证明：lAB，PCA=PCB 又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB

10、（SAS）PA=PB,猜想与证明,线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,1.如图，在ABC 中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则ADE 的周长等于_,8,解：ADBC，BD=DC，AD 是BC 的垂直平分线，AB=AC 点C 在AE 的垂直平分线上，AC=CE,2.如图，ADBC，BD=DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？,解：AB=AC=CE AB=CE，BD=DC，AB+BD=CD+CE 即AB+BD=DE,2.如图，ADBC，BD=DC，点C 在AE

11、的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？,反过来，如果PA=PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？,点P 在线段AB 的垂直平分线上,已知：如图，PA=PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上,线段的垂直平分线的判定定理,证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C则PCA=PCB=90在RtPCA 和RtPCB 中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又 PCAB，点P 在线段AB 的垂直平分线上,用数学符号表示为：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平

12、分线上,猜想与证明,这些点能组成什么几何图形？,你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？,在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合,l,试一试,例1 如图，已知：在ABC中，ABAC，O是ABC内一点，且OBOC，求证：AOBC.,证明：OBOC，点O在BC的垂直平分线上，又ABAC，点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，AOBC,线段垂直平分线的判定定理的应用,3.如图，已知在ABC中，ON是AB的垂

13、直平分线，并且OA=OC求证：点O在 BC的垂直平分线上.,点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）,证明：连结OB.,ON是AB的垂直平分线（已知）,OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）,OA=OC（已知）,OB=OC（等量代换）,如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？,过直线外一点作已知直线的垂线,（1）为什么任意取一点K，使点K与点C 在直线两旁？,（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？,（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？,4.如图，求作点P，使PAPB，且点P到MON两边的距离相等,解：(

14、1)作MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.,解析：DE是AC的垂直平分线，DA=DC，DAC=C=25，B=60，C=25，BAC=95，BAD=BACDAC=70,1.（2018黄冈）如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，B=60，C=25，则BAD为（）A50B70C75D80,2.（2018南充）如图，在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，B=70，FAE=19，则C=度,B,24,1如图，在ABC中，ABAC20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若DBC的

15、周长为35 cm，则BC的长为()A5 cm B10 cmC15 cm D17.5 cm,C,2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定,C,C,3如图，CD是AB的垂直平分线，若AC1.6 cm，BD2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm.,7.8,4.如图，在ABC中，D为BC上一点，且BCBDAD，则点D在线段 _ 的垂直平分线上,AC,解析：BC=BD+AD，又BC=BD+DC，AD=DC.点D在线段AC的垂直平分线上.,1.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间

16、的距离相等，则仓库应建在什么位置？,答：ABC 三边垂直平分线的交点上.,2.如图，已知E为AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.,证明：E在AOB的平分线上，EDOB于D.ECOA于C，EDEC在RtEDO和RtECO中EDEC，OEOERtEDORtECOODOCO，E都在CD的垂直平分线上，OE垂直平分CD.,如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长,解：DE垂直平分BC，DBDC.ACADDC14 cm，ACADBD14 cm.即ACAB14 cm.设ABx cm

17、，ACy cm.根据题意，得 解得AB长为8 cm，AC长为6 cm.,线段的垂直平分线,性质,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.,判定,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,集合定义,线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.,关系,第二课时,作线段的垂直平分线,如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,A,B,公路,3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题,1.能用尺规作已知线段的垂直平分线,2.进一步了解尺规作图的一般

18、步骤和作图语言，理解作图的依据,线段垂直平分线的画法,有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？,通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称图形.,不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？,问题1：,问题2：,如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？,分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.,作法：,（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.,（2）作直线CD

19、.CD即为所求.,特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.,如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,A,B,分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即可.,例1 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAPNPB.,利用线段的垂直平分线的性

20、质作图,解：(1)如图所示：,(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN，AMPPNB(SSS)，MAPNPB.,P,1.如图，在ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）AA的平分线 BAC边的中线 CBC边的高线 DAB边的垂直平分线,D,例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹),利用作图解决实际问题,方法总结：到

21、角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交点即为所求.,解：如图所示：,2.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.,解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.,作轴对称图形的对称轴,下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？,A,B,作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线l则l就是这个五角星的一条对称轴,l,用同样的方法，可以找

22、出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴,方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.,例3 如图，ABC和ABC关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.,解：延长BC、BC交于点P，延长AC，AC交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.,作轴对称图形的对称轴,l,P,Q,方法总结：过成轴对称图形的两组对应点的连线（或延长线）交点的直线是这个轴对称图形的对称轴.如果成轴对称的两个图形对称点连线（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.,3.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？,解析：DE

23、垂直平分线段AC，DA=DC，AE=EC=6cm，AB+AD+BD=13cm，AB+BD+DC=13cm，ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，,（2018襄阳）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E若AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为（）A16cmB19cmC22cmD25cm,B,1.（2018河北）尺规作图要求：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A

24、，B，C，D，,D,2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作ACP、BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求下列说法正确的是（）A甲、乙都正确 B甲、乙都错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确,D,3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出对称轴,4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.,如图，有A，B，C三个村

25、庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.,B,C,学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.,A,如图，在43的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴,线段的垂直平分线的有关作图,尺规作图,作对称轴的常见方法,属于基本作图之一，必须熟熟练掌握.,(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线.,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。,1.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东

26、西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。,如何学好初中数学？,2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。,3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍

27、长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。,4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。,5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。,