八年级数学上册第十五章15.2《分式的运算》课件.pptx

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1、15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除,第一课时,分式乘除法法则,通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有很多的相似性，如基本性质、约分和通分.那么在运算上呢，在运算上它们有相似性吗？,1.知道并熟记分式乘除法法则.,2.能准确地进行分式的乘除法的计算.,1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水高多少?,解：长方体容器的高为，,水高为,分式的乘除法法则,2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?,解：大拖拉机的工作效率是 公顷/天，小拖拉机的工作效率是 公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉

2、机的工作效率的()倍.,在计算的过程中，运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？,如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？,怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？,3.计算：,乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.,除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.,分式的乘除法法则,例1 计算：,2,2,利用分式的乘除法法则进行单项式的计算,分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.,2,2,分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.,分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分

3、母颠倒位置后，与被除式相乘.,分式与分式相乘若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.,1.等于()A.B.C.D.,解析：,C,例2 计算：,当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行.,利用分式的乘除法法则进行多项式的计算,一定要注意符号变化呦！,1,1,1,1,1,注意：将分式的分子、分母因式分解后约分。,解：原式,2.计算,(1),1,1,1,1,分式除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。(将分式的分子与分母交换位置),(2),

4、解：原式,例3“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？,分式的乘除法法则的实际应用,0(a1)2 a 21，,“丰收2号”小麦的单位面积产量高.,“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.,解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a21)m，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2.

5、,(2),第一步，把线段AB三等分，以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到由4条长度相等的线段组成的折线，总长度为,第二步，把上述折线中每一条线段重复第一步的做法，便得到由长度相等的线段组成的折线，总长度为,3.取一条长度为1个单位的线段AB，如图,按照上述方法一步一步地继续进行下去，在图中画出了第一步至第五步所得到的折线的形状,你觉得第五步得到的折线漂亮吗？,对于任意一个正整数n，第n步得到的折线的总长度是多少？,你能推算出第五步得到的折线的总长度吗？,1.(2018河北)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果

6、传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是()A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁,2.(2018江西)计算(a)2 的结果为()A.b B.b C.ab D,D,A,1.化简 的结果是()A.B.a C.a1 D.,B,2.计算：=_.,3.计算：,先化简 然后从1，1，2中选取一个数作为x的值代入求值.,解:(1)原式 因为分母x10，x+10，所以x1且x 1，所以取x=2，所以,一条船往返于水路相距100km的A，B两地之间，已知水流的速度是每小时2km，船在静水中的速度是每小时xkm(x2)，那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比

7、是_.,分式的乘除法法则,第二课时,分式乘方的运算法则,我们学习过分数的乘除混合运算，那么分式的乘除混合运算该如何进行呢？分式的乘方又与分数的乘方有何异同呢？,1.熟练掌握分式的乘除混合运算顺序和方法.,2.掌握分式乘方的运算法则，并能灵活运用法则进行分式乘方的运算.,分式乘除混合运算的计算方法：(1)分式乘除混合运算，先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法.(2)当分式的分子分母为多项式时，应先进行因式分解，然后约去分子分母的公因式，计算结果应为最简分式或整式.,例1 计算：,解：,分式乘除的混合运算,1.计算：,解：原式,猜想：n 为正整数时,你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法

8、则写出结果吗？,分式的乘方,这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方,即,一般地，当n 是正整数时，,分式的乘方法则,解：,例2计算：,分式乘方的运算,归纳总结：分式的乘方，把分子分母分别乘方，再算积的乘方、幂的乘方.也可以先确定符号，再把分子、分母分别乘方.,2.计算：,解：,例3计算：,分式乘方的混合运算,归纳总结：分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号先算括号内的.,3.计算：,1.（2018苏州）计算（1+）+的结果是（）A.x+1 B.+C+D+,2.（2018天门）化简：+,解：原式=(+)(+)()=.,B,1.下列计算中，正确的是()A.B.C.D.,2.计算

9、下列各题.,先化简再求值：，其中a=.,当a=时，,计算.,分式混合运算,混合运算,应用,关键是明确运算种类及运算顺序,明确运算顺序,1.同级运算自左向右进行；2.运算律可简化运算,明确运算方法及运算技巧,技巧,注意,分式的乘方,分式乘方的法则,1.掌握分式乘方的运算法则；2.熟练地进行分式乘方的运算.,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,15.2 分式的运算15.2.2 分式的加减,第一课时,分式加减法的法则,你还记得同分母分数加减法法则吗？异分母分数加减法法则又是怎样的呢？想一想分式的加减法又应如何去运算呢？,1.掌握同分母的分式加减法的法则，能熟练地进行同分母的分式加减法

10、的运算.,2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.,3.在学习过程中体会类比思想的运用，学会知识的迁移.,1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？,解：甲工程队一天完成这项工程的_，乙工程队一天完成这项工程的_，两队共同工作一天完成这项工程的 _.,同分母分式的加减法法则,2.2010年，2011年，2012年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比，森林面积增长率提高了多少？,解：2012年的森林面积增长率是_，2011年的森林面积增长率是_，2012年与2011年

11、相比，森林面积增长率提高_.,2.你认为,1.同分母分数加减法的法则如何叙述？,同分母的分式加减法的法则,例1 计算：,解：原式,同分母分式的加减的计算,归纳总结：同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式.,1,1.直接说出运算结果.,.,.,.,.,2.计算：,解：原式,解：原式,异分母的分数如何加减？,通分，将异分母的分数化为同分母的分数.,异分母分式的加减法的法则,异分母分式的加减应该如何进行？,符号表示：,比如：,例2(1),异分母分式的加减的计算,归纳总结：异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二部运

12、用同分母分式的加减法则计算.,解：原式,(2),a2 4 能分解：,a2 4=(a+2)(a2)，,其中(a2)恰好为第二个分式的分母，所以(a+2)(a2)即为最简公分母.,分子相减时，“减式”要添括号！,解：原式,3.计算：,=x+y,解：原式,=,解：原式,4.计算：,1.(2018台州)计算+，结果正确的是()A1 Bx C D+,解析：原式=+=1,2.(2018自贡)化简+结果是,解析：原式=(+)()+=+(+)()=.,A,2.计算,的结果为(),A.B C1 D2,1.(2018天津)计算+的结果为()A1 B3 C+D+,C,C,阅读下面题目的计算过程.=(1)上述计算过程

13、，从哪一步开始错误?_；(2)错误原因_；(3)本题的正确结果为：.,漏掉了分母,先化简：当b=1时，再从2a2的范围内选取一个合适的整数a代入求值.,解：原式=在2a2中，a可取的整数为1，0，1，而当b=1时，若a=1，分式 无意义；若a=0，分式 无意义；若a=1，分式 无意义.所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义(或所求值不存在).,分式的加减法法则,第二课时,分式混合运算,你还记得分数的四则混合运算顺序吗？那么想一想，分式的混合运算是否类似呢？我们今天再来探讨一下！,2.体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值,1.理解分式混合运算的顺序；会正确进行分式的混合运算,数的混合

14、运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？,分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”,分式的混合运算,例1 计算：,这道题的运算顺序是怎样的？,较简单的分式的混合运算,解：,对于不带括号的分式混合运算：(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；(2)计算结果要化为最简分式,1.化简 的结果是()A.ab B.a+b C.D.,解析:,B,2.计算：=()A.B.C.D.解析：原式=,A,例2 计算：,较复杂的分式的混合运算,解：,对于带括号的分式混合运算：(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号

15、内的；(3)计算结果要化为最简分式或整式,3.用两种方法计算：,=,解：(按运算顺序)原式,=,(利用乘法分配律)原式,例3 根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么，,(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？,(1)原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？,解析：(1)原计划修建需 天，,实际修建需,天.,(2)实际修建比原计划缩短了(天).,利用分式的混合运算解决问题,4.在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1 km，下坡

16、时的速度为每小时v2 km，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时()A.km B.kmC.km D.无法确定,C,解析：设这段路长为s km，小明上坡用 h，下坡用 h，它走上、下坡的平均速度为,1.(2018威海)化简(a1)(1)a的结果是()A.a2 B.1 C.a2 D.1,解析：原式=(a1)a=(a1)()a=a2.,A,2.(2018永州)化简：(1+)+=,解析：(1+)+=+()(+)=()(+)=+.,+,计算.,先化简，再求值：其中m=2.,解：当m=2代入其中，得.,运算顺序：(1)先乘方，再乘除，然后加减.如果有括号，先算括号里面的.(2)分式的加减、乘除都是分式的

17、同级运算，同级运算是按从左往右的顺序运算.进行分式混合运算时注意：(1)正确运用运算法则；(2)灵活运用运算律；(3)运算结果要化简，且注意符号的处理，使结果为最简分式或整式.,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,15.2 分式的运算15.2.3 整数指数幂,第一课时,负整数指数幂,(1)(m，n是正整数),(2)(m，n是正整数),(3)(n是正整数),(4)(a0，m，n是正整数，mn),(5)(n是正整数),正整数指数幂有以下运算性质：,此外，还学过0指数幂，即a0=1(a0),1.知道负整数指数幂的意义及表示法.,2.能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.,将正整数

18、指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？,整数指数幂,am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？,根据分式的约分，当 a0 时，如何计算？,如果把正整数指数幂的运算性质(a0，m，n 是正整数，m n)中的条件m n 去掉，即假设这个性质对于像 的情形也能使用，如何计算？,a3a5=,a3a5=a3-5=a-2,(1),(2),数学中规定：当n 是正整数时，,这就是说，是an 的倒数,由(1)(2)想到，若规定a-2=(a0)，就能使aman=am-n 这条性质也适用于像a3a5的情形，因此：,1,1,1,填空：(1)=_，

19、=_；(2)=_，=_；(3)=_，=_(b0),引入负整数指数和0指数后，(m，n 是正整数)，这条性质能否推广到m，n 是任意整 数的情形？,例如：a5a-6=a(5-6)=a-1(a0),类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用.,例如：a0a-5=a0-5=a-5，a-3a-7=a-3+(-7)=a-10，a-2a-5=a-2-(-5)=a3，a0a-4=a0-(-4)=a4,(1)(m，n 是整数)；(2)(m，n 是整数)；(3)(n 是整数)；(4)(m，n 是整数)；(5)(n 是整数),数学中规定：当n

20、 是正整数时，,这就是说，a-n(a0)是an 的倒数,试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义.,当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.当m是负整数时，am表示|m|个 相乘.,例1计算：,解：,整数指数幂的计算,解：,1.计算：,2.计算：,解：(1)原式=x2y-3x-3y3=x2-3y-3+3=x-1=,(2)原式=a-2b-4c6a-6b3=a4b-7c6,能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？,根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，因此，即同底数幂的除法 可以

21、转化为同底数幂的乘法 特别地，,所以，,即商的乘方 可以转化为积的乘方,整数指数幂的性质,这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：,(1)(m，n 是整数)；(2)(m，n 是整数)；(3)(n 是整数),故等式正确.,例2 下列等式是否正确？为什么？(1)aman=ama-n；(2),解：(1)aman=am-n=am+(-n)=ama-n，aman=ama-n.故等式正确.,整数指数幂的性质的应用,(2),3.填空：(-3)2(-3)-2=()；10310-2=()；a-2a3=()；a3a-4=().4.计算：(1)0.10.13(2)(-5)2 008(-5)2 010(3)10010-

22、110-2(4)x-2x-3x2,1,10,a7,1.(2018广州)下列计算正确的是()A(a+b)2=a2+b2 Ba2+2a2=3a4Cx2y=x2(y0)D(2x2)3=8x6,2.(2018曲靖)下列计算正确的是()Aa2a=a2 Ba6a2=a3Ca2b2ba2=a2b D()3=,D,C,1.下列计算正确的是()A.30=0 B.-|-3|=-3C.3-1=-3 D.=3,2.下列计算不正确的是()A.B.C.D.,B,B,1.若0 x1，则x-1，x，x2的大小关系是()A.x-1xx2 B.xx2x-1C.x2xx-1 D.x2x-1x,C,2.计算.,若，试求 的值.,整数

23、指数幂,零指数幂：当a0时，a0=1,负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=(a0),整数指数幂的性质,(1)aman=am+n(m，n为整数，a0),(2)(ab)m=ambm(m为整数，a0，b0),(3)(am)n=amn(m，n为整数，a0),第二课时,用科学记数法表示绝对值小于1的数,通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.,2.了解负整数指数幂在科学记数法中的运用.,1.熟练应用整数指数幂的意义及性质进行综合计算.,对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第 一个非0数字前有8个0，用

24、科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？,用科学记数法表示绝对值小于1的小数,0.1=,0.01=,归纳：,0.000 098 2=9.820.000 01=9.82,0.003 5=3.50.001=3.5,如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？,观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？,对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几,(1)0.005,0.005,0.005=5 10-3,小数点原本的位置,小数点最后的位置,小数点向右移了3位,例1 用科学记数法表示

25、下列各数：,用科学记数法表示小于1的数,(2)0.0204,0.02 04,0.0204=2.0410-2,小数点原本的位置,小数点最后的位置,小数点向右移了2位,(3)0.00036,0.0003 6,0.000 36=3.610-4,小数点原本的位置,小数点最后的位置,小数点向右移了4位,解：(1)0.3=310-1；(2)-0.000 78=-7.810-4；(3)0.000 020 09=2.00910-5.,1.用科学记数法表示下列各数：(1)0.3；(2)-0.000 78；(3)0.00002009.,科学记数法有关计算,例2 计算下列各题：(1)(410-6)(2103)(2)

26、(1.610-4)(510-2),方法总结：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.,解：(1)(410-6)(2103)=(-42)(10-6103)=-210-9,(2)(1.610-4)(510-2)=(1.65)(10-410-2)=810-6,2.计算：,(1)(2106)(3.2103)(2)(2106)2(104)3,解：(1)(2106)(3.2103)=(23.2)(10-6103)=6.410-3,(2)(2106)2(104)3=(410-12)10-12=410-12-(-12)=4100=41=4,例3 纳米(nm)是非常小的

27、长度单位，1 nm=109 m，把1 nm的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计),解：1 mm=103 m，1 nm=109 m.(103)3(109)3=109 1027=1018，1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.,利用科学记数法解答实际问题,3.某种大肠杆菌的半径是3.510-6 m，一只苍蝇携带这种细菌1.4103个.如果把这种细菌近似地看成球状，那么这只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少立方米？(结果精确到0.001，球的体积公式V=R3)解：每个大肠杆菌的体积是(3.510-6)31.

28、79610-16(m3)，总体积=1.79610-161.41032.51410-13(m3).答：这只苍蝇共携带大肠杆菌的总体积是2.51410-13m3.,(2018张家界)目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米=109米，用科学记数法将16纳米表示为_米,解析：1纳米=109米，16纳米=1.6108米,1.6108,用科学记数法表示下列各数：(1)0.001=；(2)-0.000001=；(3)0.001357=；(4)-0.000504=.,1.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.(1)4.510-8=；(2)-3.1

29、410-6=；(3)3.0510-3=.,0.000000045,-0.00000314,-0.00305,2.计算(结果用科学记数法表示).(1)(610-3)(1.810-4)；(2)(1.8103)(310-4).,解：原式=1.0810-6,解：原式=0.6107=6106,一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数),解：这种光纤的横截面积为 1(1.25610-4)8.0103答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0103倍.,用科学记数法表示绝对值小于1的数,绝对值小于1

30、的数用科学记数法表示为a10-n的形式，1a 10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面那个0).,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,1.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。,如何学好初中数学？,2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。,3.认真反思错题并不是简单的想想自己

31、为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。,4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。,5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。,