人教版九年级数学上册全册全套课件.pptx

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1、全册课件,精品,人教版九年级数学上册全册全套课件,2023/4/1,21.1 一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,学习目标,1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）,导入新课,复习引入,没有未知数,代数式,一元一次方程,二元一次方程,不等式,分式方程,2.什么叫方程？我们学过哪些方程？,含有未知数的等式叫做方程.,我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.,3.什么叫一元一次方程？,含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.,问题

2、1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？,100cm,50cm,x,3600cm2,解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（1002x)cm,宽为(502x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得,化简，得,讲授新课,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解：根据题意，

3、列方程：,化简，得：,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？,1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面_m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.,32x,2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？,整理以上方程可得：,思考：,220 x,3220(32x220 x)2x2=570,2x2,x2-36x35=0,想一想：,还有其它的列法吗？试说明原因.,(20-

4、x)(32-2x)=570,32-2x,20-x,观察与思考,方程、都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,x2-36x35=0,只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.,ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0),ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.bx 称为一次项,b 称为一次项系数.c 称为常数项.,知识要点,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式是,想一想 为什么一般形式中ax2

5、+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？,当 a=0 时,bxc=0,当 a 0，b=0时，,ax2c=0,当 a 0，c=0时，,ax2bx=0,当 a 0，b=c=0时，,ax2=0,总结：只要满足a 0，b，c 可以为任意实数.,典例精析,例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）,C,不是整式方程,含两个未知数,化简整理成x2-3x+2=0,少了限制条件a0,判断下列方程是否为一元二次方程？,(2)x3+x2=36,(3)x+3y=36,(5)x+1=0,(1)x2+x=36,例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？,(1)ax2x=2x2,(2)(a1)x|a|+1 2x

6、7=0.,解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由a+1=2，且a-1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.,方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值,变式：方程(2a-4)x22bx+a=0,（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？,解（1）当 2a40，即a 2 时是一元二次方程,（2）当a=2 且 b 0 时是一元一次方程,思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？,

7、ax=b(a0）,ax2+bx+c=0(a0）,整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是1,未知数最高次数是2,例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.,解：,去括号，得,3x2-3x=5x+10.,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式,3x2-8x-10=0.,其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.,一元二次方程的根,使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.,练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6=0 的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4

8、,解：,3和-2.,你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.,例4：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根,求 2a2+4a+2018的值.,解：由题意得,方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,当堂练习,1.下列哪些是一元二次方程？,3x+2=5x-2,x2=0,(x+3)(2x-4)=x2,3y2=(3y+1)(y-2),x2=x3+x2-1,3x2=5x-1,2.填空：,-2,1,3,1,3,-5,4,0,-5,3,-2,4.已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则的值为_,3.关

9、于x的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当k 时，是一元二次方程当k 时，是一元一次方程,1,1,4.(1)如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.,解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.,整理，得,根据题意有，,200cm,150cm,(2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.,解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x,整理，得,根据题意有，,5.

10、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.,解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得,32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0,有一个根为0，求m的值.,解：将x=0代入方程m2-4=0，,解得m=2.,m+2 0，,m-2，,综上所述：m=2.,拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一个根为1,求a+b+c的值.,解：由题意得,思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?,解：由题意得,方程ax2+bx+c=0(a0)的一

11、个根是1.,2.若 a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?,x=2,课堂小结,一元二次方程,概念,是整式方程；含一个未知数；最高次数是2.,一般形式,ax2+bx+c=0(a 0)其中(a0)是一元二次方程的必要条件；,根,使方程左右两边相等的未知数的值.,21.2.1 配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 直接开平方法,学习目标,1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p0)的方程.(重点）,1.如果 x2=a,则x叫做a

12、的.,导入新课,复习引入,平方根,2.如果 x2=a(a 0),则x=.,3.如果 x2=64,则x=.,8,4.任何数都可以作为被开方数吗？,负数不可以作为被开方数.,讲授新课,问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？,解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程,106x2=1500，,由此可得,x2=25,开平方得,即x1=5，x2=5.,因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm,x=5，,试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.,(1)x2=4,(2)x

13、2=0,(3)x2+1=0,解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.,解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.,解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.,(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根=0；,(3)当p0 时,因为任何实数x，都有x20，所以方程(I)无实数根.,探究归纳,一般的，对于可化为方程 x2=p,(I),(1)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；,例1 利用直接开平方法解下列方程:,解：,（1）x2=6，,直接开平方，得,（2）移项，得,x2=900.,直接开平方，得,x=30，,x1=30,x2=3

14、0.,典例精析,在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5，得,对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5,探究交流,于是，方程（x+3）2=5的两个根为,上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.,解题归纳,例2 解下列方程：（x1）2=2；,解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.,解：（1）x+1是2的平方根，,x+1=,解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.,例2 解下列方程：（2）（x1）24=0；,即x1=3，x2=-

15、1.,解：（2）移项，得（x-1）2=4.,x-1是4的平方根，,x-1=2.,(3)12（32x）23=0.,解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.,解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，,两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.,3-2x是0.25的平方根，,3-2x=0.5.,即3-2x=0.5,3-2x=-0.5,解：,方程的两根为,解：,方程的两根为,例3 解下列方程：,1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.

16、,2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.,探讨交流,当堂练习,(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4,1.下列解方程的过程中，正确的是（）,(A)x2=-2,解方程，得x=,(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4,D,(1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.,3.解下列方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)2=4.,x1=0.5,x2=-0.5,x13,x2-3,x12,x21,2.填空:,解：x19,x29；,解：x15,x25；,解：x11,

17、x23.,4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.,解：,解：不对，从开始错，应改为,解方程:,挑战自我,解：,方程的两根为,课堂小结,直接开平方法,概念,步骤,基本思路,利用平方根的定义求方程的根的方法,关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).,一元二次方程,两个一元一次方程,降次,直接开平方法,21.2.1 配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 配方法,学习目标,1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.

18、探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）,导入新课,复习引入,(1)9x2=1；,(2)(x-2)2=2.,2.下列方程能用直接开平方法来解吗?,1.用直接开平方法解下列方程:,(1)x2+6x+9=5；,(2)x2+6x+4=0.,把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方,讲授新课,问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.,(1)a2+2ab+b2=()2；,(2)a2-2ab+b2=()2.,a+b,a-b,探究交流,问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.,（1）x2+4x+=(x+)2,（2）x2-6x+=(x-)2,（3）x2+8x+=(x+)2,（

19、4）,x2-x+=(x-)2,你发现了什么规律？,22,2,32,3,42,4,二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.,归纳总结,想一想：x2+px+()2=(x+)2,配方的方法,合作探究,怎样解方程:x2+6x+4=0(1),问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？,解：,x2+6x+4=0,x2+6x=-4,移项,x2+6x+9=-4+9,两边都加上9,二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.,方法归纳,在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.,问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其

20、他数行吗？,不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.,方程配方的方法：,要点归纳,像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.,配方法的定义,配方法解方程的基本思路,把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解,例1 解下列方程：,解：（1）移项，得,x28x=1,配方，得,x28x+42=1+42,(x4)2=15,由此可得,即,配方，得,由此可得,二次项系数化为1，得,解：移项，得,2x23x=1,即,移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?,配方，得,因为实数的平方不会是负数，

21、所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为1，得,为什么方程两边都加12？,即,思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？,思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.,移项时需注意改变符号.,移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；降次；解一次方程.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.,当p0时,则,方程的两个根为当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当p0时,则方程(x+n)2=p无实数根.,规律总结,例2.试用配方法说明：不论k取何实数，

22、多项式 k24k5 的值必定大于零.,解：k24k5=k24k41,=（k2）21,因为（k2）20，所以（k2）211.,所以k24k5的值必定大于零.,例3.若a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为直角三角形.,1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（）A.1 B.1 C.1或2 D.1或-22.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.,练一练,C,解：原式=2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3,解：原式=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-

23、4,归纳总结,配方法的应用,1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）,对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.,2.完全平方式中的配方,如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.,3.利用配方构成非负数和的形式,对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.,例4.读诗词解题：（通过列方程，

24、算出周瑜去世时的年龄.）大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？,解：设个位数字为x，十位数字为(x-3),x1=6,x2=5,x2-11x=-30,x2-11x+5.52=-30+5.52,(x-5.5)2=0.25,x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5,x2=10(x-3)+x,这个两位数为36或25，,周瑜去世的年龄为36岁.,周瑜30岁还攻打过东吴，,1.解下列方程：,（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.,解

25、：x2+2x+2=0，,(x+1)2=-1.,此方程无解；,解：x2-4x-12=0，,(x-2)2=16.,x1=6,x2=-2；,解：x2+2x-3=0，,(x+1)2=4.,x1=-3,x2=1.,当堂练习,2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.,解：x2x1=(x2+x+)+1,所以x2x1的值必定小于零.,当 时，x2x1有最大值,3.若，求(xy)z 的值.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多

26、少？,解：设道路的宽为xm,根据题意得,（35-x)(26-x)=850，,整理得,x2-61x+60=0.,解得,x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.,答：道路的宽为1m.,5.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为等边三角形.,课堂小结,配方法,定义,通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.,步骤,一移常数项；二配方配上；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.,特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.,应用,求代数式的最值或证明,21.2 解一元二次方程,第二十一

27、章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,21.2.2 公式法,学习目标,1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.,导入新课,复习引入,1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？,2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?,导入新课,问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？,讲授新课,任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 能否也

28、用配方法得出它的解呢？,合作探究,用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0).,方程两边都除以a,解:,移项，得,配方，得,即,问题：接下来能用直接开平方解吗？,即,一元二次方程的求根公式,特别提醒,a 0,4a20，,当b2-4ac 0时，,a 0,4a20，,当b2-4ac 0时，,而x取任何实数都不能使上式成立.,因此，方程无实数根.,由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a0)，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一

29、元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.,用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0);2.b2-4ac0.,视频：求根公式的趣味记忆,例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0,解：a=5,b=-4,c=-12，,b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.,典例精析,例2 解方程：,化简为一般式：,解：,即：,这里的a、b、c的值是什么？,例3 解方程：（精确到0.001）.,解：,用计算器求得：,例4 解方程：4x2-3x+2=0,因为在实数范围内负数不能开平方，

30、所以方程无实数根.,解：,要点归纳,公式法解方程的步骤,1.变形:化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:b2-4ac的值;4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出;若b2-4ac0，则方程没有实数根.,两个不相等实数根,两个相等实数根,没有实数根,两个实数根,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=b2-4ac.,0,=0,0,0,按要求完成下列表格：,练一练,0,4,有两个相等的实数根,没有实数根,有两个不相等的实数根,3.判别根的情况，得出结论.,1.化为一般式，确定a,b,c的值.,要点归纳,根的

31、判别式使用方法,2.计算 的值，确定 的符号.,例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定,解析：原方程变形为x2+x-1=0.b2-4ac=1-41（-1）=50，该方程有两个不相等的实数根，故选B.,B,b2-4ac 0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0时,方程无实数根.,例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k-1 B.k-1且k0 C.k1 D.k1且k0,

32、解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac0，同时要求二次项系数不为0，即，k0.解得k-1且k0，故选B.,B,例7:不解方程，判断下列方程的根的情况（1）3x2+4x3=0；（2）4x2=12x9;(3)7y=5(y2+1).,解：（1）3x2+4x3=0，a=3,b=4,c=3,b24ac=3243(3)=520.方程有两个不相等的实数根（2）方程化为：4x212x+9=0,b24ac=(12)2449=0.方程有两个相等的实数根,例7:不解方程，判断下列方程的根的情况(3)7y=5(y2+1).,解：（3）方程化为：5y27y+5=0,b24ac=(7)2455=5

33、10.方程有两个相等的实数根,1.解方程：x2+7x 18=0.,解：这里 a=1,b=7,c=-18.b 2-4ac=7 2 4 1(-18)=1210,即 x1=-9,x2=2.,当堂练习,2.解方程（x-2)(1-3x)=6.,解：去括号，得 x 2-3x2+6x=6,化简为一般式 3x2-7x+8=0,这里 a=3,b=-7,c=8.b2-4ac=(-7)2 4 3 8=4996=-47 0,原方程没有实数根.,3.解方程：2x2-x+3=0 解：这里 a=2,b=-,c=3.b2-4ac=27-423=3 0,即 x1=x2=,4.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是.

34、,注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.,解：,5.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0;(3)x2-x+1=0.,解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,b2-4ac=32-42(-4)=410.方程有两个不相等的实数根（2）x2-x+=0,a=1,b=-1,c=.b2-4ac=(-1)2-41=0.方程有两个相等的实数根,（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.b2-4ac=(-1)2-411=-30.方程无实数根,(3)x2-x+1=0.,6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情

35、况.,解：,所以方程有两个实数根,能力提升：在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求ABC 的周长.,解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实 数根，,所以=b24ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.,所以b=-10或b=2.,将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；,将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；,所以ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.,课堂小结,公式法,求根公式,步骤,一化（一般形式）；二定（系

36、数值）；三求（值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.,根的判别式b2-4ac,务必将方程化为一般形式,21.2 解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,学习目标,1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）,导入新课,复习引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？,2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-

37、4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0 时,方程无实数根.,讲授新课,算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.,-4,1,2,3,-1,x1+x2=-3,x1 x2=-4,x1+x2=5,x1 x2=6,猜一猜,（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？,重要发现如果方程x2+px+

38、q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2=-p,x1 x2=q.,猜一猜,（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？,证一证：,一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）,如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2，那么,满足上述关系的前提条件,b2-4ac0.,归纳总结,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;,解：这里 a=1,b=7

39、,c=6.=b2-4ac=72 4 1 6=25 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1 x2=6.,（2）2x2-3x-2=0.,解：这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=（-3）2 4 2(-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是，k=7.,变式：已知方

40、程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=15=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：根据根与系数的关系可知：,设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).,4,1,14,12,练一练,例4：设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得=4（

41、k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4,解得 k1=0,k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.,总结常见的求值:,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,当堂练习,1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.,2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.,1,-2,-3

42、,3.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得 m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=,4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.,解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；,（2）因为k=-7,所以 则：,5.设x1,x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2),解:根据根与系

43、数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=（2）,6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,拓展提升,由根与系数的关系，得,7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-x2=1 求m的值.,解：(1)方程有实数根,m的取值范围为m0,(2)方程有实数根x1,x2,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,解得m=8.,经检验m=8是原方程的

44、解,课堂小结,根与系数的关系（韦达定理）,内 容,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么,应 用,21.3 实际问题与一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 传播问题与一元二次方程,学习目标,1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.,视频引入,导入新课,导入新课,图片引入,传染病，一传十,十传百,讲授新课,引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传

45、染中平均一个人传染了几个人?,分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下：,合作探究,第2轮,小明,1,2,x,第1轮,第1轮传染后人数x+1,小明,第2轮传染后人数x(x+1)+x+1,注意：不要忽视小明的二次传染,x1=,x2=.,根据示意图，列表如下：,解方程,得,答:平均一个人传染了_个人.,10,-12,(不合题意,舍去),10,解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.,(1+x)2=121,注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.,1+x=(1+x)1,1+x+x(1+x)=(1+x)2,想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后

46、有多少人患流感?,第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.,分析,第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.,(1+x)3,思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？,(1+x)2,(1+x)n,(1+x)3,经过n轮传染后共有(1+x)n 人患流感.,(1+x)2,(1+x)2x,(1+x)2+(1+x)2x=,例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?,主干,支干,支干

47、,小分支,小分支,小分支,小分支,x,x,x,1,解:设每个支干长出x个小分支,则 1+x+x2=91,即,解得,x1=9,x2=10(不合题意,舍去),答:每个支干长出9个小分支.,交流讨论,1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？,每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.,2.解决这类传播问题有什么经验和方法？,（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.,方法归纳,建立一元二次方程模型,分析数量关系设未知数,检 验,运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？,例2：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电

48、脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？,解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1xx(1x)100，即(1x)2100.解得 x19，x211(舍去)x9.,4轮感染后，被感染的电脑数为(1x)41047000.,答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台,1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.每轮感染中平均一台电脑会感染几台

49、电脑？,练一练,解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.,答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台.,解得x1=19 或 x2=-21(舍去),依题意 60+60 x+60 x(1+x)=2400,60(1+x)2=2400,2.某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞.（1）经过三轮分裂后细胞的个数是.（2）n轮分裂后，细胞的个数共是.,8,2n,1,2,2,2,4,4,4,8,8,=22,=23,=21,2n,1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那

50、么所列方程为（）A.x2=1980 B.x(x+1)=1980 C.x(x-1)=1980 D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2=73 D.(1+x)2=73,当堂练习,D,B,3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？,A.10 B.9 C.8 D.7,D,4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书