人教版九年级下册数学教学ppt课件全套.pptx

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1、,26.1 反比例函数,人教版 数学 九年级 下册,26.1.1 反比例函数,2023/4/1,当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？,1.理解并掌握反比例函数的概念.,2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.,素养目标,3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.,(2)某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y(单位：m)随宽 x(单位：m)的变化而变化；,(3)已知北京市的总面积为1.68104 km

2、2，人均占有面积 S(单位：km2/人)随全市总人口 n(单位：人)的变化而变化.,【观察】这三个函数解析式有什么共同点？,一般地,形如(k是常数，k0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数,都是 的形式，其中k是非零常数。,传授新知,反比例函数：形如（k为常数，且k0）,因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.,2.在实际问题中自变量x的取值范围是什么？,要根据具体情况来确定.,例如，在前面得到的第二个解析式，x的取值范围是 x0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都有唯一确定的值与其对应.,反比例函数的三种表达方式：(注意 k 0),3.形如 的

3、式子是反比例函数吗？,式子 呢？,1.下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？,y=3x-1 y=2x2,y=3x-1,不是,是，k=1,不是,不是,是，k=3,是，,是，,2.在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）,A.B.C.xy=5 D.,C,例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.,解得 m=2.,解：因为 是反比例函数，,归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为1，且系数不等于0.,3.(1)当m=_时，函数 是反比例函数.,(2)已知函数 是反比例函数,则 m=_.,1.5,6,(3)若函数 是反

4、比例函数,则m的值为_.,2,例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.(1)写出 y 关于 x 的函数解析式；,分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设.把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值.,解：(1)设.因为当 x=2时，y=6，所以有,解得 k=12.,因此,利用待定系数法求反比例函数的解析式,(2)当 x=4 时，求 y 的值.,(2)把 x=4 代入，得,用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：（1）设，即设所求的反比例函数解析式为（k0）（2）代，即将已知条件中对应的 x、y 值代入 中得到关于k的方程（3）解，即解方程，求出 k

5、 的值（4）定，即将 k 值代入 中，确定函数解析式,归纳总结,4.已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x=3 时，y=4.,(1)写出 y 关于 x 的函数解析式；(2)当 x=7 时，求 y 的值,解：(1)设，因为当 x=3 时，y=4，,所以有，解得 k=16，因此.,(2)当 x=7 时，,人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f(度)是车速 v(km/h)的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.,当 v=100 时，

6、f=40.所以当车速为100km/h 时视野为40度.,解：设.由题意知，当 v=50时，f=80，,解得 k=4000.,因此,所以,建立反比例函数的模型解答问题,5.如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y.写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.,解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，,所以,所以变量 y与 x 之间的关系式为，它是反比例函数.,（2018柳州）已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（）Aa2 Ba2 Ca2 Da=2,巩固练习,C,1.下列函数：（1），（2），（3）xy=9，（4），（5），（6）

7、y=2x1，（7），其中是反比例函数的是_,（2）,（3）,（5）,3矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为,2苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数解析式为_,4若函数 是反比例函数，则m的取值是,3,5已知y与x成反比例，且当x=2时，y=3，则 y与x之间的函数解析式是，当x=3时，y=,2,小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速度为 v(m/min)，所用的时间为 t(min)(1)求变量 v 和 t 之间的函数关系式；,解：(t0),(2)小明星期二步行上学用了 25 m

8、in，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？,12540=85(m/min)答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.,解：当 t=25 时，；,当 t=8 时，；,已知 y=y1+y2，y1与(x1)成正比例，y2 与(x+1)成反比例，当 x=0 时，y=3；当 x=1 时，y=1，求：,(1)y 关于 x 的关系式；,解：设 y1=k1(x1)(k10)，(k20)，,则.,x=0 时，y=3；x=1 时，y=1，,k1=1，k2=2.,(2)当 时，y 的值.,解：把 代入(1)中函数关系式，得,建立反比例函数模型,用待定系数法

9、求反比例函数解析式,反比例函数：定义/三种表达方式,课后作业,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,26.1 反比例函数,第一课时,第二课时,人教版 数学 九年级 下册,26.1.2 反比例函数的图象和性质,初步认识反比例函数的图象和性质,第一课时,返回,（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？,刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人”.如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s.,（1）你能写出用t 表示v 的函数表达式吗?,2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质.,1.会

10、用描点法画反比例函数的图象.,素养目标,3.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法.,画出反比例函数 与 的图象.,反比例函数的图象和性质,【想一想】,用“描点法”画函数图象都有哪几步？,列表,描点,连线,解：列表如下：,1,1.2,1.5,2,3,6,6,3,2,1.5,1.2,1,2,2.4,3,4,6,6,4,3,2.4,2,12,12,注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。,O,2,描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,连线：用光滑的曲

11、线顺次连接各点，即可得 的图象,x 增大,O,2,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,观察这两个函数图象，回答问题：,【思考】,(1)每个函数图象分 别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？,y 减小,(3)对于反比例函数(k0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？,（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；（2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.,反比例函数(k0)的图象和性质：,归纳：,1.(1)函数 图象在第_象限，在

12、每个象限内，y随x的增大而 _.,一、三,减小,(2)已知反比例函数 在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_.,m2,C,例1 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1 x2，则 y1与y2的大小关系为（）,解析：因为80，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1x2，可知y1，y2的大小关系.,利用反比例函数的性质比较大小,观察与思考,当 k=2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？,回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k0)的性质的过程，你能用类似的方法研究

13、反比例函数(k0)的图象和性质吗？,反比例函数(k0)的图象和性质：,（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大.,归纳：,反比例函数的图象和性质,形状,位置,增减性,图象的发展趋势,对称性,由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;,当k0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;当k0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;,当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.,反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.,（1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.

14、直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.,2.（1）已知点 A（3，a），B（2，b），在双曲线，则 a_b(填、=或).,（2）已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数（k0)的图象上,则下列结论中正确的是()A.y1y2y3B.y1y3y2 C.y3y1y2 D.y2y3y1,B,例2 已知反比例函数，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.,解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.,利用反比例函数的图象和性质求字母的值,3.已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值

15、,解：由题意得 m210=1，且 3m80 解得m=3.,1.（2018怀化）函数y=kx3与（k0）在同一坐标系内的图象可能是（）A B C D,巩固练习,B,连接中考,2.（2018德州）给出下列函数：y=3x+2；y=2x2；y=3x，上述函数中符合条件“当x1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）ABCD,B,1.（2018香坊区）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A点（2，1）在它的图象上B它的图象在第一、三象限C当x0时，y随x的增大而增大D当x0时，y随x的增大而减小,C,2.（2018上海）已知反比例函数（k是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_,3

16、.下列关于反比例函数 的图象的三个结论：(1)经过点(1，12)和点(10，1.2)；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是(填序号).,(1),k1,(3),y3 y1y2,2.已知反比例函数 y=mxm5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.,解：因为反比例函数 y=mxm5 的两个分支分别在第一、第三象限，,所以有,解得 m=2.,点(a1，y1)，(a1，y2)在反比例函数(k0)的图象上，若y1y2，求a的取值范围.,解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.a1a+1，无解；当这两点分别位于图象的两支上时

17、，y1y2，必有 y10y2.a10，a+10，解得：1a1.故 a 的取值范围为：1a1,当这两点在图象的同一支上时，,y1y2，,k0，一、三象限,双曲线,k0，二、四象限,当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小,当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大,增减性,双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点,对称性,既是轴对称图形也是中心对称图形,=(),=(）,=(),与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称,或,或,反比例函数的图象和性质 的综合运用,第二课时,返回,二、四象限,一、三象限,位置,增减性,位置,增减性,y=kx(k0),直线,双曲线,y随x的增大而增大,一、三象限,在每个象

18、限，y随x的增大而减小,二、四象限,y随x的增大而减小,在每个象限，y随x的增大而增大,正比例函数和反比例函数的区别,用对比的方法去记忆效果如何？,3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.,1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.,2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题,素养目标,已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？,利用待定系数法确定反比例函数解析式,解：（1）因为点A（2,6）在第一象

19、限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。,解：（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得 k=12.,因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.,所以反比例函数的解析式为.,方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，则不在,【讨论】已

20、知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?,1.已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)(1)求这个函数的表达式；,解：反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，把点 A 的坐标代入表达式，得，,解得 k=6.这个函数的表达式为.,(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；,解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上,(3)当 3 x 1 时，求 y 的取值范围,解：当 x=3时，y=2；当 x=1时，y=

21、6，且 k 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 3 x 1 时，6 y 2.,解：（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限,函数的图象在第一、第三象限，,m，,解得 m,（）m，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，,当aa时，bb,【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?,注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k0时，y随x的增大而增大，从而出现错误

22、.,2.如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于 给出的下列说法：常数k的取值范围是；另一个分支在第三象限；在函数图象上取点 和，当 时，；在函数图象的某一个分支上取点 和，当 时，其中正确的是_（在横线上填出正确的序号）,在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：,反比例函数中k的几何意义,5,P,S1,S2,4,4,S1=S2,S1=S2=k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：,4,4,S1=S2,S1=S2=k,S1,S2,由前面的探

23、究过程，可以猜想：,若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.,S,我们就 k 0 的情况给出证明：,设点 P 的坐标为(a，b),A,B,点 P(a，b)在函数 的图象上，,，即 ab=k.,S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；,若点 P 在第二象限，则 a0，,若点 P 在第四象限，则 a0，b0，,S矩形 AOBP=PBPA=a(b)=ab=k.,综上，S矩形 AOBP=|k|.,自己尝试证明 k 0的情况.,点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x

24、轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ=.推理：QAO与QBO的面积和 k 的关系是.,Q,对于反比例函数，,A,B,|k|,反比例函数的面积不变性,要点归纳,3.如图，点B在反比例函数(x0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4,B,例1 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式,解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，点A在反比例函数 的图象上，xAyAk，反比例函数的表达式为,通过图形面积确定k的值,，k4，,4.如图所示，

25、过反比例函数（x0）的图象上一点A，作ABx轴于点B，连接AO.若SAOB=3,则k的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7,C,例2 如图，P，C是函数(x0)图象上的任意两点，PA，CD 垂直于x 轴.设POA 的面积为S1，则 S1=；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.,2,S1,S2,S3,利用k的性质判断图形面积的关系,A.SA SBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASCSB,5.如图，在函数(x0)的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一

26、点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则(),C,y,D,B,A,C,x,例3 如图，点 A 是反比例函数(x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数(x0)的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S四边形ABCD=_.,3,2,5,根据k的几何意义求图形的面积,方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.,6.如图，函数 yx 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为()A.2 B.

27、4 C.6 D.8,D,C,A,B,D,4,4,在同一坐标系中，函数 和 y=k2 x+b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？,k2 0b 0,k1 0,k2 0b 0,k1 0,k2 0b 0,k1 0,k2 0,k1 0,在同一坐标系中，函数 和 y=k2 x+b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？,例4 函数 y=kxk 与 的图象大致是(),D.,x,y,O,y,y,x,B.,x,y,O,D,O,O,k0,k0,k0,k0,由一次函数增减性得k0,由一次函数与y轴交点知k0，则k0,x,提示：可对 k 的正负性进行分类讨论.,根据k的值识别函数的图形

28、,7.在同一直角坐标系中，函数 与 y=ax+1(a0)的图象可能是(),B,例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为.,23,解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，,通过函数图形确定字母的取值范围,方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.,可知23.,8.如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集是_,1x5,例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.,由于这两个函数的图象交于点

29、 P(3，4)，则点P 的坐标分别满足这两个解析式.,解：设 y=k1x 和.,所以，.,解得.,利用函数的交点解答问题,则这两个函数的解析式分别为 和，它们的图象如图所示.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,【想一想】,9.反比例函数 的图象与正比例函数 y=3x 的图象的交点坐标为,(2，6)，(2，6),解析：联立两个函数解析式解方程得：,解得：,1.（2019兰州）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数（x0）的图象上 S矩形OABC 6，则k,6,A,B,C,2.（2018岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的

30、右侧），作BCy轴，垂足为点C，连结AB，AC（1）求该反比例函数的解析式；（2）若ABC的面积为6，求直线AB的表达式,解：（1）由题意得，k=xy=23=6，反比例函数的解析式为（2）设B点坐标为（a，b），如图，作ADBC于D，则D（2，b）反比例函数 的图象经过点B（a，b），SABC.设AB的解析式为y=kx+b，将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得 解得，,巩固练习,，,解得a=6，,B（6，1）,直线AB的解析式为.,D,1.（2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数 的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是（）Am+n0 Bm+n0 Cmn Dm

31、n,D,2.（2018连云港）已知A（4，y1），B（1，y2）是反比例函数 图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_,y1y2,3.在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_,k9,1.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象 交于点A（2，3）（1）求k、m的值；（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围,（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x2.,解：（1）将A（2，3）分别代入 y=kx 和可得：3=2k 和解得：，m=6.,2.（2018贵港）如图，已知反比例函数（x0）的图象与一次函数 的图象交于A和B（6，n）两点（1

32、）求 k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数（x0）的图象上，求当2 x 6时，函数值 y的取值范围,解：（1）当x=6时，点B的坐标为（6，1）反比例函数 过点B（6，1），k=61=6（2）k=60，当x0时，y随x值增大而减小，当2 x 6时，1 y 3,如图，反比例函数 与一次函数 y=x+2 的图象交于 A，B 两点.(1)求 A，B 两点的坐标；,解：,解得,所以A(2，4)，B(4，2).,或,作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2.,(2)求AOB的面积.,解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，OM=2.,M,C,D,SOMB=OMBD2=222=2，,

33、SOMA=OMAC2=242=4，,SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.,面积问题,与一次函数的综合,反比例函数图象和性质的综合运用,面积不变性,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负,课后作业,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,26.2 实际问题与反比例函数,第一课时,第二课时,人教版 数学 九年级 下册,实际生活中的反比例函数,第一课时,返回,你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？,（1）体积为20

34、cm3的面团做成拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）s（单位：cm2）有怎样的函数关系？,（2）某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗1mm2，面条总长是多少？,（s0）,1.灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.,2.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题.,素养目标,3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围.,例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系?,解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd=104，,S 关于d 的函数解析式为,利用反比例函

35、数解决实际问题,利用反比例函数解答几何图形问题,(2)公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深?,解得 d=20（m）.如果把储存室的底面积定为 500 m，施工时应向地下掘进 20 m 深.,解：把 S=500 代入，得,(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?,解得 S666.67(m).,当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m.,解：根据题意，把 d=15 代入，得,第（1）问的解题思路是什么？第（2）问和

36、第（3）问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？,方法点拨：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，然后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积底面积高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.第（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，第（3）问则是与第（2）问相反,【思考】,1.我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s0）请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式 实例：；函数关系式：,解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习

37、可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s0）,2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L1dm3)的圆锥形漏斗（1）漏斗口的面积 S(单位：dm2)与漏斗的深 d(单位：dm)有怎样的函数关系?,解：,（2）如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？,解：10cm=1dm，把 d=1 代入解析式，得 S=3.所以漏斗口的面积为 3 dm2.,(3)如果漏斗口的面积为60 cm2，则漏斗的深为多少?,解：60 cm2=0.6 dm2，把 S=0.6 代入解析式，得

38、d=5.所以漏斗的深为 5 dm.,例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?,解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得k=308=240，所以 v 关于 t 的函数解析式为,利用反比例函数解答运输问题,分析：根据“平均装货速度装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量卸货天数”，得到v 关于t 的函数解析式.,(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?,从结果可以看出，

39、如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大.这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.,解：把 t=5 代入，得,（吨天）,【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？,方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量工作速度工作时间，题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系第（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值,3.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现

40、在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天.（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画出函数图象；（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？,解：（1）煤的总量为：0.6150=90（吨），xy=90，（2）函数的图象为：（3）每天节约0.1吨煤，每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨），（天），这批煤能维持180天,例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时到达乙地.（1）甲、乙两地相距多少千米？,解：806=480（千米）答：甲、乙两地相距 480 千米.,（2）当他按原路匀速返回时

41、，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？,解：由题意得 vt=480，,整理得（t 0）.,利用反比例函数解答行程问题,4.A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.（1）火车的速度 v（千米/时）和行驶的时间 t（时）之间的函数关系是（2）若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于,240千米/时,（2018杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）（1）求 v 关于 t 的函数表达式（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平

42、均每小时至少要卸货多少吨？,巩固练习,巩固练习,解：（1）由题意可得：100=vt，则；（2）不超过5小时卸完船上的这批货物，t5，则，答：平均每小时至少要卸货20吨,1一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）A Bv+t=480 C D,A,2.体积为 20 cm3 的圆柱体，圆柱体的高为 y(单位：cm）与圆柱的底面积 S(单位：cm2）的函数关系，若圆柱的底面面积为 10 mm2，则圆柱的高是 cm.,200,3.有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人）与x（

43、个）之间的函数是_函数，其函数关系式是_ 当人数增多时，每人分得的苹果就会减少，这正符合函数（k0），当x0时，y随x的增大而_的性质.,反比例,减少,刘东家离工作单位的距离为7200 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟(1)速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？,(2)若刘东到单位用 30 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？,解：,解：把 t=30代入函数的解析式，得：答：他骑车的平均速度是 240 米/分.,(3)如果刘东骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位?,解：把 v=300 代入函数解析式得：解得：t=24答：他至少需要

44、 24 分钟到达单位,在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y（天）与每天完成的工程量 x（m/天）的函数关系图象如图所示.（1）请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；,解：,(2)若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？,解：由图象可知共需开挖水渠 2450=1200(m)，2 台挖掘机需要 1200(215)=40(天).,(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？,解：120030=40(m)，故每天至少要完成40 m,实

45、际问题中的反比例函数,过程：分析实际情境建立函数模型明确数学问题,注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同.,物理学科中的反比例函数,第二课时,返回,给我一个支点，我可以撬动地球！阿基米德1你认为可能吗？2大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？3同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？,2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.,1.体验现实生活与反比例函数的关系，通过“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题与反比例函数的关系.,素养目标,支点,小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1

46、200N 和0.5m.（1）动力 F 与动力臂l 有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?,解：根据“杠杆原理”，得 Fl=12000.5，,F 关于l 的函数解析式为,对于函数，当 l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.,反比例函数与力学,（2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?,分析：对于函数，F 随 l 的增大而减小.因此，只要求出 F=200 N 时对应的l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量.,3001.5=1.5（m）.,对于函数，当 l 0 时，l 越大，F 越小.

47、因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.,解：当 时，由，得,【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？,1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为100牛和0.2米，那么动力F和动力臂L之间的函数关系式是_2.小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时

48、，撬动石头至少需要的力为_牛顿,500,某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S(m2)的变化，人和木板对地面的压强 p(Pa)也随之变化.如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么(1)用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？,解：由 得,p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数,(2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？,解：当S 0.2 m2 时，故当木板面积为0.2m2时，压强是3000P

49、a,(3)如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？,解：当 p=6000 时，由 得,对于函数，当 S 0 时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.,(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象,解：如图所示.,3.在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离s（单位：m）成反比例关系，其图象如图所示，点P（5，1）在图象上，则当力F达到10 N时，物体在力的方向上移动的距离是_m.,0.5,一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110220.已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功

50、率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?,解：根据电学知识，当 U=220 时，得,反比例函数与电学,(2)这个用电器功率的范围是多少?,解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值 R=110 代入求得的解析式，得到功率的最大值 把电阻的最大值 R=220 代入求得的解析式，得到功率的最小值,因此用电器功率的范围为220440 W.,【讨论】根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，