初中裂项求和问题.doc

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1、初中数学解题研究：裂项求和问题（分数类）难道者：四川崇州 平生曜曜摘要：本文由浅入深介绍了初中数学中一些特殊分数串求和的个例，由最初的非裂项归纳手段逐渐过渡到后期的裂项式高效手段，并在本文所议范围内总结了裂项求和的右脑记忆诗。文中涉及了数学解题的部分规律，如数学思想、思维策略等，还模拟了一场教学启发的理想化进程。最后笔者把数学母题比作一颗星舍，解题就好比是在房舍里整理物饰，有时我们会触碰到一些窗户，于里外窥，会洞见星野，星夜灿烂，牵引导航。文末的最后一道思考题为笔者偶开了一扇视窗，深为动情，随饮醉吟唱，为觅知音，抛砖引玉，不知几何！关键词：单独形式，申述，归纳，转化，旧模式，新环境，做题不能白

2、做，过程与结论，窥望备注：文本中没有明显标记行文脉络，请留意“问题（一）”至“问题（七）”的字眼即可！正文“裂项求和”这个概念所指代的是一种专门针对“某类题”的解题方法，自从此法被命名为“裂项求和”而被考生广而所知以后，他们便开始以这种高效而冰冷的手法偶逢时机地收割分数。中、高考分数是进入名校的敲门砖，大气文凭是进入理想行业的敲门砖，足见提高考分是考生的迫切需要，是家长的迫切期待。提高考分总是主管部门难以释怀的心理情愫，更是达官草民观想教学有效性的无情准则。面对数学考卷上百分之七十到八十的中、低档考题，考生若不能快速而准确地作答，就已经在时间的掌控上沦为弱者，要想在更短的时间内抓获难题分数，若

3、用痴人说梦形之有过，那用力不从心形之可否？裂项求和当属那百分之二十到三十的难题一类，考生在考场若有幸重逢，且能速速斩之，足足可叹三生有幸。但命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？如果裂项求和是初中教材上的基本技能，那么将之设成中考题的概率极高，但若不是，那么命题者偶却将之铺于考卷之上时，意欲又作何为？是想检验考生的运气吗？你看，这个考生恰好掌握了裂项求和的技能，他一下就把分数抓稳当了！这能是命题者的意图吗？真若如此，把烫手类分数全寄挂在考生的运气上，试问这样的考试何以有公平性可言？所以目前中考若选用裂项求和作为考题，那它一定不会以如下外貌形式单独出现在考生眼前：单独形式（1）：求的值.单独形式（2

4、）：求的值.单独形式（3）：求的值.单独形式（4）：求的值.单独形式（5）：求的值.单独形式（6）：求的值.单独形式（7）：求的值.以上7个外貌形式，（1）、（2）当属一类，（3）可勉强自成一类，（4）、（5）、（6）实属一类，（7）必单成一类。但这四种类型都指向裂项求和某一具体题型，都有相应的技能策略能有效破之。如果这种“非教材基本技能”的试题以“上述外貌之凶相”公诸于考场，那么不免有人运气极佳，当然见好就收，随之感叹题海游泳真是靠谱；而有人迷雾重重，自然无能为力，却要吐槽考试就像打打酱油；但有人迷雾渐散，然则力不从心，必然悲叹考试时短无不痛苦。这公平吗？个中理由种种：有的老师讲过，有的老师

5、还未讲过；有的老师粗略讲过，有的老师细致讲过；有的考生练过，有的考生还未练过；有的考生练得一头雾水，主动遗忘；有的考生练得似是而非，难辨真伪；有的考生练得洞若观火，修成条件反射；有的考生练致明心有悟，修成思维之术。如果考生凭借“条件反射”而抓到分数，那么这是数学教学的成效，让我们去畅游题海吧！如果考生凭借“思维之术”而挣到分数，那么这是数学教育的功效，让我们去研究解题吧！教学卓有成效，这是敲门砖，它能让人跨进长足发展的平台，教育欲求功效，这不是闭门羹，这是手拽庭院敲门砖，腰束厅堂金钥匙。追寻数学教学与数学教育的平衡地带是笔者呈现弊文之初衷，诸亲且容我昏眼欲见明晰，拙手胡作细微，抛砖引玉一盘，只

6、期奇文共赏。命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？还是回归这个问题继续行文，如果命题者欲命制裂项求和的中考题，那么他必然还要在题干上雕花树叶，叶儿易在解题思路上给考生铺路，花儿能在解题思维上让考生明悟。说白了就是要将裂项求和问题以“阅读理解”的外貌呈现，然后设立问题串，让考生逐一解答，有难易梯度，层层推进。这样考生即使抓不到满分，也可以尽量多挣分，命题者意在关键处考查考生识别变式的能力，触摸考生的阅读领悟的能力，以及能否恰逢时机地重组与调配新旧知识的能力，这明明就是在品酒数学教育，翁之意不在布局分数，在乎思维导航引领之间也，足见命题用心可谓良苦。废话少说，上题来，先踩踏那些单独形式，让我们去历经一

7、个跌宕起伏的火热过程探索，去捕捉一些高效简练的冰冷数学结论。请有空闲之读者徐徐推进问题（一）至问题（七）的探程：问题（一）：求的值.申述1：假设学生能识别出这种裂项题型，并熟练掌握了裂项技能，那么他自然能快速作答.解：原式申述2：假设学生对裂项求和的大名，以及对类似于裂项求和的操作手法，闻所未闻，更假设这是学生自己臆造的一道题，那么他自然不会肯定此题应有简便方法，甚至他压根就不会去探索此题有无所谓简便方法。他充其量大致去观想一下，哦！原式可化为：，然后利用通分绝对可以做出来，接下来他会自嘲道：“谁会闲着没事去思考这个毫无价值而又不着边际的问题，我承认这个问题是有结果，但这与没有结果难道会有分别

8、吗？”申述3：假设这是一道考试题，且假设此考生对裂项求和闻所未闻，又假设此考生是一个爱动脑筋，且又知道“怎样去动脑筋”的人，最后还必须针对考试策略问题补充一个假设，即该考生把卷子上的其它题都做好了，他目前正为此题烧脑，有强烈的挣分决心！那么，这个聪明的娃儿会怎样去想呢？或者说平时遇到这道题，他的老师该怎样引导他去探索呢？对了！当我们在思考“复杂的大数字”问题，亦或是“抽象的字母”问题时，如果我们感到一头雾水，不明就里，那么我们可以先借助一些“具体而简单”的数字来充当我们的“助探”，即所谓投石问路。等悟出了个中玄机，我们再回首处置，才显游刃有余，此恰迎合见机行事一说，可谓不见玄机，不去莽撞。站在

9、思维方式策略的角度来看，这是暂弃“一般性”，先究“特殊性”。探索：我们暂时抛弃原题，先来探究一些简单的复杂“辅助题”：、求答：；、求答：；、求答：；如果还未见个中玄机，我们可以再多投几个石头，直到前路明朗！、求答：；当序列号为“n”时，容易归纳出其中规律，回归“一般性”：现在考生可以开始解题作答：求的值.解：原式充其量，像这样来弥补：解：笔者按：但如果认为“问题（一）”到此已宣告解决，那未必然！且继续往下看：问题（二）：求的值.申述1：假设甲考生参与了“问题（一）”的听讲，并且他“自认为记住”了下列结论：再假设他还没有跨越“简单模仿”，不会顺利应对“变式训练”，那么他可能产生以下思维：（错解一

10、）解：原式求的值.（错解二）解：原式申述2：假设乙考生同样经历了“问题（一）”之火热而丰富的思维过程，并且“安全地记住”了我们归纳出的以下这个冰冷而美丽的数学结论：那么这个乙考生自然就会识别出“问题（一）”与“问题（二）”的“起点”是不同的，他知道记忆中的“旧模式”不能照搬运用到当下遭遇的“新环境”中。但乙考生在“问题（一）”之火热而丰富的思维过程中学到了一些思维的伎俩，即：暂时放置一般，先去探究特殊，而后再从特殊现象去归纳一般规律。于是乙考生先开始这样探索一些辅助题：、当时，、当时，；、当时， 、当时，答案与的取值有怎样的关系？回答是：杂乱无章！再投一个石头看看，如果情况不妙，就果断放弃！、

11、当时，果然规律很不明朗，看来再投更多的石头也击不出“心灵的水花”，算了撤飘走人！笔者按：此情此景，乙考生走得机智！但如此白忙一场，可惜啊！其中有功有过，忙这一场是有功，这是他思维开始趋向成熟的表现，相比那些根本不知道“还可以像这样”来忙一场的解题者来说，乙类考生已经胜了一筹，他毕竟道心坚毅且有章法；只不过白忙了一场算是有过，或者说没有“更进一步”去分析数据才是他之过失。他其实已经离答案不远了，只不过因缺少一些“分析技巧”而显得无可奈何罢了。从这个层面来讲，教师的存在确实是有必要的！教师需再对“乙类考生”的思维作引导确实不是一件可有可无的事情。现在让我们把数据凑拢一堆：我们仔细审视也难以发现什么

12、规律，但可以适当“微调”上述结果：把数据微调一下：如此微调就出现了一个契机，规律在哪儿？分子都是，但分母与取值的联系实属难以观察。如果考生已接受过“函数思想”的教育，那么让他凭借“待定系数法”去“观想、轮换、验证”分母与之间的函数关系，这就不失为寻得了一丝可以渗入内里的隙缝，当然此路之艰辛也可想而知。在列表（一）中，辅助题答案的分子、分母皆在变化，我们可以通过微调手段，先让这二者中只有一者处于变化状态。这正如物理学研究中的那种惯常的手法，为了搞清一种尚不明晰的函数关系，假设我们已经弄清这个关系与某个物理量有关，但因在探究过程中这个物理量的取值都处于变化状态，便让人更难以捉摸这个“复杂”的函数关

13、系。这时我们可以先控制住其中的“-1”个物理量，让它们乖乖地维持不变状态，再任由“第个”物理量自由变化，那么这个复杂的函数关系便会逐渐明朗起来，以至最后它会成为我们探索其它领域的“星舰”，列表（二）便是在这样的“念头”下应运而生的。从另一方面来说，任何人都可以认真去回味，在乙考生“通分”探索的过程中，有一“结构”始终交织在运算数据中，这种结构就是：，其中的取值当然在变，但这种“结构关系”却是定格不变的，懂得“通项公式”的考生是极容易嗅出其中气味的。现下我们有了一个好念头，至于它是否能帮助我们成就大事，搞一下不就知道了！我们借助微调手段让“乙考生辅助题”中的每一个分母都定格为“”形式，那么列表（

14、三）便出现在我们的视野之中：控制变元之后的数据：列表（3）中，分母的规律当然是：，分子的规律明显了吗？如果仍觉不太明显，那么我们改变分子的形式，继续给出列表（4）：从列表（4）可以归纳出，当时，其中的分子辅助题最终结果 经历了如此坎坷的心路历程，我们终于可以帮助乙考生完成他的解答：问题（二）：求的值解：申述3：假设教师在引导丙类考生解决 “问题（一）”时，同样经历了火热而细腻的“归纳”过程，并且学生也“准确地记住”了这个冰冷而美丽的数学结论：以上假设决定了，丙考生不会去犯“甲类考生”的错误，但他们在毫无办法的情况下，非常容易去步“乙类考生之高运算、高技巧”的后尘。此时我们再假设丙类考生比较明智

15、地放弃了乙考生的思路，不愿去归纳如下结论：那么在教师和丙同学之间可以有一场“理想化”对话：问题（二）：求的值师：这道题可以直接用“结论（一）”来处理，对吧？生：不对！好像不可以！师：咦！怎么会不可以呢？生：在结论（一）这个“旧模式”中，分母的起点是“”，但在问题（二）这个“新环境”中，分母的起点却是“”，所以不能直接用来解决此题！师：那，你说怎样去处理呢？生：呃步乙同学的后尘！从特殊去归纳一般吧！师：呃别耍无赖！我们不是早说好的不行乙同学的无奈之举吗？生：那我不知道咋办了！师：你记得结论（一）吗？生：记得！师：我再问，你确定你准确地记得结论（一）吗？生：（笑了），我再答，我确定我准确地记得！师

16、：看看这道题，你会做吗？助探题（）：求的值.生：（一晃眼，便回答），我当然会做，闭上眼睛也会！ 这个题与记忆中的结论（一）相比，没有本质上的区别！师：也就是说，此妖难逃尊驾法眼？生：嘿嘿！尊驾，过奖了！师：看看这道题，你会做吗？助探题（）：求的值.生：（细细审查一番），我自然同样不会！如果此题我会做，我们还哪用得着如此废话连篇？师：劳烦阁下再看看这道题，会做吗？助探题（）：求的值.生：（苦笑，但略有思索）师：那么尊驾再欣赏下此题呢？助探题（）：求的值.生：（眉宇紧锁，拳头紧了又松，松了又紧）师：呵呵！让在下充当你的书童，帮你把草稿收拢一堆，请君过目：、求的值.、求的值、求的值.、求的值.、？生

17、：对啊！它们越来越近了！老师！我好像会做了！对了！对话可以就此结束。教师此时有话，也尽量憋着不说。等那类丙同学先去做做问题（二），回头再说不迟！问题（二）：求的值丙类同学的书写：解： 师：你的解法非常干练，真精彩！我忍不住须要采访你一下！在解法的探索过程中，你曾自言自语，“对啊！它们越来越近了！”，请问“越来越近”指的是什么意思？生：是指“书童”整理的草稿中，第、题离第题越来越近了！而第题当然就是第题！师：那为什么对于“问题（二）”，你开头不会做，刹割又会做了呢？生：因为我看到了那种“越来越近”的变化，而这种变化似乎“在冥冥之中”牵引着我把“问题（二）”按着“问题（一）”的模样转化！师：好一个

18、“冥冥之中”！老师采访你的原因就是要把你脑海中那种“偶发的念头”转变成你思维中某一“自觉的意识”，这样才有助于修炼思维，高效解题。师：你把“问题（二）”按着“问题（一）”的模样转化！实际上就是把一道“做不起的题”变成了一道与之相关的“拿手好戏”对吧？生：对！对！果然如此！师：实际上，连你自己都没有意识到，你在不知不觉中使用了一种非常重要的数学思想方法，即化归思想，这当然也是一种非常精彩而有效的思维方式策略。化归，就是转化归结的意思，它是我们解决问题的“好助探”。师：我们在解题时，一般总是将复杂问题转化为简单问题；将难解问题转化为易解问题；将未解决的问题转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中

19、几乎无处不在，化归的基本功能是：遇生疏就往熟悉转化，遇复杂就往简单转化，遇抽象就往直观转化，遇含糊就往明朗转化。师：这不是一朝一夕就可领悟的，必须做“适量”的题，才能触碰“自发领悟”的心弦，最后养成“自觉分析”的习惯！言归正传，这段“理想”对话中的乙类学生，必须是学习主动性高的优生！他们在历经“高效”解题的过程中会不断提升“高效”探索的思维素养。但如果，申述3：假设在“书童”所堆积的第“”道辅助题中，学生仍然没有参透玄机，未能觉察出将问题（二）“化归”为问题（一）的趋势，那么教师可以怎样去调整自己对学生的思维引导呢？师：问题（二）要得到解决确实有些困难！现在让我们暂时放下个中纠结，先来做一做老

20、师为大家准备的另一道“可能与问题（二）”相关的题，看谁能解决它，请看：助探题（）：已知：，求：的值.生：（略作思考）答案是：.生：哦！好主意，我想到怎样解决问题（二）！生：咦！我也有办法了！（学生有了一定程度的“自发领悟”）接下来学生就能比较干练地写出问题（二）的解题过程了！再接下来教师可以火上浇油，趁热打铁.师：大家不妨再来看一题：助攻题（）：已知：求：线段的长. 生：（通过简单的画图分析）答案是：.师：此情此景，为什么要出示这样一道题给大家做？生：因为它们有相似之处！师：其中韵味之妙，异曲同工，看来数学中确有东西是可以进行类比的，看来有些问题确实可以通过类比思维来探索解法。笔者按：但如果认

21、为“问题（一）、（二）”到此可宣告解决，那未必然！且继续往下看：问题（三）：求的值.申述1：假设考生一眼就识别出本题与“记忆中的旧模式”不一样，即不能直接用下列公式：，因为本题的“起始项”是，而不是；“终止项”是，而不是，这些特征不是那类未能跨越“简单模仿”的“急性子”所能识破的！固然，待求式但当取正偶数时，吗？稍作检验就会发现异端！那么上式该等于什么？难道“又要”利用辅助题，先来研究特殊，再去归纳一般吗？这样做让我们觉得困倦不说，关键是作对了，也是白做！因为我们花了大量的时间，只是在实践“从特殊归纳一般”这种正确的“过程方法”，却没有在这一“耗时、伤神”的过程之后研发出一种“高效、易记”的“

22、通用结论”。不妨这样来形容一下，你用对了“从特殊归纳一般”的思维方法，结果，你确实厉害，你今天弄懂了：但我明天再考你：申述2：假设有考生在研究他基于“化归思想”，产生了一个念头，他抱着试一试的心态去搞了一下：又这一试，果然一下子就试出了结果！你说这个考生以后对“化归思想”的运用能不感兴趣吗？接下来，我们鼓励这个考生去尝试一下，看是否能将“”成功化归为他本人的“拿手好戏”。当他感到困难重重时，我们再友善地提醒，“申述1”中所提到的探索“通用结论”的话题是一个不容回避的“明智之举”！申述3：假如我们愿意故地重游，假如我们愿意温故知新，假如我们愿意去领略另一番不同的风景，那么让我们脉动回去：问题（一

23、）：求的值.其实我们早已知道：当然就该知道：尤其还知道：、对数据加以微调，我们容易知道：、而以上特殊事例让我们“猜测”：结论似乎只与“一头一尾”有关？再看：那么，中间的项到底跑到哪儿去了？它们不会无缘无故地消失，只能在运算中相互抵消了！那么，“中间项”是怎样相互抵消的？可以观想一下吗？、最后，以上问话都容易得到证实，所以，于是可以理解：问题（一）：求的值.解：那么，请看：问题（二）：求的值.由于受到“线段和差”手段的影响，学生可能“稀有”如下解答：解：如果“真正理解”了：，那么完全可以直接裂项求解：解：现在公式（三）的诞生，好似给大家打了一针“鸡血”。在兴奋之余，让我们回归“问题（三）”，看看

24、我们能否“变式应对”：问题（三）：求的值.申述4：假设考生自认为“准确地记住”了“公式（三）”，那么他的兴奋会驱使他这样解题：解：申述5：假设考生真正“安全地记住”了：，那么他一眼就能识别出“新环境”中的： 、 这些可恶家伙，不是存在于记忆“旧模式”中的“”，而是新出现的“”.也就是说，如果成立，那么“申述4”中的解法就正确，反之非也！这考生定会思忖，吗？搞一下不就晓得了！由此：、，；、，；、，；可猜：笔者按：这里需呼应一下，插入前面一个问题，容易由“”得：申述6：假设该考生对“后续思维”作了研究，那么他离“真理”将越来越近：、已经知道：、已经知道：、还想知道：、还想知道：实际上，、都容易得到

25、证明！于是我们可以从以上“特殊性事例”中归纳出“一般性结论”：笔者按：自此问题（一）、（二）、（三）可以宣告解决！剩下的“变式训练”都貌似“小儿科”！？请往下看：问题（四）：求的值.申述1：有一种“鲁莽者”经常连“苹果与石头”都不去分清楚，他们视觉明明扫视到的是“3”，结果在思维里却偏要当作是“1”。究其原由虽可归结为没有经历适量的“变式训练”，但主观原因不容忽视，且不能简单归因于“我好晃”，其实质往往是主体没有养成“科学审题”的习惯，连最起码的诸如“本题的已知条件是什么？已知条件有什么？本题与以往的类似题真的完全一样吗？”像这样的过场都不去走走！如此鲁莽的错解，我也不作展示罢了。申述2：假设

26、某考生训练有素，早就深谙“科学审题”的妙诀。他读完题后自然就看出“新环境”与“旧模式”间有所不同，这种不同虽然不是“苹果与石头”之间的大差别，但至少有“苹果甲、乙”之间的小差异。接下来这个考生开始思索如何才能把眼前这道“非常眼熟”的新题“转化”为心中那道“十拿九稳”的旧题？一旦他开始迈出如此思考的第一步，破题念头便会转瞬即拾：求的值.解：问题（五）：求的值.申述1：既然大家能忍耐读至弊文此处，那若非早已轻车熟路，一定早已闹心伤神！那咱也啥都不用说了！依据和“化生为熟”的伎俩，可以开解：解：申述2：假如我们时常爱引导学生作“解题反思”，那么随着解题量的增加，一些朦胧的“新东西”会不断地渗入我们的

27、脑海，而我们必须要有意识地将之清晰化，这是一个不断完善和重组自我认知结构的螺旋上升过程，基于此过程，我们的智慧得以丰富，而在如此丰富智慧的过程中，我们的思维之刃也在此类“润湿磨砺”上来回游舞着，让人洞察心扉，探触脑海。所以水既到，渠可成，这个可以有：笔者按：永远不要以为我们已经脚踏实地，手触天花了，请继续往下走几步：问题（六）：求的值.申述1：前番言及有一种“鲁莽者”经常不主动去分清楚“苹果与石头”，他们遇到外观似苹果，内里是石头的“假苹果”，总是放心、果断地一口“吞下去”，结果就给考试丢分了！解：貌似一目了然，放心捕食，实则雾里看花，管中窥豹！我们常常如此这般一不小心，就掉进别人设置的陷阱中

28、！申述2：假设你运气不佳，纵然没能识破这个“假苹果”，但你可以先咬它一咬，些许就能发觉端疑，随后再剖查触碰一番，自然能明了就里，届时你就会在有惊无险的感叹之余，庆幸自己没有“鲁莽生吞”，结果就给考试添彩了！解：在这里，我们引入了许多“小括号”来充当解题者的“助探”，或者充当讲述者的“助教”。通过认真审查，我们发现每一个括号中有两个数，且每一个括号里的第一个数总被此括号前面“跳一个”括号里的第二个数抵消，每一个括号里的第二个数总被此括号后面“跳一个”括号里的第一个数抵消。如果用数学符号语言来阐述，我们若任意规定其中一个括号为“数轴上的原点”，那么这个括号里的两个数，可分别用“”来表示，于是这个括

29、号的前面第一个括号里的两个数，可分别用“”来表示，再往前的括号里有“”，作为“原点”的那个括号，它后面第一个括号里的两个数可记为“”，再往后又是“”对于“问题（六）”，最后我们探索出的结论是：，这个结论的意思当然就是“前一段”的文字语言表述。笔者按：当我们品味了“问题（六）”之后，本文关于“分数裂项求和”的主旨也就得到了一定程度的诠释，问题（六）除了让我们学会解题不要掉以轻心，当然也在我们的裂项视野中打开了一扇窗口，借着这扇窗口我们可以往外窥视一番： 问题（七）：求的值.要求：本题同学自行解答。提示：此题只做到“倒数第二步”就可以了！提问：裂项后，哪些项抵消了？哪些项留下了？项的去留规律，是否

30、可以用“，”来表述？请回归我们的“约定”去加以理解!你有比上述约定“更简洁明了、更容易操作”的技巧吗？笔者按：做题不能白做，做典型“母题”更不可白做！最后收网捕鱼，要注重鱼渔兼收，鱼是以后能高效解答“主观题”的“常用结论，”亦或是能高效解答“客观题”的“有趣结论”，而渔是以后能“高效”或“有效”解决问题的“数学思想方法”和“思维方式策略”。鱼之结论有：渔之手段有：归纳，类比，分类讨论，回归定义、约定学习方法：注重结果，更重过程！解题习惯：记准旧模式，辨清新环境！以后怎样做此类“裂项求和”类的题型？答：温情提示：利用公式（五）裂项，利用结论（六）留项！右脑记忆：分数串相加，通分若神伤；放心去裂项

31、，内差担当；小心慎留项，外隔看跳消；隔距隐玄机，首尾皆有章！笔者按：永远不要以为我们已经脚踏实地，能够手触天花了！脚踏实地是前提，手触天花只是我们追逐的梦想。任何一道裂项求和的问题都能自成一颗星宿，而这一颗星宿恰似一间宿舍，解题者身处此间，透过四周的窗壁，我们得以洞见窗外星空，那里繁星飞花，引领人之神往，那里无限深邃，吟唱人之渺小！感叹脚踏实地只是处事态度，仰望星空才是处事章法，愿脚下星舍承载我们，盼满天星斗导航我们！行文至尾，垂死不休，请容我把“最后的？”几个问题托付大家：第一题、观察下列等式：（终于给出考试善相）；将这三个等式的左右两边分别相加，可得：（1）、猜想并写出：_.（2）、直接写

32、出下列各式的计算结果：、_.、_.（3）、探究并计算：的值.（4）、计算：的值.（笔者按：此小题你还有其它方法吗？）第二题、请观察下列各组算式，（考试善相）第一组： 第二组：，； ，；，； ，；，； ，；根据你的理解完成后面的题：、_； _；、请归纳：_；（其中n为正整数）_；（其中n、k都为正整数）、求的值；、求的值；第三题、（凶相！）第四题、(飞相！)容吾备注：第四题明显比第三题简单！但小生有意将前者置尾，欲意点睛！吾身居此间陋舍，念头涌动，思绪纷飞，渴盼窥望星空，感概一二。就让小生趁此为君轻哼莫凡小曲，略改歌词，还望乐融君莫加怪罪，只为另抒胸意，知音难觅，不知几何，吾罪哉，醉哉：有没有一

33、扇窗，能让你我不绝望望一望飞花星空，哪怕像梦一场让我哭让我笑，让我望让我老到结局应该不一样有太多的星舍，能让我蹦又跳这些年堆积多少，对谁的知心话有壶酒醒不了，有种愿忘不了踏实地，往前奔走，星空望满天星斗，你依然是我心灵的归宿仰望星空，要相信自己的路红尘中，有太多茫然痴心的追逐谁的苦，谁也有感触满天星斗，你依旧在我心灵最深处眺望星空，星牵引我不孤独 星舍中，难得睹一扇眺望的窗口风在外，热情乘风比梦影星海里，难得缘一颗导航的星昴景在内，把酒临风星牵引 参考材料：1、怎样解题美G波利亚 著 涂泓 冯承天 译 上海科技教育出版社 20112、“解题的四步骤程式” 罗增儒 著3、“化归思想” 百度百科4、走进重高 主编：何继斌 华东师范大学出版社 20165、“朋友别哭” 作曲：莫凡 填词：陈乐融6、“星” 作曲：谷村新司 填词：郑国江2016年10月