数学分析数列极限分析解析.doc

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1、第二章 数列极限 1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入1预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。2实例：战国时代哲学家庄周著庄子天下篇引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺），或简记作数列：分析：1、随n增大而减小，且无限接近于常数0；数形结合方法2数轴上描点，将其形象表

2、示： 10 -1将其一般化，即引出“数列极限”概念an无限接近常数a当n无限增大时二、数列极限定义1将上述实例一般化可得：对数列，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。例如：， a=0；为什么强调存在N， a=3;， a不存在，数列不收敛；， a不存在，数列不收敛；2将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当nN时”任给：无限接近将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给0例如对以3为极限，对=，要使=只需取N=10，即可3“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数，总存在某一自然数N，使得当

3、nN时，都有则称数列收敛于a，a为它的极限。记作(或ana,(n)说明（1）若数列没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法： 这是用极限定义证明的具体方法（为什么？）思考0，N，当nN，有（3）上述定义中的双重性：0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式，可用2，2来代替 “”号也可用“”号来代替（为什么？） 思考 双重性（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于的自然数，有时记作N=N（）（这并非说明N是的函数， （为什么？）思考是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多个N（为什么？） 思考（5）如何用肯定的语气

4、叙述：0，N，n。尽管n。N，但。这是用极限定义证明的具体方法（6）如何用肯定的语气叙述，数列发散：，0，N，no,尽管noN，但o。（7）的几何意义：或aN或ananaNaa+a-即a的任给邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列 中,所有下标大于N的an,都落在a的邻城内。.三、用极限定义证明 的例题例1.证明（K为正实数）证：由于所以0，取N=,当nN时,便有注：或写作：0，取N=，当nN时，有，例2. 证明分析，要使（为简化，限定n只要n证.,当n,有由定义适当予先限定nn。是允许的！但最后取N时要保证nn。例3证明=0，这里1证.若q=0,结果显然成立若01，令=0)由于所以，

5、0，取N=N，有注：1特别地写当q=时，此即为上述实例中的贝努利不等式（h）n1+nh.3由例2、例3看出，在由中求N时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“nn。”等方法。例4证明，其中a1证.令-1=，则0由贝努利不等式 =（1+）n1+n=1+n（）或0，取N=，当nN有 思考：这里取N=也可以，为什么？四、等价定义与无穷小数列定义 任给0，若在U（a;）之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。由定义 可知，若存在某00，使得数列中有无穷多个项落在U(a；0)之外，则一定不以a为极限。例5 证明和都是发散

6、数列。分析 利用定义证 例6 设，作数列zn如下：zn：x1，y1，x2，y2，xn，yn，。证明 。分析 利用定义证 例7 设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。分析 利用定义证 设为收敛数列，且=a。按定义，。现设发散，倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，收敛，矛盾。所以当发散时也发散。在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2 若，则称为无穷小数列。前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：定理2. 1 数

7、列收敛于的充要条件是：为无穷小数列。五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：重 点 1极限概念的“-N”叙述要熟练掌握，并注意理科，N的双重性。难 点 2用极限定义证明极限时，关键是由任给的0通过反解不等式an-a求N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N的表达式一定仅依赖于，当然N是否是自然数，倒是无关紧要的。 3同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形

8、结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。复习思考题、作业题：数列收敛发散的定义是什么？收敛发散的概念是不是相反的？1（1），2，3，4，62 收敛数列的性质教学目的与要求：掌握收敛数列的性质如唯一性，有界性，四则运算等及应用。教学重点，难点：收敛数列的性质应用，数列子列的定义及数列子列收敛与数列收敛之间的关系。教学内容：收敛数列主要有唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算性、子列性等重要性质，通过这些性质的学习，可使学生掌握数列极限的定义与应用定义证明有关命

9、题。1、 唯一性定理2.2 若数列收敛，则它只有一个极限。分析 使用几何定义定义证注1：本性质证明使用几何定义。为让学生学会取特殊的，可讲解反证法证明。这样更可体现极限的“”定义。注2：一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数。体现了无限与有限之间的转化关系，这样由这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小，以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实。2、有界性定理2.3 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有。分析证 注1：的取法注2： 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，例如数列有界，但它并不收敛（见1例6）。3、保号性定理2.4若或0，则对任何（0，

10、a）(或)，存在正数N，使得当nN时有an（或an）。分析证 注1：的取法注2： 在应用保号性时，经常取。4、保序性定理2.5 设与均为收敛数列，若存在正数N0，使得当nN0时有anbn，则。分析 定义与第一章1例2证 注1：N的取法思考：如果把定理2.5中的条件anbn，换成严格不等式anbn，那么能否把结论换成？例1 设an0（n=1，2，）。证明：若，则。分析 定理2.5、定义与分类讨论证 4、迫敛性定理2.6 设收敛数列，都以a为极限，数列满足：存在正数N0，当nN0时有 （4）则数列收敛，且。例2 求数列的极限。分析解 5、四则运算法则定理2.7 若与为收敛数列，则，也都是收敛数列，

11、且有。特别当bn，为常数c时有。若再假设bn0及，则也是收敛数列，且有。分析 只须用定义证明关于和、积与倒数运算的结论证 例3 求,其中mk，am0，bk0。分析 四则运算法则例4 求，其中。分析 分类讨论与四则运算法则解 例5 求。6、子列定理定义1 设为数列，为正整数集N+的无限子集，且n1n2nk，则数列称为数列的一个子列，简记为。注1 由定义1可见，的子列的各项都选自，且保持这些项在中的先后次序。中的第k项是中的第nk项，故总有。实际上本身也是正整数列的子列。例 数列的子列、。 注2 数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列。例如的非平凡

12、子列和。性质 由上节例8，数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。定理2.8 数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛。分析 必要性由定义，充分性利用必要性与上节例7证 注：定理2.8的你否命题是判断数列发散的有力工具：若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。应用举例：数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于-1，从而发散，再加数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列发散。复习思考题、作业题： 1（2）（4）（6），4，5，6.难题解答3 数列极限存在的条件教学目的与要求：掌握数列极限存在性的判断准则：单调

13、有界性定理，Cauchy准则及应用教学重点，难点：单调有界性定理， Cauchy准则的证明及应用教学内容：极限理论的两个基本问题：一、数列是否有极限(极限的存在性问题)；二、若极限存在，如何计算此极限（及限值的计算问题）。困难：依定义需将每个实数用定义一一验证，不可能。解决方法：直接从数列本身的特征来做出判断。本节介绍的两个定理非常重要，他们不仅是判断数列是否存在极限的充分条件和充要条件，而且也与实数完备性定理等价。一、单调有界定理定义 若数列的各项满足关系式（anan+1）则称为递增（递减）数列，递增数列和递减数列统称为单调数列，如为递减数列，与为递增数列，而则不是单调数列。定理2.9在实数

14、系中，有界的单调数列必有极限。分析 找到极限即可，用确界原理证 注：通过证明可知，单增有上界数列有极限且其极限为其上确界，单减有下界数列有极限且其极限为其下确界。例1 设an=1+，其中实数a2。证明数列收敛。分析证 例2 证明数列 n个根号收敛，并求其极限。分析证 例3 设S为有界数集。证明：若supS=a，则存在严格递增数列S，使得。分析 构造性证明方法，常用证 例4 证明存在。分析证 先建立一个不等式。设ba0，对任一正整数n有 （n+1）bn(b-a)。 即 bn(n+1)a-nb。 （1）以a=1+代入（1）式证明为递增数列。再以a=1，b=代入（1）式得数列有上界。由单调有界定理推

15、知数列是收敛的。 通常无理数（待证）e的定义为，以e为底的对数称为自然对数，通常记。注：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，但却与下面数列收敛的充分必要条件等价。二、柯西（Cauchy）收敛准则定理2.10 数列收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当n，mN时有。注：应再给出两种等价形式。注：这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出。柯西收敛准则的条件称为柯西条件。其直观意义：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分到后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。优点：柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。例5 证明：任一无限十进小数a=0.b1b2bn的n位不足近似（n=1，2，）所组成的数列 （2）满足柯西条件（从而必收敛），其中bk为0，1，2，9中的一个数，k=1，2，。分析证 复习思考题、作业题：1，2，3，6，7