指数函数题型汇总.doc
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1、指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨1比较大小例1已知函数满足,且,则与的大小关系是_分析:先求的值再比较大小,要注意的取值是否在同一单调区间内解:,函数的对称轴是故,又,函数在上递减,在上递增若,则,;若,则,综上可得,即评注:比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例2已知,则x的取值范围是_分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围解:,函数
2、在上是增函数,解得x的取值范围是评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例3求函数的定义域和值域解:由题意可得,即,故 函数的定义域是令,则,又, ,即,即函数的值域是评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响4最值问题例4函数在区间上有最大值14,则a的值是_分析:令可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后的取值范围解:令,则,函数可化为,其对称轴为当时,即当时,解得或(舍去);当时,即, 时,解得或(舍去),a的值是3或评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一
3、些方法的运用,比如:换元法,整体代入等5解指数方程例5解方程解:原方程可化为,令,上述方程可化为,解得或(舍去),经检验原方程的解是评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根6图象变换及应用问题例6为了得到函数的图象,可以把函数的图象()A向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度分析:注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断解:,把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选(C)评注:用函数图
4、象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等习题1、比较下列各组数的大小:(1)若 ,比较 与 ;(2)若 ,比较 与 ;(3)若 ,比较 与 ;(4)若 ,且 ,比较a与b;(5)若 ,且 ,比较a与b解:(1)由 ,故 ,此时函数 为减函数由 ,故 (2)由 ,故 又 ,故 从而 (3)由 ,因 ,故 又 ,故 从而 (4)应有 因若 ,则 又 ,故 ,这样 又因 ,故 从而 ,这与已知 矛盾(5)应有 因若 ,则 又 ,故 ,这样有 又因 ,且 ,故 从而 ,这与已知 矛盾小结:比较通常借助相应函数
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