高等代数考研复习二次型课件.ppt
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1、高等代数考研复习 二次型,2014年 8月,第四章 二次型,二次型理论的背景是解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题.本章主要问题有两个:1)二次型矩阵和二次型的标准型 2)正定二次型二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有紧密的联系,可以看到他们是处理二次型问题的工具.,二次型矩阵与二次型的标准型 1.1 二次型及其矩阵 1)定义:设P是数域,系数在数域P上的关于的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型.2)二次型的矩阵表示:令,利用积和式可将二次型化为矩阵形式其中,矩阵 满足 称它为二次型的矩阵.积和式为:它在代数式与矩阵互化中起着重要的作用!,注意:如果 但是 那么A不是二
2、次型的矩阵.f的矩阵为1.2 线性替换及矩阵的合同 1)线性替换:设令 称为由 到 的线性替换.当 时,称为非退化线性替换;当C是正交矩阵时称为正交替换.结论:非退化线性替换将二次型变为二次型.,2)矩阵的合同:设A、B为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵C使得 则称矩阵A与合同.合同是一种等价关系,它具有三性.合同的性质:合同矩阵有相同的秩;合同矩阵的行列式同号.结论:二次型经过非退化线性替换得到的新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.1.3 二次型的标准型与规范形 1)二次型标准型定义:只含有平方项的二次型 称为标准型.其中,中非零的个数即为二次型的秩.定理:数域P上的任意二次型都可经过非退化线性
3、替换化为标准形.换一种说法:数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵.注意:二次型的标准型一般不唯一!,2)二次型的规范形:复数域与实数域上的二次型的标准型称为规范形.a)复数域上二次型的规范形:复数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形 其中 且规范形唯一.换为矩阵说法:复数域上任意一个n阶对称矩阵A都合同于唯一的n阶对角矩阵复数域上两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵的秩相等.,b)实数域上二次型的规范形(惯性定理):实数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形 其中,正平方的个数p称为二次型f的正惯性指数,负平方项的个数称为f的负惯性指数,称为符合差,且p、q有二
4、次型唯一确定.用矩阵语言描述为:实数域上任意一个对称矩阵A都合同于唯一的n阶对角矩阵,注意:实数域上的两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数.,1.4 化二次型为标准型的方法 a)配方法;b)初等变换法;设 是对称矩阵,故存在可逆矩阵 使由 可逆知,存在初等矩阵 使得 于是,这样,将二次型 化为标准形,时所用线性变换,中的系数矩阵 满足 且,由此可见,对 的列和行施以相同的初等列变换和行变换,当二次型的矩阵 化为对角矩阵 时,,单位矩阵 就成了相应的可逆线性变换的矩阵 了,即,c)正交变换法.,正交变换法的步骤:(1)先求出矩阵A的特征值、特征向量,其中特征值就是标准
5、型中的系数.(2)将A的属于同一特征值的特征向量单位化正交化,然后将它们作为列向量做成矩阵T,即为正交矩阵,此时有,题型分析:(1)化二次型为标准型;(2)矩阵合同的应用;(3)惯性定理的应用.,例1 用配方法化二次型为标准形(1)(2)例2 将 化为标准型.例3 用正交变换化二次型为标准形方法:对二次型 做正交替换 其中T为正交矩阵,得标准型,这里 是矩阵A的特征值.例4 已知 经过正交变换化为 求a及所做的正交变换.例5 已知 的秩为2,(1)求a(2)用正交变换将f化为标准型(3)求方程 的解.,例6 设实二次型(1)写出f的矩阵.(2)证明:f的秩等于矩阵 的秩.例7 证明:是一个二次
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