高等代数面向21世纪新教材课件.ppt

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1、矩阵的乘法,西北师范大学,数学与信息科学学院,高等代数面向21世纪新教材,高等代数面向21世纪新教材,矩阵乘法的定义,矩阵乘法的应用,矩阵乘法的性质,课件导航,新课讲授,先从一个例子开始:,第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之 内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克).,第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：,这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：,这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：,第一周：12

2、3+11 4+6 2=92（元）,第二周：11 3+11 4+7 2=91（元）,第三周：11 3+10 4+7 2=87（元）,定义 设A=(aij)是mn矩阵，B=(bij)是np矩阵，则A与B的乘积AB是一个mp矩阵，这个矩阵的第i行第j 列位置上的元素cij等于A 的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和.即,返回,由矩阵的定义可以看出:,两个矩阵的乘积AB亦是矩阵,AB的行数等于矩阵A的行数,AB的列数等于矩阵B的列数.,前行乘后列:乘积矩阵AB中第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和,简称行乘列的法则。,1.,2.,想一想:,两个非零矩阵的乘积可能是零矩

3、阵吗？,矩阵要满足什么条件才能相乘呢？,矩阵的乘法是否满足交换律呢?,1.,2.,3.,返回,例 1,例2,例3,例 4,例5,例6,矩阵乘法的性质:,结合律(AB)C=A(BC),其中A=(aij)mn,B=(bij)np,C=(cij)pq.,2.数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),其中k为任意实数.A=(aij)ms，B=(bij)sn.,3.分配律(A+B)C=AC+BC,其中A,B都为mn矩阵,C=(cij)ns.C(A+B)=CA+CB,其中C为mn 矩阵,A,B都为ns矩阵.,返回,证明,证明,任意给定r个矩阵A1,A2,Ar,只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数

4、,就可以把它们依次相乘,由于矩阵的乘法满足结合律,在作这样的乘积时,可以把因子任意结合,而乘积A1A2Ar有完全确定的意义.,我们再约定A0=In.,这样,一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义(以后要定义某些特殊方阵的负整数次方,将会看到,并不是每个方阵都有负整数次方).,多个矩阵的乘积,特别地,一个n阶方阵A的r次方(r是正整数)有意义.,例7 设A是n阶数量矩阵.即,B=(bij)是np矩阵,计算AB.,因此有AB=kB.即用数量矩阵A乘以矩阵B时,相当于用数k乘矩阵B.,如果C 是mn矩阵,那么类似地容易验证,CA=kC.,即C乘以数量矩阵A时,相当于用数k乘矩阵C.这就是数量矩阵有时也

5、叫做数乘矩阵的原因.,特别地,在n阶数量矩阵中,当k=1时,A就变成为,称In为n阶单位矩阵,这时,有,In B=B,C In=C.,因此,n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用,这就是为什么把 In称为单位矩阵的原因.我们以后还会发现In的更多的类似于数1的性质.,例8 考虑一般形式的线性方程组,其系数矩阵和增广矩阵分别是,则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定.反过来,线性方程组也唯一地确定它的增广矩阵,我们令,称此式为线性方程组的矩阵形式.,因此原线性方程组可写为,AX=B.,计算矩阵乘积AX,计算A1X:,在上题中,令:,同样计算A2X,AnX 可得

6、,所以,A=A1+A2+An,AX=(A1+A2+An)X=A1X+A2X+AnX.,因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式,这个形式叫做线性方程组的向量形式.,系数矩阵,把n元线性方程组所有未知量的系数按原来的顺序排列,得到一个mn矩阵.,我们称A为线性方程组的系数矩阵.,返回,增广矩阵,返回,把n元线性方程组所有未知量的系数和常数项按原来的顺序排列,得到一个m行n+1列矩阵.,例9(计算机机时汇总):一台智星计算机,完成某个项目,该项目有6项类型1的工作,8项类型2的工作,10项类型3的工作,问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间?,类型1的问题,类型2的问题,类型3的问题,则表示各种类

7、型工作所需的时间矩阵可令为:,表示各种类型工作的个数矩阵可令为:,那么所需时间的总数可如下计算:,这里(70)是一个11矩阵(可以把(70)和70看成是一样的),即所需总时数为70分钟.,假设不仅有一台计算机,而是有4台计算机:智星,神童,奔腾及银河,那么我们有一个不同的计算机完成不同类型工作的机时矩阵:,智星完成类型1、2、3的工作所需的时间:,银河完成类型1、2、3的工作所需的时间:,神童完成类型1、2、3的工作所需的时间:,奔腾完成类型1、2、3的工作所需的时间:,为了计算每台计算机完成6项类型1的工作,8项类型2的工作,10项类型3的工作,所需的时间分别有多长,只需进行如下计算:,所以

8、选择智星计算机完成这个项目比较省时.,下面让我们不只对一个项目,而是对3个项目进行计算.假设3个项目所包含的类型1,2,3的工作个数如下矩阵表示:,矩阵中每一列表示每一个项目所包含类型1,2,3的个数.,进行如下计算,T1N1矩阵的每一行表示每台计算机完成3个项目分别需要的时机数,可以看出,如果安排智星计算机完成第一个项目,由奔腾完成第二个项目,由银河完成第三个项目,所需的机时总数较少.,返回,这一节主要讲了矩阵乘法的定义,矩阵乘法的性质以及矩阵乘法的应用.,小结,矩阵乘法的定义,主要讲了定义,相乘的条件:前列数等于后行数.乘法的法则:前行乘后列.乘法不满足交换律,不适合消去律.,矩阵乘法的性质,乘法的结合律,乘法对加法的分配律.,矩阵乘法的应用,实际应用的例子比较多,还有如建筑耗材问题,图的邻接矩阵等例子,请课后阅读教材.,返回,作业:,教材P105 第7、第8、第9题.,返回,同学们,再见!,