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1、矩阵的秩的一些结论的证明摘要矩阵是高等代数中主要的一个研究对象,它贯穿着整个高等代数的内容,而矩阵的秩作为矩阵最主要的特征,研究它的结论和性质就变得尤其重要.本文主要从矩阵的秩的结论和矩阵的秩的应用两方面介绍了矩阵的秩,并对矩阵的秩的大量性质进行了研究、证明及应用.其中包括矩阵的秩的求解和矩阵的秩的一些不等式,而且还涉及到了矩阵的秩在求解方程组和向量相关问题上的应用.关键词：矩阵的秩；矩阵的秩的定义；矩阵的秩的结论；矩阵的秩的应用The Conclusion of the Matrix ranks proofAbstractMatrix is an object in theAdvanced

2、Algebra to be studied, which runs throughthe whole content of theAdvanced Algebra, however, therank of matrixasits main characteristics. The conclusions andthe natures study become such an important part. The paper is divided into two parts to introduce the matrix, which are the conclusions and the

3、application of the rank. At the same time, the nature of the rank has been studied, proved and used in the paper. Among the applications,includingthe solutionto the rank andsome inequality, the paper also includesthe application of rank about solving the equations and questions of the vector correla

4、tion.Keywords: the rank of the matrix; thedefinitionofthe rank;the conclusion ofthe rank;the applications of the rank.目录引言- 1 -1.矩阵的秩的两种定义- 2 -2.引理- 2 -3.矩阵的秩的一些结论及其证明- 4 -3.1命题1- 4 -3.2命题2- 5 -3.3命题3- 6 -3.4命题4- 6 -3.5命题5- 7 -3.6命题6- 8 -3.7命题7- 9 -3.8命题8- 9 -3.9命题9- 10 -3.10命题10（Frobenius不等式）- 10 -

5、3.11命题11- 11 -3.12命题12- 12 -3.13命题13- 12 -3.14命题14- 13 -3.15 命题15- 14 -3.16命题16- 14 -3.17命题17- 15 -3.18 命题18- 16 -4.矩阵的秩的一些结论的应用- 17 -总结- 22 -致谢- 23 -参考文献- 24 -引言矩阵的秩是高等数学中一个极其重要并广泛应用的概念,是高等代数的一个重要研究对象.因此,矩阵的秩的结论作为高等代数的一个重要工具已经渗透到各章节内容之中,它把高等代数的内容紧紧联系在一起,矩阵的秩作为矩阵的一个重要的本质属性则贯穿矩阵理论的始终.所以对于矩阵的秩的研究不仅能够帮

6、助我们更好的学习矩阵,而且他是我们学习好高等代数各章节的有力保障.矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的矩阵的秩,记为或矩阵的秩.从定义上看, 一个矩阵的秩, 就是一个数.事实上,若将矩阵的每一行看成一个向量,每一列看成一个向量,则行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的,数量上等与矩阵的秩.若,则称为行满秩的矩阵；若,则称为列满秩矩阵.阶方阵的秩等于时称为满秩矩阵或可逆矩阵.1. 矩阵的秩的两种定义矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,秩是矩阵的一个非常重要的数值特征,是由F.G.Frobenius(1877)提出的.定义1设是任意矩阵.若则说的秩为；若则的非零子式的最高

7、阶数就称为的秩,记为秩.定义2设在矩阵中有一个不等于的阶子式,则所有阶子式（如果存在的话）全等于,那么称为矩阵的最高阶非零子式,数称为矩阵的秩,记作.并规定零矩阵的秩等于.2. 引理2.1引理1 、分别为和矩阵,则恒成立.证明：设存在可逆矩阵,使得,其中、分别是由个和个线性无关的单位向量组成,且与是线性无关的向量组,所以,因此得出.引理1中通过分块矩阵构建了秩与两个模块矩阵秩的和相等的矩阵,可以直观方便的通过分块矩阵运算来实现某些性质的证明,有效的简化了证明路径,为以下命题的证明即提供了一种方法,又提供了相应的结论.2.2引理2 、分别为和矩阵,则成立.证明：由引理1得,因为,所以.且当时,.

8、如上证明对引理1做了补充和扩展,对于便于分块的矩阵的秩的确定提供了方法.2.3引理3存在阶矩阵,为解向量的极大无关组,则.证明：对方程组化简得得出方程组解为,所以,即.该引理将矩阵秩的性质与方程组解维数联系起来,对于判断方程组解的维数或者通过方程组的解了解相乘矩阵的秩的问题提供了方法.注:引理部分为基础性命题,对以下证明过程起辅助作用,是为了便于以下命题的证明.以上证明过的引理下面的命题均可直接引用.以上命题对矩阵秩的范围,以及矩阵秩与极大线性无关组的关系进行了证明与阐述.3. 矩阵的秩的一些结论及其证明3.1命题1 设是阶方阵,则当且仅当.证明：令,则与 等价,即存在可逆矩阵、使得,取其行列

9、式得.所以,当且仅当时,.该命题是互逆命题,即条件结论可互换,也就是说满秩与行列式非零是等价的,可根据有效条件判断行列式是否等于零或者是否满秩矩阵.3.2命题2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设是矩阵,是矩阵,则.证明：设非零矩阵,.可表示为的列向量的线性组合,即：,所以.可表示为的行向量的线性组合,即：,所以.可得.此证明将矩阵分为多个列向量或行向量来处理的,向量组是列向量组通过矩阵的映射,同时也可说向量组是行向量组通过矩阵的映射.上述证明说明了映射向量组不能增大基向量组的秩.3.3命题3 若可逆矩阵,使,则.证明：初等行变换与初等列变换不改变矩阵的秩, 即对矩阵进行列变换和行变换，所

10、以.该命题体现了初等变换的性质,以及相似矩阵的特别,对于较为复杂的矩阵的秩的求解起到简化作用,可以通过求解相似或等价矩阵的秩来实现.3.4命题4 若,则的伴随矩阵的秩与的秩有如下关系： .证明：当,所以；当,即,其中所以；当,因为,所以,因为为满秩矩阵,所以.伴随矩阵是一特殊矩阵,可用以求解逆矩阵,伴随矩阵的秩与对应矩阵关系如上命题所示,可用以相互求解和验证秩的大小.3.5命题5 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 、均为矩阵,则. 3证明：由分块矩阵的初等变换,则,由引理1得,所以.此证明过程用到了分块矩阵,分块矩阵使未知矩阵和方便分块的矩阵的变换变得简单,过程清晰,便于理解.分块矩阵初

11、等变换的规则如下注解所示.上述过程证明了两矩阵和的秩小于两矩阵秩的和,可用于判断和矩阵的范围.注 表示将矩阵的第一行加到第二行上.表示将矩阵的第二列加到第一列上.3.6命题6 设,均为矩阵,则.证明： 由命题5得,即则由分块矩阵的初等变换,可得,由引理1得所以即因此得出结论上述证明同样运用了分块矩阵初等变换.并进一步求解了和矩阵、差矩阵的秩的范围.3.7命题7 设为, 为的矩阵,则 证明：由分块矩阵的初等变换得得即通过分块矩阵的初等变换很方便的求出两矩阵积的秩大于等于两矩阵秩的和减去维数.3.8命题8 设为,为的矩阵,满足,则.4证明：存在极大无关解向量组,使得,由引理3得,因为,所以为的解向

12、量组,是极大无关向量组的线性组合,那么,得证.该命题用到引理3的结论,是通过构建方程组来确定矩阵的秩的特性,对于该命题还可以通过构矩阵的秩为两矩阵的秩和的分块矩阵来证明,实现较为复杂.3.9命题9 设是阶矩阵,从矩阵中任取行组成矩阵,则.证明：设,把矩阵的个无关向量扩充到的一个极大无关向量组需要扩展个向量,因为，不一定为满秩矩阵, 所以,即.3.10命题10（Frobenius不等式）设,分别为,矩阵,证明.证明：构造如下矩阵,并进行运算得,可知.由引理2得所以.即3.11命题11 设均为矩阵,且则.证明：由命题5得3.12命题12 设、均为阶方阵.则.证明：构造如下矩阵并进行运算得：可知,其

13、中所以.3.13命题13 设、均为矩阵, 、 均为矩阵,则.证明：构造分块矩阵,并进行如下运算其中、为可逆矩阵,所以所以即.3.14命题14 设是阶方阵,为非负整数,则.8证明：用数学归纳法,当时显然成立.由命题10(Frobenius不等式) 得：所以当时不等式成立.假设当时不等式成立,即：于是,所以当时不等式成立.故3.15 命题15 设是阶方阵,且则对任意自然数,有.证明：构造分块矩阵由Frobenius公式得由,得由定理2得所以以此类推所以得.3.16命题16 设是非异阵,是阵,则5证明：而是个非异阵,所以.即3.17命题17 设是阶方阵,且,试证其中、为自然数.6证明：因为,所以.由

14、命题15得.同理.,由命题8得.又.所以,即.3.18 命题18 设是阶方阵,且,试证,其中、为自然数.证明：因为,所以,那么.因为,所以.所以.因为,由命题8得.又因.所以,即.注：以上证明中命题5、6、7、10、12、13、15、16都是采用了分块矩阵,其中包括分块矩阵的和、积以及分块矩阵的初等行列变换,不仅降低了处理矩阵相关问题的难度,还缩减了证明过程,使其过程简明概要,可读性强.分块矩阵对于处理多个矩阵之间的不等式,多个矩阵秩的范围的界定和秩的大小的比较有一定的优越性.命题11、14、15、17、18中都对矩阵的N次幂进行了秩的运算或比较,用到了归纳、递推、叠代等运算方法,了解到高幂次

15、矩阵的秩的大小或范围,对于处理高幂次矩阵问题,认识高幂次矩阵的性质都十分有用.4. 矩阵的秩的一些结论的应用4.1 例1已知矩阵,求矩阵的秩.解：存在可逆矩阵,使得,由命题3可知.4.2 例2 存在矩阵、分别为阶方阵且,试证明的解向量是的解向量的一个子阵.证明：设为的解向量,必然存在.由命题2 得则其解向量的秩所以的解向量是的解向量的一个子阵.4.3 例3 已知矩阵,求其伴随矩阵的秩.解：对进行初等变换,求其秩.显见.由命题4可知.4.4 例4 已知是矩阵, 为方矩,试证明方程组根的个数小于等于3.解：由命题7得又由命题8 得,所以,则命题成立.4.5 例5 已知阶方阵,证明.解：由命题12得

16、 当时可写成,即,因此得4.6 例6 已知阶方阵和,秩为,求矩阵的秩.解：由分块矩阵的初等变换由命题12的结论,再由引理2的结论得,因为,所以.4.7 例7 存在矩阵,求.解：计算得.得，所以.由命题15的结论,所以.证明过程用到了命题15的结论,对于幂次为100的矩阵秩的求解,可以迅速的实现.4.8 例8 求的秩.解：由命题16的结论可得再次应用命题16.证明过程通过两次用到命题16的结论实现了对维数较高矩阵秩的求解,简化了运算,且大大减少了计算量.小结矩阵的秩的内容是非常丰富的,其应用是十分广泛的,证明矩阵秩的有关性质,除了利用分块矩阵以外,在上面还用到了行（列）向量组的极大线性无关组来证

17、,以及矩阵的初等变换来证明,还可以联系到齐次线性方程组的基础解系来证.本文引用到矩阵秩的基本性质及部分定理,对矩阵秩的多条性质进行了证明,并做了相关的应用.其中涉及到了矩阵秩的求解、判断、向量组的相关性、方程组解的情况分析以及秩的不等式、等式等多方面性质.其结论和证明过程可以应用到所涉及的各个领域,包括电子行业,信息处理行业和控制工程域等多个行业.对矩阵秩的多方面的了解对于处理矩阵相关的问题是很有帮助的,例如方程组解的个数问题,模式识别中事物特征的相关性问题等.上述的命题的涉及面广,结论应用性强,所应用的方法较为新颖,希望能对数学及其它领域的发展有所帮助.相信在解决理论研究和解决实际问题上有一

18、定的作用及意义.致谢参考文献1杜现昆 原永久 牛凤文高等代数M.北京:高等教育出版社,2006.65-672同济大学数学系编.工程数学.线形代数M.北京:高等教育出版社,2007.62-653北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,1988.87-904张禾瑞.郝炳新.高等代数M. 北京:人民教育出版社,1979.76-775张远达.线性代数原理M. 上海:上海教育出版社,1982.986北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.677赵树媛.线性代数学习与考试指导M.北京:中国人民大学出版社,1998.568丘维声.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.87-889 樊恽 钱吉林等.代数学辞典M.武汉:华中师范大学出版社,1994.7610李书超,蒋君,向世斌等.一类矩阵秩的等式及其推广J.武汉科技大学学报 自然科学版 ,2004 ,27 1 :96-9811王松桂,贾忠贞.矩阵不等式M.合肥:安徽教育出版社,1994.89-9012鲍文娣,李维国.关于任意三矩阵秩的一点注记J.苏州科技学院学报:自然科学版,2005,22（2）：39-43