数学系毕业论文.doc
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1、 摘 要均匀分布是几何概率的概率模型 ,是人类最早研究的概率之一。它直观、计算简单,通过对古典概率、几何概率的研究,最后建立了概率的公理化体系,概率统计才成为一门完整的学科。从古至今 ,人们对于均匀分布的认识经历了一段漫长的过程。在概率论发展的早期,这类概率计算以“几何概率”的名称出现,但由于对不可列样本空间的等可能性缺乏精确的定义而导致一些问题,近代则通过均匀分布对这类问题作了严格处理。均匀分布在概率统计早期发展中起了重要的作用。现今社会实际中的均匀分布问题种类繁多,本文的简单研究对于以后运用均匀分布解决实际问题有很多帮助。 关键词:均匀分布;几何概率;参数估计:概率密度Abstract.K
2、ey words:; ; ; 目 录引言(绪论) 51 定义 61.1 一维均匀分布 61.2二维均匀分布 62 性质 73 应用 83. 1二维均匀分布的一个简单应用 83.2几何概率与均匀分布 93.3均匀分布的参数估计 113.4均匀分布在实际生活中的应用 12结论 13参考文献 14附录 15致谢 16引 言(绪 论)设连续型随机变量X的分布函数为,则称随机变量服从上的均匀分布,记为.若是的任一子区间,这表明落在的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关,因此落在的长度相等的子区间内的可能性是相等的,所谓的均匀指的就是这种等可能性.在实际问题中,当我们无法区分在区间内取值的
3、随机变量取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从上的均匀分布。本文主要归纳了概率论与数理统计中均匀分布的定义、性质以及几种简单应用。重点介绍了一维均匀分布和二维均匀分布。1.定义1.1:一维均匀分布 若随机变量X的概率密度为则称X服从区间ab上的均匀分布,记为X的分布函数为1.2:二维均匀分布 设G是平面上的有界区域,其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有联合概率密度则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布。特别,若是一个矩形区域,则X和Y的联合概率密度为2. 性质2.1服从区域G上均匀分布的随机变量(X,Y),它在G上任何一个子区域内取值的概率只是该子区域的面积的大小有关,而与该子区域
4、D在G内的位置和形状无关,即2.2二维均匀分布的边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域G的形状密切相关。例如,圆形区域 .则区域G上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分布,而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布。再如矩形区域,则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间ab和cd上的一维均匀分布。2.3均匀分布不具有再生性。即随机变量X和Y服从均匀分布且相互独立,X+Y不服从均匀分布。证明:设随机变量X和Y在(a,b)上服从均匀分布,且相互独立,其联合密度为则Z的密度函数为很显然Z=XY不服从均匀分布。3. 应用3.1二维均匀分布的一个简单应用设二维连续型随机变量(X,Y)有联合概率
5、密度f(xy),当g(x,y)是二元连续可微函数时,Z=g(X,Y)仍是连续型随机。求随机变量函数的分布是概率论中一个重要内容,会求两个随机变量简单分布的分布,在近年来考研中时一个必考点,但学生在求两个连续型随机变量的函数的分布时常常不知所措。我们一般采用“分布函数法”来获得Z的分布,即先求Z的分布函数再将其关于z求导,得到Z的分布密度。该方法严谨直观,实用性强。这里有一个问题必须要注意,在求分布函数时,不要忘记z是任意实数,也就是要对一切进行讨论,常常是一个分段函数。因此首先第一步,要根据随机变量X和Y自的取值范围及函数关系g(x,y),正确求出随机变量Z的取值范围是必要的。第二步,求Z的分
6、布函数即其中利用上式获得Z的分布函数,思想很简单,就是将未知随机变量Z的分布转化为已知的随机变量(XY)上去,计算的难点在于对不同的z,要通过来确定二重积分的上、下限。其实这里的计算,是高数中二重积分的计算问题,目的在于求出依赖于z的结果。在做题时,画出有关函数定义域的图形,对正确确定积分上下限肯定是有帮助的。第三步,关于z求导得“分布函数法”是一种普遍适用的方法,难点在于区域上二重积分的计算。但是当(XY)服从二维均匀分布时,不妨设,求概率只须正确求出区域,此时于是利用面积的比就可避免复杂的求二重积分的计算过程。例1(2001年数三) 设X和Y的联合分布为正方形上均匀分布,求随机变量的概率密
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